Si nous ne simplifions pas nos fractions, est-ce la fin du monde ? Non, mais c'est quand-même important de le faire. Simplifier une fraction revient à l'écrire sous forme de fraction irréductible. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord expliciter ce qu'est une fraction irréductible. Nous expliquerons comment utiliser des critères de divisibilité et comment faire une décomposition en facteurs premiers. Ces deux étapes sont essentielles pour rendre une fraction irréductible. Pour terminer, nous détaillerons le théorème fondamental de l'arithmétique.
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Équipe enseignants Fractions irréductibles
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Envoyer des commentairesUne fraction irréductible est une fraction qui ne peut pas être simplifiée. En d'autres termes, il s'agit d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun facteur commun à part
Rappel : le numérateur est le chiffre en haut et le dénominateur est le chiffre en bas.
Considère les fractions
En revanche, nous pouvons simplifier la fraction
Si une fraction n'est pas irréductible, nous pouvons la rendre irréductible. Pour cela, il faut d'abord connaître les critères de divisibilité.
Il est nécessaire d'utiliser les critères de divisibilité pour rendre une fraction irréductible. Rappelons d'abord quelques critères de divisibilité importants. Un nombre est divisible par :
Voyons des exemples de comment appliquer ces critères de divisibilité.
Le nombre
Oui ! En effet, le nombre formé par ses deux derniers chiffres
Est-ce que
Pour déterminer si un nombre est divisible par
Dans un premier temps, le dernier chiffre de
Par ailleurs, la somme des chiffres de
Ainsi, comme
Nous pouvons alors appliquer les critères de divisibilité à la décomposition en facteurs premiers.
Un nombre peut être décomposé en produit de facteurs premiers, par exemple
diviser
répéter l'étape précédente pour tous les nombres premiers qui sont des facteurs de
la décomposition est donnée par le produit des facteurs premiers de
Pour des rappels sur les nombres premiers, n'hésite pas à consulter notre résumé de cours à ce sujet.
Il est beaucoup plus clair comment faire une décomposition en facteurs premiers avec un exemple.
Peux-tu décomposer
Le premier nombre premier qui est un facteur de
Il faut donc diviser
La décomposition en facteurs premiers de
La décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers nous aide à rendre une fraction irréductible.
Pour rendre une fraction irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. Pour connaître le plus grand commun diviseur de deux nombres, nous nous servons de leurs décompositions en facteurs premiers.
Rappelons qu'un diviseur commun de deux nombres est un nombre qui est un facteur des deux nombres. Le plus grand commun diviseur, ou PGCD, est donc le plus grand des diviseurs communs.
Sais-tu comment déterminer le plus grand commun diviseur de
Les diviseurs de
Les diviseurs de
Les diviseurs communs de
Ainsi, le PGCD de
Une fois le PGCD déterminé, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD pour obtenir la fraction irréductible.
Peux-tu écrire
Comme le PGCD de
Lorsque nous avons des nombres plus grands, il convient de les décomposer en produit de facteurs premiers pour rendre la fraction irréductible. Au lieu de diviser par le plus grand commun diviseur, nous diviserons par tous les facteurs communs.
Peux-tu écrire
La décomposition en produit de facteurs premiers de
La décomposition en facteurs premiers de
Nous avons alors
Le théorème fondamental de l'arithmétique précise que tout nombre entier supérieur à
Ce théorème est utile pour la résolution de nombreux problèmes mathématiques. Il s'applique également à démontrer des théorèmes. En particulier, le théorème fondamental de l'arithmétique peut être utilisé pour démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers.
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Comment mettre une fraction sous forme irréductible ?
Pour mettre une fraction sous forme irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, ou de façon équivalente, par tous les facteurs communs.
Comment rendre une fraction irréductible en utilisant le PGCD ?
Pour rendre une fraction irréductible en utilisant le PGCD, il faut d'abord calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur. Ensuite, il est nécessaire de diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD.
Comment décomposer un nombre en produit de nombres premiers ?
Pour décomposer un nombre en produit de nombre premiers, il faut d'abord diviser ce nombre par le premier nombre premier par lequel il est divisible, autant de fois possibles. Ensuite, il faut répéter ce processus pour tous les autres nombres premiers qui sont facteurs du nombre en question. Enfin, la décomposition en produit de nombres premiers sera donnée par le produit de tous les nombres premiers obtenus. Chaque nombre premier doit apparaître autant de fois que nous avons pu diviser par celui-ci.
Quels sont les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10 ?
Les critères de divisibilité sont comme suit :
Comment simplifier une fraction rapidement ?
Pour simplifier une fraction rapidement, il faut bien connaître ses tables de multiplication et beaucoup pratiquer.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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