What is Investigating Intégration?

Si nous regardions la représentation graphique d'une fonction, l'intégrale se décrirait comme l'aire située sous la courbe. Pour représenter l'intégrale de \(f(x)\), nous écririons \( \int f(x) dx\), avec \(dx\) qui nous indique que nous intégrons par rapport à \(x\).

Conceptuellement, nous considérons que l'intégration est l'inverse de la dérivation. Cela signifie que pour trouver une intégrale, nous pouvons penser qu'il faut « défaire » le processus de dérivation. Lorsque nous avons « annulé » l'intégration, nous appelons ce résultat la primitive.

Dans ce résumé de cours sur l'intégration, nous aborderons les points suivants. Tout d'abord, nous commencerons par définir l'intégration et examinerons certaines propriétés fondamentales de cette opération mathématique. Nous nous pencherons ensuite sur les méthodes d'intégration par parties, d'intégration par changement de variable et d'intégration paramétrique, qui sont toutes des techniques clés pour résoudre des problèmes d'intégration complexes.

Qu'est-ce que l'intégration ?

Il existe de nombreux types d'intégrales, et chacun a ses propres règles. Le type d'intégrale le plus élémentaire est l'intégrale définie, que nous pouvons utiliser pour calculer l'aire sous une courbe. L'intégrale indéfinie, quant à elle, nous donne la forme générale suivante d'une fonction :

\[f(x) = C + \int g(x) dx\]

Ici, \(C\) est une constante, et \(g(x)\) est la fonction que l'on intègre. L'intégrale indéfinie nous permet de trouver la forme générale d'une fonction, sans avoir à préciser les limites d'intégration. Nous allons voir ces deux types d'intégrales plus en détail.

Intégrales indéfinies

L'objectif d'une intégration indéfinie est de trouver la primitive. Si notre fonction originale est \(f(x)\), nous écrivons la primitive \(F(x)\) . La primitive est donnée sous forme de fonction et ne nous indique pas directement l'aire sous la courbe. Si nous voulons vérifier si nous avons la primitive correcte, nous pouvons la dériver, et nous devrions retrouver la fonction originale.

Lorsque nous trouvons une intégrale indéfinie, il est important d'ajouter une constante d'intégration, ce qui signifie que si nous devions trouver \( \int f(x) dx\) , nous donnerions la solution \(F(x) + C\). Ce \(C\) montre que cette primitive peut avoir n'importe quelle constante car peu importe la constante que nous ajoutons, si nous dérivons l'intégrale définie, nous aurons le même résultat.

Intégrales définies

Une intégration définie est une intégration avec des limites, nous pouvons donc la considérer comme l'aire sous une fonction entre deux points, disons le point \(a\) et le point \(b\). Pour une fonction \(f(x)\), nous l'écririons comme \( \int_{a}^{b} f(x) dx\). Nous pouvons la visualiser comme suit :

Fig. 1 - Visualisation d'une intégrale définie

La façon de visualiser ceci est de diviser la surface sous la fonction en \(n\) bandes égales entre \(a\) et \(b\). Cela signifie que nous avons la largeur de chaque bande, \( \delta x = \frac{b-a}{n}\). Nous prenons ensuite la hauteur de chaque bande comme \( f(x_{i}^{*})\), avec le point \( x_{i}^{*}\) à un certain point de la bande \(i\). Ceci est illustré ci-dessous.

Fig. 2 - Visualisation de l'intégrale avec des bandes

L'aire des bandes à ce point est donnée par \( \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}^{*}) \delta x \). Pour trouver la valeur de l'intégrale, nous devons utiliser un nombre infini de bandes pour couvrir entièrement l'intérieur de la courbe. Cela signifie que lorsque nous prenons la limite, nous obtenons : \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}^{*}) \delta x = \int_{a}^{b} f(x)dx\]

En pratique, cela devient plus facile car nous trouvons la primitive (sans la constante d'intégration) et l'évaluons ensuite aux deux limites, en soustrayant la limite inférieure de la limite supérieure.

Propriétés des intégrales

• Pour les constantes \(a\) et \(b\), et les fonctions \(f\), \(g\) alors \( \int (af(x) + bg(x)) dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx\)
  
  

• \( \int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx\)
  
  

• \( \int_{a}^{a} f(x) dx = 0\)
  
  

• Pour \( c \in [a, b], \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx\)

Intégration par parties 

Par la règle du produit (comme on la voit dans la dérivation), pour deux fonctions \(u(x)\) et \(v(x)\) alors : \[ (u(x)v(x))' = u(x)v(x)' + u'(x)v(x) \]

Si nous intégrons les deux côtés par rapport à x, nous obtenons : \[ \int (u(x)v(x))' dx = \int u(x)v'(x) dx + \int u'(x)v(x) dx \]

qui se simplifie alors en : \[u(x)v(x) = \int u(x)v'(x) dx + \int u'(x)v(x) dx \]
 

Nous réarrangeons cela pour obtenir :  \[\int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx \]

C'est maintenant notre formule d'intégration par parties, et nous allons voir un exemple de son application.

Intégration par changement de variable

Il est également possible d'utiliser la substitution pour simplifier une intégrale. Ici, nous changeons la variable par rapport à laquelle nous intégrons. Dans le cas d'une intégrale définie, les limites doivent également être modifiées à l'aide de la substitution. Nous devons aussi changer la fonction à intégrer. 

La meilleure façon de le comprendre est de voir un exemple. Déterminer la bonne substitution prend du temps. Cependant, cela devient plus facile avec la pratique !

Intégration paramétrique

Nous pouvons aussi avoir une fonction paramétrique et devoir l'intégrer. Supposons que l'on nous donne les fonctions \(y=f(t)\) et \(x=g(t)\).

Alors l'intégrale de la courbe définie par ces fonctions est donnée par \( \int y \frac{dx}{dt} dt \). On peut considérer que les \(dt\) s'annulent pour donner \( \int y \ dx\), ce qui correspond à ce que l'on attend d'une intégrale normale.

Exemples d'intégration

Il y a beaucoup de règles d'intégration à connaître. Dans la prochaine section, nous allons en examiner quelques-unes.

Intégration de polynômes

Grâce à la dérivée d'un polynôme, tu dois savoir que \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}\). Pour une intégrale, nous pouvons inverser cela pour obtenir \( \int x^n \ dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}, n \neq -1 \).

Intégrer \( \frac{1}{x}\)

La formule ci-dessus pour les polynômes ne fonctionnera pas pour \( \frac{1}{x}\). Alors, regardons cela d'une autre manière :

\( \int \frac{1}{x} dx\)

Soit \(x=e^y\), puis \( \frac{dx}{dy}=e^y\) donc \(dx = e^y dy\)

En utilisant cette formule, nous obtenons : 

\( \int \frac{1}{x} dx \) 

\(= \int \frac{1}{e^y} \cdot e^y dy \) 

\(= \int dy \)  

\(= y + C \) 

\(= ln |x| + C \)

Intégrer des fonctions trigonométriques

Comme tout ce que nous avons vu jusqu'à présent, nous pouvons traiter l'intégration comme l'inverse de la dérivation, et il en va de même pour les fonctions trigonométriques. Nous pouvons également utiliser des substitutions pour les résoudre.