Combinaison des règles de dérivation

Stratégie pour combiner les règles de différenciation

Disons que tu as la fonction

\[f(x) = \Nà gauche( \Nfrac{x^{2}+4}{x^{3}-3x+6} \Nà droite)^{4} + \Nsqrt{2x-5} \N].

Comment peux-tu trouver sa dérivée ?

Stratégie:

1. Décompose la fonction globale en plusieurs parties, en travaillant de l'extérieur vers l'intérieur. Dans ce cas, la couche la plus externe est celle où la fonction principale \( f(x) \N) est une somme de deux fonctions.

\N-\Nbegin{align}f(x) & = \Nunderbrace{ \Nleft( \Nfrac{x^{2}+4}{x^{3}-3x+6} \Nright)^{4} }_{g(x)} + \sunderbrace{ \sqrt{2x-5} }_{h(x)} \\N-& = g(x) + h(x)\N- end{align}\N]

En te basant sur la règle de la somme de la différenciation, tu sais que tu peux différencier \N( g(x) \N) et \N( h(x) \N) séparément et les additionner ensuite.

2. Maintenant, si tu regardes \N( g(x) \N), la couche extérieure de cette fonction est quelque chose à la puissance de \N( 4 \N). Tu peux l'écrire comme suit :

\[\begin{align}g(x) & = \left[ \underbrace{ \left( \frac{x^{2}+4}{x^{3}-3x+6} \right) }_{u(x)} \right]^{4} \\N-& = \Ngauche( u(x) \Ndroite)^{4}\Nend{align}\N]

Cette simplification te montre que \( g(x) \) est une composition de fonctions. Tu te souviens comment différencier une composition de fonctions ?

C'est ça, la règle de la chaîne!

3. En suivant le modèle que tu as commencé dans les deux étapes précédentes, tu veux continuer à enlever des couches de complexité à la fonction originale, \( f(x) \N), jusqu'à ce qu'il ne reste que les fonctions élémentaires que tu sais différencier. La décomposition ci-dessous te montre comment tu peux y parvenir :

La décomposition d'une fonction en ses parties élémentaires - StudySmarter Originals

Si tu regardes les cinq expressions en bas de l'arbre :

1. \( x^{2} + 4 \) ;
2. \N- x^{3} - 3x + 6 \N ; \N- x^{3} - 3x + 6 \N) ;
3. \( u^{4} \) ;
4. \N- \N- \N- \N( \Nsqrt{v} \N- \N- \N- \N) ; et
5. \( 2x - 5 \),

tu peux voir que toutes ces expressions sont des expressions que tu sais différencier en utilisant l'une des sept règles de différenciation.

Si tu appliques les bonnes règles de différenciation à chaque expression à chaque étape de la décomposition, tu vois que tu peux trouver la dérivée des fonctions les plus compliquées.

Trouve la dérivée d'un polynôme en utilisant les règles de la somme, du multiple constant, de la puissance et du produit.

Étant donné la fonction :

\N[ f(x) = 4g(x)+x^{3}h(x) \N].

Trouve \N( f'(x) \N).

Solution:

1. La première étape de tout problème de différenciation consiste à analyser la fonction donnée et à déterminer les règles que tu veux appliquer pour trouver la dérivée.

• En regardant la couche de complexité la plus externe, tu vois que \( f(x) \) est une somme de deux fonctions. Tu dois donc utiliser la règle de la somme.
• Lorsque tu regardes ces deux fonctions séparément, tu vois que la première, \N4g(x) \Nest une constante multipliée par une fonction, et que la seconde, \Nx^{3}h(x) \Nest un produit de deux fonctions. Pour les différencier, tu dois donc utiliser la règle du multiple constant pour la première fonction et la règle du produit pour la seconde.
• Enfin, tu vois que pour différencier le \( x^{3} \) de la deuxième fonction, tu dois utiliser la règle de la puissance.

2. En commençant par la couche de complexité la plus externe, applique la règle de la somme.

\N[ f'(x) = \Nfrac{d}{dx} \left( 4g(x)+x^{3}h(x) \right) = \frac{d}{dx} \left( 4g(x) \right) + \frac{d}{dx} \left( x^{3}h(x) \right) \]

3. En passant au niveau de complexité suivant, applique la règle du multiple constant pour différencier \N(4g(x)\N) et la règle du produit pour différencier \N(x^{3}h(x)\N).

\N[ f'(x) = 4 \Nfrac{d}{dx} (g(x)) + \left( \frac{d}{dx}) \left( x^{3} \right) \cdot h(x) + \frac{d}{dx} \left( h(x) \right) \cdot x^{3} \Ndroite) \N]

4. Enfin, prends les dérivées (en utilisant la règle de la puissance pour \N( x^{3} \N)) et simplifie.

\[ \bf{ f'(x) } = \bf{ 4g'(x) + 3x^{2}h(x) + h'(x)x^{3} } \]

Combine les règles du produit et du quotient (et quelques autres).

Étant donné la fonction :

\[ f(x) = \frac{5x^{2}g(x)}{3x+2} \].

Trouve \N( f'(x) \N).

Solution:

1. Encore une fois, la première étape consiste à analyser la fonction donnée et à déterminer les règles que tu veux appliquer (et le meilleur ordre pour les appliquer) pour trouver la dérivée.

• Comme il s'agit d'une fonction rationnelle, tu sais que tu devras utiliser la règle du quotient. Et comme la couche la plus complexe de \( f(x) \) est la division de deux fonctions, tu dois d'abord appliquer la règle du quotient.
• Si tu regardes la fonction au numérateur, tu peux voir qu'il s'agit d'un produit de deux fonctions, tu as donc besoin de la règle du produit ici.
  • En décomposant la fonction du numérateur, tu vois que tu as besoin de la règle de la puissance pour trouver la dérivée de \( 5x^{2} \).
• Si tu regardes la fonction au dénominateur, tu peux voir que sa dérivée est simple à trouver en utilisant les règles du multiple constant et du constant.

2. En commençant par la couche de complexité la plus externe, applique la règle du quotient.

\[ f'(x) = \frac{ \frac{d}{dx} \frac{d}{dx} (3x+2) - \frac{d}{dx} (3x+2) \frac{d}{dx} (5x^{2}g(x) \right)}{\frac{d}{d}{dx} (3x+2 \right)^{2}} \]

3. Tu peux maintenant appliquer la règle du produit pour trouver \( \frac{d}{dx}) \left( 5x^{2}g(x) \right) \left( 5x^{2}g(x) \right) \). En même temps, tu peux appliquer les règles du multiple constant et de la constante pour trouver la dérivée : \N( \Nfrac{d}{dx} (3x+2) = 3 \N).

\[ f'(x) = \frac{ \left( \frac{d}{dx}) \left( 5x^{2} \right)g(x) + g'(x) \left( 5x^{2} \right) \right)(3x+2) - 3 \left( 5x^{2}g(x) \right) }{\left( 3x+2 \right)^{2}}. \]

4. À partir de là, tu peux appliquer la règle de la puissance pour trouver la dérivée de \( 5x^{2} \N}).

\[ f'(x) = \frac{ \left( 10x g(x) + g'(x) \left( 5x^{2} \right) \right)(3x+2) - 3 \left( 5x^{2}g(x) \right) }{\left( 3x+2 \right)^{2}} \]

Maintenant, tu peux soit t'arrêter ici, car tu as trouvé la dérivée, soit développer et simplifier l'équation. La forme simplifiée de cette dérivée est :

\[ \bf{ f'(x) } = \bf{ \frac{15x^{3}g'(x)+15x^{2}g(x)+10x^{2}g'(x)+20xg(x)}{ \left( 3x+2 \right)^{2}} } \]

Combine les règles de la chaîne et de la puissance.

Quelle est la dérivée de la fonction suivante ?

\[ f(x) = \frac{1}{ \left( 3x^{2}+1 \right)^{2} } \]

Solution:

1. Avant de commencer à utiliser les règles de dérivation ici, il y a une simplification algébrique que tu peux utiliser pour faciliter l'utilisation de la règle de la chaîne. Réécris la fonction comme suit :

\[f(x) = \Nà gauche( 3x^{2}+1 \Nà droite)^{-2} \N].

2. Décompose la fonction en ses parties élémentaires :

\[ \N- Début{alignement}f(x) &= \N-gauche( \N- Sous-titre{ \N-gauche( 3x^{2}+1 \N-droit) }_{g(x)} \N-droit)^{-2} \N-&= \N-gauche( g(x) \N-droit)^{-2}\N- Fin{alignement} \]

3. Maintenant, tu as \( f(x) \) sous la même forme que la règle de puissance pour une composition de fonctions. La prochaine étape consiste donc à travailler de l'extérieur vers l'intérieur, en appliquant d'abord la règle de puissance pour une composition de fonctions, puis la règle de puissance sur \( 3x^{2}+1 \N) pour trouver la dérivée.

\N-f'(x) &= n \Ngauche( g(x) \Ndroite)^{n-1} g'(x) \N&= -2 \Ngauche( 3x^{2}+1 \Ndroite)^{-2-1} \Nfrac{d}{dx} \N- gauche( 3x^{2} +1 \Ndroite) \N&= -2 \Ngauche( 3x^{2}+1 \Ndroite)^{-3} (6x)\Nend{align} \]

4. C'est une mauvaise pratique de laisser des exposants négatifs, donc la dernière étape consiste à réécrire la dérivée de la fonction sans les exposants négatifs :

\[ \bf{ f'(x) } = \bf{ \frac{-12x}{ \left( 3x^{2}+1 \right)^{3} } \]

Combine les règles de la chaîne et de la puissance avec une fonction trigonométrique.

Quelle est la dérivée de la fonction suivante ?

\N[ f(x) = sin^{3}(x) \N]

Solution:

1. La première étape consiste à se rappeler que \( sin^{3}(x) = (sin(x))^{3} \). Réécris la fonction comme suit :

\[ f(x) = (sin(x))^{3} \]

2. Tu peux voir que cette fonction est de la forme \N( f(x) = \Ngauche( g(x) \Ndroite)^{n} \N- Tu peux donc appliquer la règle de puissance pour une composition de fonctions ici pour trouver la dérivée.

\[ \N-f'(x) &= n \Ngauche( g(x) \Ndroite)^{n-1} g'(x) \N-&= 3 (sin(x))^{3-1} \Nfrac{d}{dx}sin(x) \N-&= 3 (sin(x))^{2} cos(x) \N-\Nbf{ f'(x) } &= \nbf{ 3sin^{2}(x) cos(x) }\Nend{align}\N].

Combinaisonde la règle de la chaîne avec une fonction cosinus générale.

Quelle est la dérivée de la fonction suivante ?

\N[ h(x) = cos \Nà gauche(g(x) \Nà droite) \N]

Solution:

1. Dans ce cas, il est d'abord utile de penser à \N( h(x) = cos \Nà gauche(g(x) \Nà droite) \Ncomme \N( h(x) = f(g(x)). \). En faisant cela, tu as :

\N[ f(x) = cos(x) \N]

2. Quelle est la dérivée de \( cos(x) \N) ? C'est \N( -sin(x) \N) ! En utilisant ceci, tu as maintenant :

\N[ f'(g(x)) = -sin(g(x)) \N]

3. Maintenant, tu peux appliquer la règle de la chaîne.

\[ h'(x) = f'(g(x))g'(x) \]

4. Enfin, substitue \N( f'(g(x)) = -sin(g(x)) \).

\N[ \Nbf{ h'(x) } = \Nbf{ -sin(g(x))g'(x) } \N]

La règle de la chaîne avec une fonction cosinus.

En utilisant la règle que tu as dérivée dans l'exemple ci-dessus, quelle est la dérivée de la fonction suivante ?

\N[ h(x) = cos \Nà gauche( 5x^{2} \Nà droite) \N]

Solution:

1. En suivant l'exemple précédent, considère que \N( 5x^{2} \N) est \N( g(x) \N).

\N-[ \N-{ if } g(x) = 5x^{2}, \N-{ then } g'(x) = 10x \N].

2. Maintenant, en utilisant le résultat de l'exemple précédent :

\[ \N-h'(x) &= -sin(g(x))g'(x) \N-&= -sin \Ngauche( 5x^{2} \Ndroite) \Ncdot 10x \N-\Nbf{ h'(x) } &= \Nbf{ (-10x)sin \Ngauche( 5x^{2} \Ndroite) }\N- \N- fin{align} \]

Utilise les règles de différenciation pour trouver la dérivée d'une composition de 3 fonctions.

Quelle est la dérivée de la fonction suivante ?

\N[ k(x) = cos^{4} \Nà gauche( 7x^{2} + 1 \Nà droite) \N]

Solution:

1. Réécris \N( k(x) \N) pour faciliter le travail.

\[ k(x) = \left( cos \left( 7x^{2} + 1 \right) \right)^{4} \]

2. Applique la règle de la chaîne plusieurs fois de suite jusqu'à ce que la dérivée soit trouvée.

\[ \begin{align}k'(x) &= 4 \left( cos \left( 7x^{2} + 1 \right) \right)^{3} \left( \frac{d}{dx}) \left( cos \left( 7x^{2} + 1 \right) \right) \right) \\&= 4 \left( cos \left( 7x^{2} + 1 \right) \right)^{3} \left( -sin \left( 7x^{2} + 1 \right) \left) \left( \frac{d}{dx}) \left( 7x^{2} + 1 \right) \right) \\&= 4 \left( cos \left( 7x^{2} + 1 \right) \right)^{3} \N-Gauche( -sin \Ngauche( 7x^{2} + 1 \Ndroite) \Ndroite) (14x) \N\Nend{align} \]

3. Simplifie la réponse.

\[ \bf{ k'(x) } = \bf{ -56x \c, sin \left( 7x^{2} + 1 \cright) cos^{3} \a gauche( 7x^{2} + 1 \a droite) } \]

Utilise les règles de différenciation pour trouver la dérivée d'une fonction polynomiale en un point.

Quelle est la dérivée de la fonction suivante au point \N( (1, -4) \N) ?

\N[ f(x) = (x-5)(x-2)^{6} \N]

Solution:

1. Réfléchis à la ligne de conduite que tu veux adopter.

• Comme il s'agit d'un polynôme factorisé, tu pourrais développer et simplifier le polynôme, puis prendre les dérivées de chaque composant, mais est-ce la méthode la plus efficace ?
  • La réponse courte est non, ce n'est pas le cas.
  • Au lieu de cela, il est plus efficace (c'est-à-dire plus rapide et plus facile) de considérer \( f(x) \N) comme un produit de deux fonctions :

\[ \begin{align}f(x) &= \underbrace{(x-5)}_{g(x)} \underbrace{(x-2)^{6}}_{h(x)} \\&= g(x)h(x)\end{align} \]

2. Pour utiliser la règle du produit afin de trouver cette dérivée, tu dois d'abord savoir ce que sont \N( g'(x) \N) et \N( h'(x) \N).

• La première fonction, \N( g(x) = x-5 \N), est une fonction élémentaire. Tu peux différencier cette fonction en utilisant la règle de la puissance pour obtenir :

\N[ g'(x) = 1 \N]

• La deuxième fonction, \N( h(x) = (x-2)^{6}), est une composition de fonctions élémentaires. \), est une composition de fonctions. Tu peux la décomposer comme suit :

\[ \begin{align}h(x) &= {\underbrace{(x-2)}_{v(x)} }^{6}\\&= (v(x))^{6}\end{align} \]

• Donc, si tu laisses \( u(x) = x^{6} \N- et \N- v(x) = x-2 \N-, alors \N- h(x) = u(v(x)) \). Tu peux différencier ceci en utilisant la règle de la chaîne.
  • Mais pour utiliser la règle de la chaîne ici, tu dois d'abord trouver \N- u'(x) \N et \N-v'(x) \N.
    • En utilisant la règle de puissance, \( u'(x) = 6x^{5} \).
    • En utilisant les règles du multiple constant et de la constante, \Nv'(x) = 1 \N.
  • En substituant \N- u'(x), v'(x) \N- et \N- v(x) \N- dans la règle de la chaîne pour résoudre \N- h'(x) \N-, tu obtiens :

\N[ \N-h'(x) &= u'(x-2) \Ncdot 1 \N-&= 6(x-2)^{5}\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-]

3. Après avoir trouvé \N( g'(x) \N) et \N( h'(x) \N), tu peux substituer ce qui suit à la règle du produit :

• \N( g(x) = x-5 \N)
• \N- h(x) = (x-2)^{6} \)
• \N- (g'(x) = 1 \N)
• \N- h'(x) = 6(x-2)^{5} \)

4. Une fois substitué, tu obtiens :

\f'(x) &= g'(x)h(x)+g(x)h'(x) \N-&= 1 \cdot (x-2)^{6} + (x-5) \cdot 6(x-2)^{5} \\N-&= (x-2)^{5}\Nà gauche( (x-2) + 6(x-5) \Nà droite) \NCOPY00 &= (x-2)^{5} (7x-32)\end{align} \]

5. Maintenant que tu as la dérivée de la fonction, tout ce qu'il te reste à faire est d'évaluer la dérivée au point \( (1, -4) \N). Pour ce faire, remplace la coordonnée x du point par la dérivée de la fonction et résous le problème.

\N-[ \N-{align}\Nà gauche. f'(x) \Nà droite|_{x=1} &= (1-2)^{5} (7 \cdot 1 - 32) \c&= (-1)^{5} (-25) \N-&= 25\N- [end{align}\N]

6. Par conséquent,

\[ \bf{ \a gauche. f'(x) \a droite|_{x=1} } = \bf{ 25 } \]

Utilise les règles de différenciation pour trouver la dérivée d'une fonction rationnelle en un point.

Quelle est la dérivée de la fonction suivante au point \N( (1, -1) \N) ?

\[ y = \frac{-2x}{\sqrt{3x^{2}+1}} \]

Solution:

1. Réfléchis à la ligne de conduite que tu veux adopter.

• Quelle est la méthode la plus efficace pour trouver la dérivée ?
  • Dans ce cas, la couche externe de complexité est le fait que la fonction donnée est un quotient de deux fonctions.

\[ \begin{align}y &= \frac{ \overbrace{-2x}^{u(x)} }{ \underbrace{\sqrt{3x^{2}+1}}_{v(x)} } \\N-&= \frac{u(x)}{v(x)}\N- end{align}\N]

2. La première chose à faire est d'utiliser la règle du quotient, où \( u(x) = -2x \) et \( v(x) = \sqrt{3x^{2}+1}) \).

• Mais pour utiliser la règle du quotient, tu dois trouver \N- u'(x) \N et \N-v'(x) \N.
  • En utilisant la règle du multiple constant, \N- u'(x) = -2 \N-.
  • \N( v(x) \N) est une composition de fonctions : \N( f(x) = \sqrt{x}) \N- et \N- g(x) = 3x^{2}+1 \N-, tu devras donc utiliser la règle de la chaîne pour trouver \N- v'(x) \N-.
    • En utilisant la règle de puissance, \ ( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}) \N- et \N- g'(x) = 6x \N-.
  • En substituant \N( f'(x), g'(x), g(x) \N) dans la règle de la chaîne, tu obtiens :

\[ v'(x) = \frac{3x}{\sqrt{3x^{2}+1}} \]

3. Substitue ce qui suit dans la règle du quotient :

• \N( u(x) = -2x \N)
• \N( v(x) = \sqrt{3x^{2}+1}) \)
• \N- u'(x) = -2 \N- v(x) = \Nsqrt{3x^{2}+1} \N
• \N- v'(x) = \frac{3x}{\sqrt{3x^{2}+1}} \)

\[ \N-y' &= \Nfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}] \N- &= \Nfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^{2}} \\N-&= \frac{-2 \sqrt{3x^{2}+1}+2x \frac{3x}{\sqrt{3x^{2}+1}}{3x^{2}+1}\end{align} \]

4. Multiplie le numérateur et le dénominateur par \( \sqrt{3x^{2}+1} \) pour simplifier cette fraction :

\[ \begin{align}y' &= \frac{-2 \sqrt{3x^{2}+1}+2x \frac{3x}{\sqrt{3x^{2}+1}}{3x^{2}+1}]. \cdot \frac{\sqrt{3x^{2}+1}}{\sqrt{3x^{2}+1}} \\&= \frac{-2 \left( 3x^{2}+1 \right) + 2x \cdot 3x}{(3x^2 + 1) \sqrt{3x^{2} + 1}} \\N-&= \frac{-6x^{2}-2+6x^{2}}{(3x^2 + 1) \sqrt{3x^{2} + 1}} \\N-&= \frac{-2}{(3x^2 + 1) \sqrt{3x^{2} + 1}}\end{align} \]

5. Maintenant que tu as la dérivée de la fonction, il ne te reste plus qu'à évaluer la dérivée au point \( (1, -1) \). Pour cela, remplace la coordonnée x du point par la dérivée de la fonction et résous le problème.

\[ \begin{align}\left. y'(x) \right|_{x=1} &= \frac{-2}{(3(1)^2 + 1) \sqrt{3(1)^{2} + 1}} \\N-&= \frac{-2}{(3 + 1) \sqrt{3 + 1}} \\N-&= \frac{-1}{4}\n{align}\N]

6. Par conséquent,

\[ \bf{ \left. y'(x) \right|_{x=1} } = \bf{ \frac{-1}{4} } \]