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Figure 1. Graines de tournesol disposées en spirales logarithmiques - Pixabay
Parmi les autres phénomènes naturels dont les formes peuvent être décrites à l'aide de spirales logarithmiques, on trouve les coquilles de nautile et même certaines galaxies.
Figure 2. Une galaxie ayant la forme d'une spirale logarithmique - Pixabay
Cet article présente les courbes polaires, y compris des exemples importants de courbes polaires, certaines de leurs symétries et la façon de les représenter graphiquement.
Formule de la courbe polaire
Tu as peut-être l'habitude d'écrire des fonctions sous la forme suivante
\N[ y=f(x),\N]
où la relation entre \N( x \N) et \N( y \N) conduit à une courbe dans le plan. Lorsqu'une fonction est écrite en termes de \N( x \N) et \N( y \N), on dit qu'elle est écrite en coordonnées cartésiennes, également connues sous le nom de coordonnées rectangulaires.
En revanche, les courbes polaires sont des courbes écrites en termes de coordonnées polaires \N( r \N) et \N( \Ntheta.\N) Pour mieux décrire les coordonnées polaires, considère un point sur le plan.
Image 1. Un point dans le plan
Ensuite, dessine un segment qui va de l'origine à ce point.
Image 2. Un segment reliant l'origine et le point dans le plan
Les coordonnées polaires décrivent la position d'un point sur le plan en fonction de \N( r \N) et \N( \Ntheta,\N) où
\[ r = \sqrt{x^2+y^2},\]
est la distance entre l'origine et un point du plan (la longueur du segment indiqué dans le diagramme), et
\[ \Ntheta = \Narctan{\Nfrac{y}{x}},\N]
est l'angle entre l'axe positif \(x-\)et la ligne qui relie l'origine au point.
Image 3. Représentation graphique des coordonnées polaires.
Une autre façon de décrire les coordonnées polaires est d'utiliser les équations,
\[ x = r\,\cos{\theta}\]
et
\[ y = r\,\sin{\theta}.\]
Une courbe polaire est une fonction décrite en termes de coordonnées polaires, qui peut être exprimée généralement comme suit
\Nf(r,\Ntheta).\N]
Note que les fonctions décrites par des coordonnées polaires ne passeront généralement pas le test de la ligne verticale. Le test de la ligne verticale ne s'applique qu'aux fonctions qui s'écrivent sous la forme \N( y=f(x)\N) !
L'équation
\[ r = 3\sin{\left(\frac{2}{3}\theta\right)}\]
définit une courbe polaire. Son graphique ressemble à ceci,
Figure 3. Une courbe en forme de rose
Tu peux considérer la courbe ci-dessus comme l'ensemble de toutes les paires \( (r,\theta)\) qui satisfont l'équation
\N[ r = 3\sin{\Ngauche(\Nfrac{2}{3}\Ntheta\Ndroite)}.\N]
Pour plus d'informations sur les coordonnées polaires, ce qu'elles sont et comment convertir les coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires, voir nos articles sur les coordonnées polaires et sur la dérivation des fonctions écrites en coordonnées polaires.
Types de courbes polaires
Certains types de courbes peuvent être exprimés plus naturellement en coordonnées polaires qu'en coordonnées rectangulaires. Six classes importantes de ces courbes sont,
- Limaçons
- les cardioïdes
- Les courbes en rosace
- Spirales d'Archimède
- Spirales logarithmiques
- Lemniscates
Limaçons
Un limaçon est une courbe polaire définie par l'équation suivante
\[ r = a \pm b \sin{\theta}\]
ou
\N[ r = a \pm b \Ncos{\theta},\N]
où \N( a \N) et \N( b \N) sont des constantes. Il existe trois types de limaçons,
- Looped (limaçons where \( a < b \)),
- Cardioïdes (limaçons où \( a = b \)),
- Dimpled (limaçons où \( a > b \)).
Limaçon bouclé
Par exemple, le limaçon défini par
\[ r = 2 + 3 \sin{\theta},\]
est une limaçon bouclée car \( 2 < 3. \) Voici son graphe.
Figure 4. Un limaçon bouclé
Limaçon à fossettes
Autre exemple, la courbe
\[ r = 4 - \cos{\theta}\]
est une limaçon à fossettes parce que \( 4 > 1. \) Elle ressemble à ceci,
Note que les limaçons définis à l'aide du cosinus sont symétriques par rapport à l'axe horizontal, tandis que les limaçons définis à l'aide du sinus sont symétriques par rapport à l'axe vertical.
Limaçon est un nom bizarre, n'est-ce pas ? Il y a une raison pour laquelle ce nom est utilisé !
Le nom limaçon, traduit du français, signifie littéralement "escargot". Ce nom vient de certains types de limaçons qui ressemblent à des coquilles d'escargot.
Les cardioïdes
Les cardioïdes sont des exemples particuliers de limaçons qui doivent leur nom à leur forme de cœur. L'équation d'une cardioïde est la suivante
\N[ r = a(1-\cos{\theta}),\N]
où \( a \N) est une constante. Par exemple, la cardioïde
\[ 1- \cos{\theta}\] ressemble à ceci,
Figure 6. Une cardioïde
Courbes de Rose
Les courbes de Rose sont des courbes polaires nommées par Guido Grandi, un mathématicien italien qui les a étudiées au début des années 1700. Elles sont définies par des équations de la forme
\N[ r = a\sin{\Ngauche(n\Ntheta\Ndroite)},\N]
ou
\[ r = a\cos{\left(n\theta\right)},\]
où \( a \) est une constante qui détermine la taille de la fleur et \( n \) est une constante qui détermine le nombre et l'emplacement des pétales. Par exemple, la courbe de la rose
\[ r = \cos{\Nà gauche( 9\Ntheta \Nà droite)},\N]
ressemble à ceci,3
Figure 7. Une courbe de rose utilisant la fonction cosinus
En même temps, la courbe de la rose
\[ r = 3 \sin{\left( 9 \theta \right) } ,\]
ressemble à ceci,
Figure 8. Courbe d'une rose définie à l'aide de la fonction sinus
Les deux roses ont le même nombre de pétales. Cela est dû au fait que \( n \N) est fixé à 9 dans les deux équations. Cependant, l'une des roses est réduite d'un facteur 3, ce qui correspond au fait qu'elle a \N( a=3.\N). Tu peux également remarquer qu'une rose est tournée par rapport à l'autre, ce qui correspond au fait que l'une est définie en termes de fonction sinus, tandis que l'autre est écrite à l'aide de la fonction cosinus.
La valeur \(n\) n'a pas besoin d'être un nombre entier. Par exemple, la courbe de la rose
\[ r = 3 \cos{\left(\frac{4}{7}\theta \right)},\]
ressemble à ceci,
Figure 9. Une courbe en rose avec une valeur non entière de \N( n\N)
Les courbes de roses avec des valeurs irrationnelles pour \N(n\N) (comme \N(\Npi\N), par exemple) peuvent être particulièrement intéressantes parce qu'elles ne sont jamais complètes. Étant donné une courbe rose irrationnelle \N(f\N) et un point arbitraire \N(P\N) dans le disque contenant \N(f\N), peu importe à quel point tu te rapproches de \N(P\N), il y a un point de \N(f\N) plus proche de \N(P\N) que tu ne l'es. \(f\) est un exemple d'ensemble dense; un autre exemple est l'ensemble des nombres rationnels sur la ligne réelle.
Spirales d'Archimède
Une spirale d'Archimède est une courbe polaire définie par l'équation suivante
\N-[r = b\Ntheta.\N]
Il existe une version généralisée de la spirale d'Archimède, appelée néoïde, définie par l'équation suivante
\N- r = a + b\Ntheta, \N]
où \N( a \N) et \N( b \N) sont des constantes. La constante \N- a \N détermine la valeur de la courbe à \N- \Ntheta = 0 \N (l'axe positif \N- x), et \N- b \N correspond à la taille de la spirale.
Les spirales archimidiennes ont une autre particularité, car il existe une distance de séparation constante entre les segments consécutifs de la spirale, qui est égale à \(2\pi b\). Par exemple, le néoïde
\N[ r = 1 + 3\Ntheta,\N]
ressemble à ceci,4
Figure 10. Un néoïde décrit par \( r = 1 + 3\theta \)
Les spirales d'Archimède sont des courbes polaires nommées d'après le mathématicien grec Archimède. Archimède a écrit un livre entier, On Spirals, sur ces courbes et leurs applications.
Spirales logarithmiques
Un autre type important de spirale est la spirale logarithmique. Les spirales logarithmiques sont des courbes polaires définies par l'équation suivante
\N[ r = a e^{b\theta},\N]
où \( a \N) et \N(b \N) sont des constantes. Les spirales logarithmiques tirent leur nom du fait que tu peux isoler \( \theta \) et l'écrire en termes de logarithme naturel de \(r.\).
Par exemple, la spirale logarithmique
\[ r = 2e^{\frac{1}{3}\theta},\]
ressemble à ceci,
Figure 11. Une spirale logarithmique
La spirale logarithmique est également appelée spira mirabilis, ce qui signifie "spirale miraculeuse" en latin.
Les ovales de Cassini
Les ovales de Cassini sont des courbes polaires découvertes en 1680 par Giovanni Domenico Cassini. Elles sont définies par l'équation
\[ r^4 = 2a^2r^2\cos{\left(2\theta \right)} + b^4 - a^4,\]
où \N( a \N) et \N( b \N) sont des constantes. Le rapport entre \(a \) et \(b \) détermine la forme de l'ovale de Cassini comme suit,
- Si \(\frac{b}{a} > 1\), l'ovale a 1 boucle,
- Si \(\frac{b}{a} < 1\), l'ovale a 2 boucles séparées,
- Si \(\frac{b}{a} = 1\), on obtient une lemniscate.
Par exemple, l'ovale de Cassini
\[ r^4 = 2(2)^2r^2\cos{\Nà gauche(2\Nà droite)}+(3)^4-(2)^4,\N]
ressemble à ceci,4
Figure 12. Un ovale de Cassini
Lemniscates
Les lemniscates sont des types particuliers d'ovales de Cassini qui ressemblent à des huit. Les lemniscates sont définis par l'équation suivante
\[ r^2 = a^2\sin{\Ngauche( 2\Ndroite)},\N]
ou
\[ r^2 = a^2\cos{\left( 2\theta\right)},\]où \( a \N) est une constante. Ces courbes sont obtenues en mettant \N( a= b\N) dans l'équation pour un ovale de Cassini. Par exemple, la lemniscate
\[ r^2 = 4\cos{\Nà gauche( 2\Ntheta \Nà droite)},\N]
ressemble à ceci,
Figure 13. Un lemniscate utilisant la fonction cosinus
Les lemniscates définis en termes de sinus sont identiques à ceux définis en termes de cosinus, juste tournés de 45 degrés.
Figure 14. Lemniscate utilisant la fonction sinus
Les courbes polaires apparaissent dans des endroits intéressants et peut-être inattendus. Par exemple, tu as peut-être entendu parler de l'ensemble de Mandelbrot. L'ensemble de Mandelbrot est un exemple de fractale, une forme qui contient des copies d'elle-même à différentes échelles.
L'ensemble de Mandelbrot contient plusieurs des courbes dont nous avons parlé. Par exemple, le bulbe principal de l'ensemble a la forme d'une cardioïde.5
Figure 15. Limite d'une section de l'ensemble de Mandelbrot
En zoomant sur le bord de l'ensemble, tu peux voir des spirales logarithmiques.5
Figure 16. Des spirales logarithmiques peuvent être trouvées dans l'ensemble de Mandelbrot.
La limite de l'ensemble de Mandelbrot, bien qu'elle soit incroyablement complexe, peut en fait être construite à l'aide d'une séquence de lemniscates.
Symétries des courbes polaires
Les courbes polaires présentent souvent des symétries dont tu peux tirer parti pour les représenter graphiquement et étudier leurs propriétés. En général, trois symétries sont impliquées dans les courbes polaires,
- Symétrie par rapport à l'axe polaire,
- Symétrie par rapport au pôle,
- Symétrie par rapport à l'axe vertical.
Le tableau ci-dessous résume les différentes symétries et la façon de les rechercher.6
| Nom | Axe de symétrie | Test |
| Symétrie par rapport au pôle | $$\theta = \frac{3\pi}{4}$$$ | Remplace \(r\) par \(-r\) ou (de façon équivalente) remplace \(\theta\) par \(\pi + \theta\). |
| Symétrie par rapport à l'axe polaire | $$\theta = \pi$$ | Remplace \(r\) par \(-r\) et \(\theta\) par \(\pi - \theta\), ou (de façon équivalente) remplace \(\theta\) par \(-\theta\). |
| Symétrie par rapport à l'axe vertical | $$\theta = \frac{\pi}{2}$$$. | Remplace \(r\) par \(-r\) et \(\theta\) par \(-\theta\), ou (de façon équivalente) remplace \(\theta\) par \(\pi - \theta\). |
Symétrie autour de l'axe polaire
La symétrie par rapport à l'axe polaire est la même que la symétrie par rapport à la ligne \( \theta = \pi,\) l'axe horizontal. Une courbe polaire est symétrique par rapport à l'axe polaire si tu peux retourner le graphique autour de l'axe horizontal et retrouver le même graphique qu'au départ. De façon équivalente, cela signifie que si le point \N( (r,\theta)\Nest sur la courbe polaire, alors le point \N( (r,-\theta) \N) obtenu en retournant \N( (r,\theta) \N autour de l'axe horizontal est également sur la courbe.
Il existe quelques tests que tu peux utiliser pour vérifier si une courbe est symétrique par rapport à l'axe polaire. Si l'on te donne l'équation d'une courbe polaire et que tu peux remplacer toutes les occurrences de \N( \Ntheta \N) par \N( -\Ntheta, \N) et obtenir la même équation, alors la courbe est symétrique par rapport à l'axe polaire. Cela revient à vérifier si, étant donné un point \N( (r,\theta) \N) sur la courbe, le point \N( (r,-\theta) \N) est également sur la courbe polaire.
Un autre test que tu peux faire consiste à remplacer \N- r \N par \N- -r \N et \N- \Ntheta \N par \N- \Npi - \Ntheta.\N Ce test fonctionne parce que le point \N- (-r,\Npi-\Ntheta) \Nest le même que le point \N- (r,-\Ntheta),\N simplement représenté d'une manière légèrement différente.
Vérifie la courbe de la rose
\N[ r = 3 \Ncos{\Nà gauche(2\Nà droite)},\N]
pour vérifier la symétrie par rapport à l'axe polaire.
Solution
Commence par \N-( \Ntheta \N) par \N-( -\Ntheta.\N) Cela te donnera
\[ \begin{align} r &= 3\cos{\left(2(-\theta)\right)} \\ &= 3\cos{(-2\theta)}. \N- [Fin{align}\N-]
La fonction cosinus a la propriété suivante
\[\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\]
pour toute valeur de \( \theta,\) donc
\[ \begin{align} r &= 3 \cos{(-2\theta)} \\ &= 3\cos{(2\theta)}. \n-{align}\n-[ \n-{align}} \n-{align}]
Comme il s'agit de la même équation que celle avec laquelle tu as commencé, ce test réussit. Cette courbe rose est donc symétrique par rapport à l'axe polaire.
Figure 17. Courbe rose symétrique par rapport à l'axe polaire
Si une courbe polaire réussit un test de symétrie, c'est qu'elle possède définitivement cette symétrie. Cependant, même si une courbe polaire échoue à tous les tests de symétrie que tu essaies, elle peut toujours avoir cette symétrie. Cela vient du fait que les courbes polaires ont de nombreuses représentations algébriques équivalentes et que tu n'es pas toujours en mesure de dire, simplement en regardant deux équations, si elles décrivent la même courbe.
Symétrie par rapport au pôle
Si une courbe polaire est symétrique par rapport au pôle, alors si tu l'inverses par rapport à la ligne
\[ \theta = \frac{3\pi}{4}\]
ne modifie pas son graphique. De manière équivalente, une courbe polaire est symétrique par rapport au pôle si, pour tout point \( (r,\theta)\) sur la courbe, le point \( (-r,\theta) \) est également sur la courbe. Pour tester la symétrie par rapport au pôle, tu peux remplacer \N( r \N) par \N( -r \N) et voir si tu obtiens la même équation. Tu peux aussi essayer de remplacer \N( \Ntheta \N) par \N( \Ntheta + \Npi.\N).
Teste le lemniscate
\N[ r^2 = 4\Nsin{\Ngauche( 2\Ntheta \Ndroite)},\N]
pour vérifier la symétrie par rapport au pôle.Solution
Tout d'abord, essaie de remplacer \N( r \N) par \N( -r, \N), c'est-à-dire
\[ \N- (-r)^2=4\sin{(2\theta)} \N- r^2 = 4\sin{(2\theta)}. \N- [Fin{align}\N-]
Puisque l'équation que tu as obtenue est la même que l'originale, ce lemniscate est symétrique par rapport au pôle. Tu peux aussi essayer l'autre test de symétrie et remplacer \N( \theta \N) par \N( \theta+\Npi, \N) c'est à dire
\[ \begin{align} r^2 &= 4\sin{\left(2(\theta+\pi) \right)} \\ &= 4\sin{(2\theta+2\pi)}. \N- [Fin{align}\N]
La fonction sinus a une période de \N(2\pi,\N), ce qui signifie que l'identité
\[ \sin{(\theta+2\pi)}\]
est vraie pour toute valeur de \(\theta,\N) donc
\[ r^2 = 4 \sin{(2\theta)}.\]
Une fois de plus, l'équation est la même que l'originale, la courbe est donc symétrique par rapport au pôle.
Figure 18. Une lemniscate avec une symétrie par rapport au pôle
Symétrie par rapport à l'axe vertical
Enfin, la symétrie par rapport à l'axe vertical est la même que la symétrie par rapport à la ligne
\N[ \Ntheta = \Nfrac{\pi}{2}.\N]
Pour tester la symétrie par rapport à l'axe vertical, essaie de remplacer \N( r \N) par \N( -r \N) et \N( \Ntheta \N) par \N( -\Ntheta.\N) Tu peux aussi essayer de remplacer \N( \Ntheta \N) par \N( \Npi-\Ntheta.\N).
Teste le limaçon
\N[ r = 2+3\sin{\theta},\N]
pour vérifier la symétrie par rapport à l'axe vertical.
Solution
Commence par remplacer \N( r \N) par \N( -r \N) et \N( \Ntheta \N) par \N( -\Ntheta,\N), c'est à dire
\N- r = 2 + 3 \Nsin{(-\Ntheta)},\N]
où tu peux utiliser le fait que la fonction sinus est une fonction impaire, ce qui signifie que
\[ \sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\]
pour toute valeur de \( \theta,\) donc
\[ \begin{align} -r &= 2 -3\sin{\theta} \\r &= -2+3\sin{\theta}. \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Comme l'équation ci-dessus n'est pas la même que l'originale, ce test ne te permet pas de savoir si la courbe est symétrique par rapport à l'axe vertical. Cependant, si tu essayes de remplacer \N( \Ntheta \N) par \N( \Npi-\Ntheta,\N) tu obtiendras
\N- r = 2 +3 \Nsin{(\pi-\theta)},\N]
et tu peux maintenant utiliser l'identité
\[ \sin{(\pi-\theta)} = \sin{\theta},\]
donc
\[ r = 2 + 3 \sin{\theta}.\]
L'équation ci-dessus est équivalente à l'équation originale, ce qui prouve que ce limaçon est symétrique par rapport à l'axe vertical.
Figure 19. Un limaçon symétrique par rapport à l'axe vertical
Représentation graphique des courbes polaires
Tu as vu une grande variété de courbes polaires et leurs graphiques. Supposons maintenant qu'on te donne une formule et que tu veuilles tracer le graphique de la courbe polaire.
Une stratégie consiste à apprendre les formules des exemples importants de courbes polaires et à comprendre les graphiques correspondants. De nombreuses courbes sur lesquelles tu seras amené à travailler sont des variantes des courbes polaires discutées plus haut, il peut donc être très utile de connaître ces courbes, leurs équations et leurs propriétés. Cependant, il y a de fortes chances que toutes les courbes polaires que tu rencontreras n'aient pas une formule que tu reconnaîtras. Sans parler de la tâche qui consiste à mémoriser toutes les formes et toutes les formules !
Tu trouveras ici quelques alternatives pour tracer des courbes polaires.
Tracer des courbes polaires manuellement
Il existe plusieurs stratégies que tu peux utiliser pour tracer manuellement des courbes polaires. Dans ce cas, l'une des premières choses à faire est de vérifier la périodicité. Si la fonction dont tu fais le graphique est périodique, il te suffit de faire le graphique de la fonction sur une seule période. Ensuite, trouve des points sur la courbe pour différentes valeurs de \( \theta.\) Une fois que tu as représenté ces valeurs sur le graphique, relie les points pour obtenir une approximation de la courbe.
Tu peux aussi vérifier s'il y a des symétries. Cela peut réduire considérablement la quantité de travail que tu dois effectuer. Par exemple, si tu sais qu'une courbe polaire est symétrique par rapport à l'axe vertical, tu n'auras qu'à tracer la courbe dans un demi-plan puis à la réfléchir sur l'axe pour obtenir l'autre moitié.
Trace le graphique de la courbe polaire décrite par
\[ r = 1 + 2\cos{\theta}.\]
Solution
Commence par vérifier les symétries. Tout d'abord, vérifie la symétrie par rapport à l'axe polaire en remplaçant \N( \Ntheta \N) par \N( -\Ntheta,\N) de façon à ce que
\N[ r = 1 + 2\cos{(-\theta)},\N]
Comme la fonction cosinus est une fonction paire, cela signifie que
\[ \NCos{(-\theta)} = \Cos{\theta},\]
donc
\[ r = 1 + 2\cos{\theta}.\]
Comme cette équation est la même que l'originale, la courbe est symétrique par rapport à l'axe polaire. Avant de vérifier d'autres symétries, essaie d'introduire quelques valeurs intéressantes de \( \theta \) dans l'équation.
| \N- \N- \N- \N[ \N- \Ntheta \N] | \[ 1 + 2\cos{\theta} \] | \[ r \] |
| \[ 0 \] | \N- 1 + 2 \Ncos{0} \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N] | \[ 3 \] |
| \[ \frac{\pi}{4}\]] | \[ 1 + 2 \cos{\frac{\pi}{4}}\] | \[ 1 + \sqrt{2}\] |
| \[ \frac{\pi}{2}\]] | \[ 1 + 2 \cos{\frac{\pi}{2}}\] | \[ 1 \] |
| \[ \frac{3\pi}{2}\] | \[ 1 + 2 \cos{\frac{3\pi}{2}}\] | \N- 1 - \Nsqrt{2}\N] |
| \N- [\N- \Npi \N] | \N- 1 + 2 \Ncos{\pi}\N] | \[-1\] |
Pour représenter graphiquement les valeurs négatives de \(r,\N), il suffit d'aller du côté opposé de l'angle \N( \Ntheta\N) que tu utilises. En traçant ces points, tu obtiendras.
Figure 20. Représentation graphique des courbes polaires en reliant les points
Ensuite, relie les points. Tu dois garder à l'esprit que tu es en train de tracer une courbe polaire, alors essaie de relier les points dans une fission courbe !
Figure 21. Représentation graphique de courbes polaires en reliant les points
Tu as constaté précédemment que le graphique a une symétrie polaire, alors réfléchis le graphique le long de ce qui serait l'axe \(x-\).
Figure 22. Symétrie des courbes polaires
Graphiques de courbes polaires en ligne
Il existe de nombreux outils en ligne gratuits comme Geogebra et Desmos pour tracer des courbes polaires. Pour tracer des courbes polaires dans l'un ou l'autre de ces outils, il suffit de taper l'équation de la courbe dans le champ de saisie.
Par exemple, pour représenter graphiquement une rose à trois feuilles dans Geogebra ou Desmos en utilisant des coordonnées polaires, tape
\[ r = \cos{(3\theta)}\]
et appuie sur Entrée.
Pour taper le symbole \( \theta \) dans Geogebra, utilise le clavier mathématique, qui peut être ouvert en cliquant sur le symbole du clavier en bas à gauche du champ de saisie. Pour taper le symbole \( \theta\) dans Desmos, tape le mot 'theta'.
Il existe bien sûr de nombreuses autres façons de tracer des courbes polaires. Si tu as une calculatrice graphique, elle possède probablement une fonction qui te permet de tracer des fonctions en coordonnées polaires. Tu peux aussi utiliser des langages de programmation et des logiciels comme Python, Matlab et Octave.
Si tu as des difficultés à tracer une courbe polaire, vérifie la plage des valeurs thêta que tu as tracées. De temps en temps, tu dois élargir la plage des valeurs thêta que tu utilises pour t'assurer que la courbe est tracée correctement.
Aire des courbes polaires
Suppose que tu aies une courbe polaire définie par
\N[ r = f(\Ntheta). \N]
Pour trouver l'aire comprise entre la ligne \( \theta = \theta_1,\N) la courbe \( f(\theta),\N) et la ligne \( \theta=\theta_2, \N), tu dois utiliser la formule suivante
\[ A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2}\left[ f(\theta) \right] ^2 \, \mathrm{d}\theta.\N]
Pour plus d'informations sur ce sujet, jette un coup d'œil à notre article sur l'aire des régions délimitées par des courbes polaires.
Longueur des courbes polaires
Si tu dois plutôt trouver la longueur de la courbe polaire \N( f(\theta),\N) tracée entre les angles \N( \theta_1) et \N( \theta_2,\N), tu devras utiliser la formule suivante
\[ L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2+\left( \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} \right)^2}\,\mathrm{d}\theta.\]
Tu as besoin de plus d'informations sur la façon d'utiliser cette formule ? Vois notre article sur la longueur d'arc en coordonnées polaires !
Courbes polaires - Principaux enseignements
- Les courbes polaires sont définies par des relations en termes de coordonnées polaires.
- Les principaux types de courbes polaires sont les limaçons, les cardioïdes, les courbes en rose, les spirales d'Archimède, les spirales logarithmiques, les ovales de Cassini et les lemniscates.
- Les trois types de symétrie qu'une courbe polaire peut présenter sont la symétrie par rapport à l'axe polaire, la symétrie par rapport au pôle et la symétrie par rapport à l'axe vertical.
- Pour tracer des courbes polaires, tu dois connaître les types courants de courbes polaires et leurs propriétés, vérifier la périodicité, vérifier la symétrie, puis trouver plusieurs points sur la courbe et les relier.
1. Eli Maor, "e" : L'histoire d'un nombre, 1994.
2. John W. Rutter, Géométrie des courbes, 2000.
3. Guido Grandi, Flores geometrici ex Rhodonearum, et Cloeliarum curvarum descriptione resultantes, ..., 1728.
4. Ross L. Finney, Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Daniel Kennedy et David M. Bressoud, Calculus : Graphique, numérique, algébrique, 2016.
5. Benoit Mandelbrot, Fractales et chaos : Fractals and Beyond, 2004.
6. James Stewart, Calculus, septième édition, 2012.
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