Imagine que tu te diriges avec un ami vers un café situé au milieu d'une grande ville. En regardant une carte, ton ami te dit que tu es à environ 1,61 km au sud-ouest du café. Tu regardes la même carte et tu vois que tu es à
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Vrai/Faux : \N-(\N) peut être égal à \N(0\N).
En coordonnées polaires, le ____ est la distance entre le point et l'origine.
Étant donné le point
Vrai/Faux : Les équations suivantes sont utilisées pour convertir les coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires.\N-[r^2=x^2+y^2\N]
Si
Si
Si
En coordonnées polaires, l'angle
Vrai/Faux :
Le point
Si
En coordonnées polaires, l'angle
Vrai/Faux :
Le point
Parmi les symboles suivants, lequel correspond à la lettre grecque thêta ?
Vrai/Faux : \N-(\N) peut être égal à \N(0\N).
En coordonnées polaires, le ____ est la distance entre le point et l'origine.
Étant donné le point
Vrai/Faux : Les équations suivantes sont utilisées pour convertir les coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires.\N-[r^2=x^2+y^2\N]
Si
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Envoyer des commentairesFigure 1. Diagramme de l'emplacement du café
Dans ce scénario, ton ami et toi communiquez tous les deux la même information sur l'endroit où vous vous trouvez par rapport au café. La différence est que, alors que tu as utilisé un système de coordonnées rectangulaires ou cartésiennes, ton ami a utilisé un système de coordonnées polaires. Cet article présente les coordonnées polaires, la façon de représenter graphiquement les coordonnées polaires, la façon de convertir les coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires et les généralisations des coordonnées polaires en trois dimensions.
Tu as probablement l'habitude de parler de points dans le plan en faisant référence à leurs coordonnées \(x) et \(y). Ce système d'étiquetage des points s'appelle le système de coordonnées rectangulaires, également connu sous le nom de coordonnées cartésiennes.
Figure 2. Le système de coordonnées rectangulaires
Lescoordonnées polaires ne sont qu'une façon différente d'étiqueter les points dans le plan. Au lieu d'utiliser les coordonnées \(x) et \(y), le système de coordonnées polaires indique les points en fonction de la distance qui les sépare de l'origine,
Plus loin dans cet article, tu apprendras comment convertir les degrés et les radians, au cas où tu l'aurais oublié !
Figure 3. Le système de coordonnées polaires
En principe, l'angle
\N[ r \N dans [0,\Nfty).\N]
Si
Figure 4. L'origine, ou le pôle, en coordonnées polaires
La convention habituelle est de l'exprimer comme si
Comme nous l'avons déjà mentionné,
Figure 5. Un point et sa réflexion en coordonnées polaires
La coordonnée angulaire, \N(\Ntheta\N), est généralement exprimée à l'aide de valeurs comprises entre \N(0\N) et \N(2\Npi\N), c'est-à-dire
\N[ \Ntheta \Ndans [0,2\Npi).\N]
Tout comme pour la coordonnée radiale, il est également possible d'obtenir un point
Figure 6. Deux points avec des signes
Les coordonnées polaires et cartésiennes introduisent implicitement la notion de différentes métriques et de différentes façons de parler de la distance. Pour en revenir à notre scénario du café, tu peux dire que ton ami et toi êtes à
Les métriques et les espaces métriques associés deviennent de plus en plus importants au fur et à mesure que tu étudies les mathématiques et ont des applications pratiques incroyables dans des domaines allant de la science des données au traitement des signaux en passant par la mécanique quantique.
Il y a plusieurs termes qu'il est important de connaître lorsqu'on travaille avec des coordonnées polaires. Le point que nous appelons l'origine lorsque nous travaillons avec des coordonnées rectangulaires est appelé le pôle lorsque nous travaillons avec des coordonnées polaires. Ce que nous appelons l'axe des x lorsque nous travaillons avec des coordonnées rectangulaires est appelé l'axe polaire lorsque nous travaillons avec des coordonnées polaires.
L'axe polaire est également appelé direction de référence.
La distance à partir de l'origine, désignée par la coordonnée
Tableau 1. Terminologie utilisée dans les coordonnées polaires
| Nom(s) en coordonnées rectangulaires | Nom(s) en coordonnées polaires |
| Origine | Pôle |
| Axe horizontal, ou axe | Axe polaire, ou direction de référence |
| Distance par rapport à l'origine | Coordonnée radiale, rayon ou distance radiale |
| Angle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par rapport à l'axe positif | Coordonnée angulaire, angle polaire ou azimut |
La coordonnée angulaire
Algébriquement, la relation entre les degrés et les radians est la suivante :
L'angle
tu obtiendras que
\[ \begin{align} 30{text{ degrés } &= \dfrac{30\pi}{180}\text{ radians } \N- &= \dfrac{\pi}{6}\text{ radians}. \N- [Fin{alignement}\N]
Inversement, un angle de
tu obtiendras que
\[\N- Début{alignement} \frac{\pi}{4}\text{ radians } &= \frac{1 \c, \pi \text{ radians}}{4} \N- &= \dfrac{180\text{ degrés}}{4} \N- &= 45 \N-{ degrés}. \N- [end{align}\N]
L'un des aspects intéressants du travail avec les coordonnées polaires est que chaque point a une infinité de coordonnées polaires qui le décrivent. Tu l'as remarqué tout à l'heure pour le pôle, dont nous avons dit qu'il est représenté par \N((0,\theta)\N) pour n'importe quelle valeur de \N(\theta)\N. Par exemple, les coordonnées \N((0,0)\N), \N((0,-\pi)\N), et \N(\Ngauche(0,\tfrac{\sqrt{\pi}}{17}\Ndroite)\Nreprésentent toutes le pôle.
Il convient de noter que cette représentation multivaluée est généralement évitée et que les coordonnées sont représentées dans l'intervalle
\N[ r \Ndans [0,\Ndansfty)\N]
et
\N[ \Ntheta \Ndans [0,2\Npi).\N]
Cependant, pour certains scénarios particuliers, comme la description du mouvement en physique, ces domaines sont étendus de manière à inclure tous les nombres réels.
En général, les points \N((r,\theta)\N) et \N((r,\theta+2n\pi)\N) pour tout entier \N(n\N) décrivent le même point. Les points \N((-r,\Ntheta)\N) et \N((r,\Ntheta+m\Npi)\N), où \N(m\N) est un entier impair , décrivent également le même point.
Géométriquement, \N((r,\Ntheta)\N) et \N((r,\Ntheta+2n\Npi)\Nreprésentent le même point parce que l'ajout de \N(2n\Npi\N) correspond à une rotation du point de \N(2n\Npi\N) radians, ou d'un multiple de 360 degrés. La rotation d'un multiple de \N(2\Npi\N) ne change pas la position du point, donc \N((r,\Ntheta)\Net \N((r,\Ntheta+2n\Npi)\Nreprésentent le même point.
Figure 7. Représentations multiples du même point en coordonnées polaires
Les coordonnées \N(\Ngauche(1,\Ntfrac{\pi}{4}\Ndroite)\N) et \N(\Ngauche(1,\Ntfrac{9\pi}{4}\Ndroite)\Ndécrivent le même point car
De même, les coordonnées \N(\Ngauche(-10,\Ntfrac{5\pi}{6}\Ndroite)\N) et \N(\Ngauche(10,\Ntfrac{11\pi}{6}\Ndroite)\N) décrivent le même point, car
\N- [\N- Début{alignement} \frac{11\pi}{6} &= \frac{5\pi}{6}+\frac{6\pi}{6} \N- &=\frac{5\pi}{6}+\pi. \N- [Fin{align}\N]
À ce stade, tu as peut-être déjà remarqué que travailler avec des coordonnées polaires présente des avantages, alors tu peux apprendre ici comment convertir des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires.
Étant donné un point en coordonnées cartésiennes, tu peux trouver une expression pour ce même point en coordonnées polaires. Pour ce faire, tu peux utiliser les formules suivantes
Tu peux aussi trouver la fonction arctangente écrite comme la fonction tangente inverse, c'est-à-dire
\[ \Ntheta = \Ntan^{-1}{\Ngauche(\Nfrac{y}{x}\Ndroite)}.\N]
Pour comprendre l'origine de ces formules, disons que l'on te donne un point \((x,y)\N) en coordonnées rectangulaires et que tu veux connaître ses coordonnées polaires correspondantes \((r,\Ntheta)\N). Si tu faisais un graphique du point, tu obtiendrais quelque chose comme l'image suivante.
Figure 8. Un point du plan représenté en coordonnées polaires et rectangulaires
Tu peux utiliser des faits connus sur les triangles rectangles pour écrire les relations entre \N(x), \N(y), \N(r) et \N(\Ntheta). Tout d'abord, remarque que tu peux utiliser le théorème de Pythagore pour écrire
\N- x^2+y^2=r^2.\N- x^2+y^2=r^2.\N- x^2+y^2=r^2.
À partir de là, tu peux résoudre \N(r\N) pour obtenir la première formule,
Tu peux aussi utiliser le fait que la tangente d'un angle \(\Ntheta\N) dans un triangle droit est le rapport de son côté opposé à son côté adjacent, ce qui te permet d'écrire
\N[ \Ntan{\Ntheta} = \Nfrac{y}{x}.\N]
Tu peux maintenant utiliser la fonction tangente inverse pour isoler
\[ \theta = \arctan{\left( \frac{y}{x}\right)}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Le point
est donné en coordonnées cartésiennes. Ecris
Solution :
Pour trouver
\N- \N[ \N- \N{align} r &= \Nsqrt{x^2+y^2} \N- &= \sqrt{3^2+4^2} \N- &= \sqrt{ 9 +16} \N- &= \sqrt{25} \ &= 5. \N-END{align}.\N-[\N]
Ensuite, trouve l'angle en utilisant
\[\Ntheta = \Narctan{\Ngauche(\Nfrac{y}{x}\Ndroite)}\N]
à l'aide d'une calculatrice, c'est-à-dire
N'oublie pas que cet angle est généralement donné en radians, alors assure-toi que ta calculatrice les utilise !
Cela signifie que le point
Comme tu dois utiliser la fonction tangente inverse pour trouver l'angle \N(\Ntheta\N), il est préférable d'en discuter un peu plus en détail.
Lorsque tu utilises la formule
tu dois connaître certains détails techniques liés aux fonctions tangente et arctangente.
Tout d'abord, remarque que cette expression est indéfinie lorsque
Figure 9. Deux points en coordonnées polaires lorsque
Ensuite, étant donné n'importe quelle valeur de
Étant donné
\[ \begin{align} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\droite) &=\tan\left(-\dfrac{3\pi}{4}\droite) \tan\left(-\dfrac{3\pi}{4}\droite) \tan\left &=\dfrac{y}{x} \N- &=\dfrac{1}{1} \&=1. \N- [Fin{align}\N]
Remarque que ces angles sont des reflets l'un de l'autre ; c'est toujours le cas.
Pour être sûr de spécifier le bon point lorsque tu écris un point en coordonnées polaires, tu dois t'assurer que l'angle
Figure 10. Graphique de la fonction arctangente
De plus, comme les valeurs de
Tableau 2. Relation entre le signe de
| Quadrant | Signe de | Signe de \N(y\N) | \N- (\N-) |
| I | \(\theta=\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N) | ||
| II | |||
| III | |||
| IV |
Considérons le point \N( P= (-2,1) \N).
Solution :
Supposons maintenant que l'on te donne un point en coordonnées polaires et que tu veuilles savoir comment exprimer ce point en coordonnées rectangulaires. Dans ce cas, tu peux aussi utiliser le même diagramme du triangle droit qui relie \N(x), \N(y), \N(r) et \N(thêta).
Figure 11. Un point du plan représenté en coordonnées polaires et rectangulaires
Concentre-toi sur l'angle
De même, le cosinus de l'angle est :
En résolvant chaque expression pour \(x\N) et \N(y\N), tu obtiendras :
\N[ x=r\N,\Ncos{\theta}\N]
et
\N[ y=r\,\Nsin{\theta}\N]].
Contrairement au passage des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires, les expressions ci-dessus ne requièrent aucune considération particulière. Elles sont aussi simples que possible !
Tu as trouvé précédemment que le point \(P=(-2,1) \N) avait :
\N[ r = \sqrt{5}\N]
et
\N[ \Ntheta = 2,677945 \N].
Vérifie que les valeurs ci-dessus sont correctes.
Solution :
Pour trouver la coordonnée
\N[ x = r \N, \Ncos{\theta},\N]
Utilise donc une calculatrice et trouve :
\[ \begin{align} x &= \sqrt{5} \cdot \cos{2.677945} \ &= -2. \N- [end{align}\N-]
Pour la coordonnée
c'est-à-dire
\[ \begin{align} y &= \sqrt{5} \cdot \sin{2.677945} \ &= 1. \N- [end{align}\N]
Les valeurs ci-dessus sont précisément les coordonnées rectangulaires du point
Tu peux utiliser plusieurs ressources électroniques pour représenter graphiquement des points en coordonnées polaires. Par exemple, dans Geogebra, tu peux représenter graphiquement un point
Tu trouveras ici quelques exemples de conversion entre les deux systèmes de coordonnées !
Pour ces exemples, suppose que l'on te donne un point en coordonnées rectangulaires et que tu veuilles le trouver écrit en coordonnées polaires.
Convertis le point \N[ P= \Ngauche(-2\sqrt{3},-2\Ndroite)\N]
des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires.
Solution :
Tout d'abord, note que ce point se trouve dans le troisième quadrant puisque \(x\N) et \N(y\N) sont tous deux négatifs.
Trouve ensuite
c'est-à-dire
\[\begin{align}r&=\sqrt{\left(-2\sqrt{3}\right)^2+(-2)^2} \N- &=\sqrt{4(3)+4} \N- &= \sqrt{12+4} \N- &= \sqrt{16}\N- &=4.\N- [end{align}\N]
Trouve ensuite thêta. Comme le point se trouve dans le troisième quadrant, tu devras utiliser [\Ntheta=\Narctan\Nà gauche(\Nfrac{y}{x}\Nà droite)+\Npi,\N].
c'est-à-dire
\[\begin{align}\theta&=\arctan\left(\frac{-2}{-2\sqrt{3}}\right)+\pi \\N- &=\arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)+\pi \N- &=\dfrac{\pi}{6}+\pi \N- &=\dfrac{7\pi}{6}.\N- end{align}\N-]
Ainsi, le point \N(\Nà gauche(-2\sqrt{3},-2\Nà droite)\Nen coordonnées polaires est \N(\Nà gauche(4,\Ntfrac{7\pi}{6}\Nà droite)\N).
Voici un autre exemple.
Convertit le point
des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires.
Solution :
Commence par noter que ce point se trouve dans le quatrième quadrant car \(x\N) est positif et \N(y\N) est négatif.
Trouve maintenant \N(r\N) comme d'habitude, c'est-à-dire
\[\begin{align} r &= \sqrt{\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} \N- &= \sqrt{\dfrac{9\cdot2}{4}+\dfrac{9\cdot2}{4}} \N- &=\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}}\N- &=\sqrt{9} \N- &=3.\N- [end{align}\N]
Tu as trouvé précédemment que le point se trouve sur le quatrième quadrant, tu devras donc utiliser
\N[ \Ntheta = \Narctan{\Ngauche( \Nfrac{y}{x} \Ndroite)}+2\Npi.\N]
Avant de continuer, note que les valeurs de \(x\N) et \N(y\N) sont les mêmes, mais avec des signes opposés. Cela signifie que
\N[ \Nfrac{y}{x}=-1,\N]
tu n'as donc pas besoin d'écrire l'énorme fraction entière, car elle se simplifie en \N(-1\N). Sachant cela,
\N- [\N- Début{align} \theta &= \arctan{-1}+2\pi \\N &= -\frac{\pi}{4}+2\pi \N &= \frac{7\pi}{4}.\Nend{align}\N]
Cela signifie que le point
\[ Q = \Nà gauche(3, \Nfrac{7\pi}{4}\Nà droite).\N]
Pour l'exemple suivant, suppose que l'on te donne un point en coordonnées polaires et que tu souhaites savoir comment il s'écrit en coordonnées rectangulaires.
Convertis le point
des coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires.
Solution :
Commence par trouver
\N- [\N- Début{align} x&=4\cos\Nà gauche(-\Ndfrac{\pi}{3}\Nà droite) \N- &= 4\Nà gauche(\Ndfrac{1}{2}\Nà droite) \N- &=2.\NFin{align}\N]
Trouve ensuite \N(y\N), en utilisant la formule \N(y=r\Nsin(\Ntheta)\N).
Ainsi, le point \N(\Ngauche(4,-\tfrac{\pi}{3}\Ndroite)\N) en coordonnées cartésiennes est \N((2,-2\sqrt{3})\N)\N).
Voici un dernier exemple.
Convertir le point
des coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires.
Solution :
Trouve d'abord
\N-[\N-[\N-]x&=5\cos\Nà gauche(\N-{dfrac{3\pi}{4}\Nà droite) \N-[\N-]5\Nà gauche(-\N-{dfrac{\sqrt{2}}{2}\Nà droite) \N-\N-{dfrac{5\sqrt{2}}{2}.\N-[\N-]\N-[\N-]\N-[\N-]\N-[\N-]\N-[\N-]Fin{align}}]
Trouve ensuite \N(y\N), en utilisant la formule \N(y=r\sin(\Ntheta)\N).
Par conséquent, le point \N(\Ngauche(5,\Ntfrac{3\pi}{4}\Ndroite)\N) en coordonnées cartésiennes est \N(\Ngauche(-\Ntfrac{5\sqrt{2}}{2},\Ntfrac{5\sqrt{2}{2}{2}\Ndroite)\N).
Ne t'inquiète pas si ta calculatrice ne te donne pas les valeurs exactes des fonctions trigonométriques. Si tu donnes une valeur décimale, la réponse est toujours la même.
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