Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
Get started for freeQuels sont les autres termes de l'approximation linéaire ?
Si on te donne juste une fonction différentiable \Nf(x), alors les différentielles deviennent \Nf (\Nmathrm{d}f \N) et \Nf (\Nmathrm{d}x \N). Essentiellement, \N( \Mathrm{d}y \N) est remplacé par \N( \Mathrm{d}f \N) dans l'équation :\[ \mathrm{d}f = f'(x) ~\mathrm{d}x \]Vrai ou faux ?
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Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Qu'il s'agisse de diviser les objectifs de la vie en tâches plus petites et plus faciles à gérer, ou de lignes sur une page, si tu zoomes suffisamment, à peu près tout devient beaucoup plus simple. C'est le concept qui sous-tend les approximations linéaires et les différentielles - si tu zoomes suffisamment, ta fonction ressemble à une ligne et peut être manipulée comme telle.
Dans cet article, tu apprendras comment approximer des fonctionsa> en un point donné, ou localement, en utilisant des fonctions linéairesa> pour faire ces approximations. Les fonctions linéaires étant le type de fonction le plus facile à utiliser, elles constituent un outil d'approximation puissant. Tu apprendras également un concept connexe, les différentielles, afin de pouvoir utiliser les approximations linéaires pour estimer la quantité de changement d'une fonction à la suite d'un changement de sa valeur d'entrée.
Que sont l'approximation linéaire et les différentielles ?
L'approximation linéaire est une méthode qui utilise la ligne tangente à une courbe pour approximer un autre point de cette courbe. C'est une excellente méthode pour estimer les valeurs d'une fonction, \N( f(x) \N), tant que \N( x \N) est proche de \N( x = a \N).
Étant donné une fonction différentiable, f(x), tu peux trouver sa ligne tangente à f(x = a). L'équation de cette ligne tangente, \NL(x) \Nest
\N[ L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \N]
et on l'appelle l'approximation linéaire, ou l'approximation de la ligne tangente de \( f(x) \N) à \( x = a \N). Elle est également connue sous le nom de linéarisation de la fonction \N( f(x) \N) à \N( x = a \N).
Le graphique ci-dessous permet de visualiser le concept de proximité. Tu remarqueras que plus tu zoomes, plus la fonction ressemble à sa droite tangente.
Figure 1. L'approximation linéaire de la fonction, \N( f(x) \N), à \N( x = a \N).
L'idée sous-jacente est que, bien qu'il puisse être difficile de calculer les valeurs proches de la fonction, il peut être beaucoup plus simple d'effectuer l'approximation linéaire.
L'exemple suivant décrit les étapes de base utilisées pour effectuer des approximations linéaires et démontre une utilisation pratique de celles-ci.
Approche \( f(\theta) = \sin(\theta) \) à \( \theta = 0 \).
Solution:
Cette approximation linéaire est régulièrement utilisée dans le domaine de l'optique pour simplifier les formules. Elle est également utilisée pour décrire le mouvement d'un pendule et les vibrations d'une corde.
Pour pouvoir utiliser les approximations linéaires afin d'estimer l'ampleur des variations d'une fonction, tu dois comprendre le concept des différentielles ; elles te fournissent une méthode pour estimer l'ampleur des variations d'une fonction à la suite d'un petit changement de ses valeurs d'entrée.
Étant donné une fonction différentiable, \( y = f(x) \), laisse \( \mathrm{d}x \) être une variable indépendante qui peut être n'importe quel nombre réel non nul. Définis la variable dépendante \( \mathrm{d}y \) par l'équation :
\[ \mathrm{d}y = f'(x) ~\mathrm{d}x. \]
Tu appelles les expressions \( \mathrm{d}y \N) et \( \mathrm{d}x \N) des différentielles.
Si tu divises les deux côtés de l'équation de la définition par \N( \Mathrm{d}x \N), tu obtiens :
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(x) \N]
c'est ainsi que tu as l'habitude de désigner une dérivée. Cette équation est donc appelée forme différentielle.
Note que si on te donne juste une fonction différentiable \( f(x) \N), alors les différentielles deviennent \N( \Mathrm{d}f \N) et \N( \Mathrm{d}x \N). Essentiellement, \N( \Mathrm{d}y \N) est remplacé par \N( \Mathrm{d}f \N) dans l'équation :
\[ \mathrm{d}f = f'(x) ~\mathrm{d}x \]
Lorsque tu as commencé à apprendre les dérivées, tu as utilisé la notation de Leibniz \( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \) pour représenter la dérivée de \( y \N) par rapport à \( x \N). Bien que tu aies utilisé les expressions \( \mathrm{d}y \) et \( \mathrm{d}x \) dans cette notation, elles n'avaient pas encore de signification propre.
Compte tenu de la définition des différentielles ci-dessus, tu connais maintenant la signification des expressions \( \mathrm{d}y \) et \( \mathrm{d}x \).
Rappelle-toi de l'article sur les lignes tangentes que la ligne tangente à la courbe d'une fonction, \N( f \N), qui est différentiable en un point, \N( a \N), est donnée par l'équation :
\N[ y = f(a) + f'(a) (x - a). \N]
Par exemple, considérons la fonction différentiable :
\[ f(x) = \frac{1}{x}, \]
où \N( x = a = 3 \N).
Solution:
Figure 2. La ligne tangente à la courbe de \( f(x) = \frac{1}{x} \Nà \N x = 3 \N te donne une bonne approximation de \N f(x) \N lorsque \N x \N est proche de \N 3 \N.
Figure 3. Lorsque \N- x = 3,1 \N-, la valeur de \N- y \N- sur la ligne tangente à la courbe de \N- f(x) = \Nfrac{1}{x} \N- est approximativement de \N- y \N- sur la ligne tangente à la courbe de \N- f(x) = \N-. \) est approximativement de 0,3222 ; la valeur réelle de \Nf(3,1) est de \Nfrac{1}{3,1} \Napprox 0,3226.
Cet exemple montre qu'en général, pour une fonction différentiable, l'équation de la droite tangente à f(x) peut être utilisée pour estimer f(x) pour des valeurs de f(x) proches de a.
Par conséquent ,
\[ f(x) \approx f(a) + f'(a) (x - a), \text{ for } x \text{ near } a, \]
et la fonction linéaire :
\[ L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \]
est l'approximation linéaire de \( f(x) \N) à \( x = a \N).
Mais qu'est-ce qui est considéré comme "proche" de \N( a \N) ?
La réponse courte est : cela dépend.
L'approximation est quelque chose que tu fais souvent en calcul. Tu utilises des approximations quand tu :
prendre des limites,
trouver des dérivées, et
calculer des intégrales,
pour n'en citer que quelques-unes.
Comme tu l'as peut-être deviné dans l'exemple ci-dessus, plus tu t'éloignes de \( x =a \), plus ton approximation sera mauvaise.
Mais encore une fois, quelle distance est trop grande ?
Et encore une fois, la réponse : cela dépend. Cela dépend à la fois de la fonction et de la valeur de \( x = a \) que tu utilises. En fin de compte, il n'y a souvent pas de moyen facile de prédire à quelle distance de \N( x = a \N) tu peux t'éloigner tout en ayant une "bonne" approximation linéaire.
Pour avoir une bonne idée de la différence entre l'approximation linéaire et les différentielles, tu dois relier les deux concepts.
Supposons que tu aies une fonction, \( f(x) \N), qui est différentiable au point \N( a \N). Disons que l'entrée, \N( x \N), change d'une petite quantité appelée \N( \Nmathrm{d}x \N) (on pourrait aussi l'appeler \N( \NDelta x \N)).
Ce qui t'intéresse, c'est de savoir de combien la sortie, \Ny \Nest modifiée en fonction de ce minuscule changement de \Nx \N.
En d'autres termes, [...]
En résumé :
\N-
\NDelta y &= f(a + \mathrm{d}x) - f(a) \N
&\Napprox L(a + \mathrm{d}x) - f(a) \N
&= f'(a) \mathrm{d}x \N
&= \mathrm{d}y
\Nend{align} \]
Cela signifie que tu peux utiliser la différentielle, \N( \Mathrm{d}y = f'(a) \Mathrm{d}x \N), pour approximer le changement de \N( y \N) si \N( x \N) augmente de \N( x = a \N) à \N( x = a + \Mathrm{d}x \N). Le graphique ci-dessous illustre cela en détail.
Figure 4. Tu utilises la différentielle \N( \Nmathrm{d}y = f'(a) \Nmathrm{d}x \N) pour calculer approximativement le changement réel de \N( y \N) si \N( x \N) passe de \N( a \N) à \N( a + \Nmathrm{d}x \N).
Alors, quelle est la différence entre les approximations linéaires et les différentielles ?
Pour faire simple :
Les approximations linéaires donnent une estimation de la valeur d'une fonction différentiable en un point spécifique en utilisant la ligne tangente à la courbe de la fonction en ce point.
Les différentielles donnent une approximation du changement de la variable dépendante (généralement \N( y \N)) de la fonction au même point où l'approximation linéaire est calculée.
Prenons un exemple.
Approximation de la variation avec les différentielles
Étant donné la fonction :
\[y = x^{2} + 2x, \N].
calcule
à \( x = 3 \r) si \( \mathrm{d}x = 0.1 \r).
Solution:
Comme tu peux le voir, le calcul à l'aide des différentielles est plus simple que le calcul des valeurs réelles, et les résultats des deux sont assez similaires, surtout lorsque la valeur de \( \mathrm{d}x \rmathrm{d}x \rmathrm{d}x \rmathrm{d}x \rmathrm{d}) diminue.
Essaie ces exemples !
Approximation linéaire d'une fonction
Approche la fonction :
\N[ f(x) = (1 + x)^{n} \N]
à \( x = 0 \N). Utilise ensuite l'approximation pour estimer \N( 1,01^{2} \N).
Solution:
Maintenant, un exemple de différentielles.
Calcul des différentielles
Trouve \N( \Nmathrm{d}y \N) et évalue la fonction suivante à \N( x = 3 \N) et \N( \Nmathrm{d}x = 0,1 \N).
\N[ y = \Ncos(x) \N]
Solution:
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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