What is Investigating Continuité?

Si tu essaies de dessiner cette fonction sans prendre ton crayon, tu ne peux pas le faire parce que la fonction a un trou en p. En fait, elle n'est même pas définie en p! Tu vas donc devoir supposer que la fonction à laquelle tu penses est définie au point p, ce qui se fait en disant "suppose que $f\left(p\right)$existe".

Cette fonction n'est pas définie au point p | StudySmarter Originals

Cette fonction est définie au point p, mais la limite de gauche et celle de droite ne sont pas les mêmes. En d'autres termes

$\underset{x\to p^{-}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to p+}{\lim }f\left(x\right)$

donc

$\underset{x\to p}{\lim }f\left(x\right)$

n'existe pas. Donc, la limite lorsque x se rapproche de p doit exister aussi !

Les limites de gauche et de droite ne sont pas les mêmes | StudySmarter Originals

La fonction ci-dessous est définie à p. La limite existe lorsque x s 'approche de p. Mais elle n'est pas égale à la valeur de la fonction ! Tu peux écrire que ces deux valeurs ne sont pas identiques sous la forme suivante

$\underset{x\to p}{\lim }f\left(x\right)\ne f\left(p\right).$

La valeur de la fonction n'est pas la même que la limite de la fonction | StudySmarter Originals

Décide si la fonction

est continue en $x=2$.

Réponse :

Si tu essaies d'évaluer la fonction $f\left(x\right)$ à 2, tu obtiens une division par zéro. Donc, en fait, cette fonction n'est pas définie en $x=2$et elle ne peut donc pas être continue à cet endroit non plus. Tu peux représenter graphiquement la fonction pour voir qu'il y a une asymptote verticale à $x=2$C'est pourquoi la fonction n'est pas définie à cet endroit.

Cette fonction n'est pas continue à x=2 | StudySmarter Originals

La difficulté de l'exemple précédent était donc que la fonction n'était pas définie lorsque $x=2$. Supposons plutôt que ta fonction soit définie par

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+2}{x-2},& x\ne 2\\ 7,& x=2\end{array}\right.$

qui est définitivement définie à $x=2.$ Cette fonction est-elle continue en $x=2$?

Réponse :

Dans ce cas

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

mais

$\underset{x\to 2+}{\lim }f\left(x\right)=\infty$,

donc la limite n'existe pas à $x=2$. Par conséquent, même si la fonction est définie lorsque $x=2$elle n'y est pas continue.

Rigons un peu plus l'exemple précédent. Si le problème est que la limite de gauche et celle de droite ne sont pas les mêmes, tu peux modifier un peu la fonction pour voir ce qui se passe. Prends

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+2}{x-2},& x>2\\ 7,& x=2\\ -\frac{x+2}{x-2}& x<2\end{array}\right.$

Réponse :

Maintenant, quand tu regardes la limite à mesure que $x$ s'approche de 2, tu as

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\infty =\underset{x\to 2+}{\lim }f\left(x\right).$

Mais $f\left(2\right)=7$ce qui n'est certainement pas l'infini ! La fonction n'est donc toujours pas continue à $x=2$.

Décide si la fonction

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-x^2+9,& x\le 2\\ x+1,& x>2\end{array}\right.$

est continue au point $p=2$.

Réponse :

Étape 1 :

Comme dans l'exemple précédent, $f\left(2\right)=5$

Étape 2 : Vérifie les limites de gauche et de droite :

La limite de gauche :

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=5.$

Mais maintenant la limite de droite est

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(x+1)=2,$

donc

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$

n'existe pas. Par conséquent, la fonction n'est pas continue au point $p=2$.