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Lesfonctions logarithmiques sont les fonctions inverses des fonctions exponentielles. Comme les fonctions logarithmiques sont des fonctions qui augmentent lentement, elles peuvent être utiles lorsqu'on essaie de remettre à l'échelle de grandes quantités.
Fig. 1. La fonction logarithmique est une fonction qui augmente lentement.
En outre, nous pouvons utiliser les propriétés des logarithmes à notre avantage dans de nombreux scénarios de résolution de problèmes, en particulier en calcul. Pour ces raisons, il est essentiel d'apprendre à trouver les dérivées des fonctions logarithmiques.
Définition de la dérivée de la fonction logarithmique
Une fonction logarithmique ( f(x) = \log_{a}x \) calcule le logarithme avec base \( a \N) d'une valeur \N(x\N). La base \N( a \N) doit être un nombre non négatif. Sa dérivée est définie comme la limite de son taux de variation lorsque la variation devient très faible.
Soit \( f(x) = \log_{a}x \) une fonction logarithmique. Sa dérivée est définie par la limite suivante,
\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}.\]
En pratique, tu ne trouves pas la dérivée d'une fonction logarithmique en utilisant les limites. La limite est trouvée une fois pour obtenir une formule, qui est ensuite utilisée avec quelques règles de différenciation pour trouver les dérivées des fonctions logarithmiques.
Formules pour les dérivées des fonctions logarithmiques
Comme indiqué précédemment, tu peux trouver la dérivée d'une fonction logarithmique en utilisant les limites, mais ce n'est pas la méthode la plus pratique. Au lieu de cela, tu peux utiliser la formule suivante.
La dérivée de la fonction logarithmique est donnée par \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{a}{x} = \left(\frac{1}{\ln{a}}\right) \left( \frac{1}{x} \right).\]
Voici un exemple rapide.
Trouve la dérivée de
\[f(x)=\log_{5}{x}.\]
Réponse :
Commence par remarquer que la base de la fonction logarithmique est \N( 5.\N) Sachant cela, tu peux utiliser la formule de la dérivée d'une fonction logarithmique, c'est-à-dire
\[f'(x)=\left(\frac{1}{\ln{5}} \right) \left( \frac{1}{x} \right).\N]
C'est assez simple, non ?
Dérivée d'une fonction logarithmique de base e
Dans le cas particulier où la base d'une fonction logarithmique est \N( e,\N), c'est-à-dire \N( f(x) = \Nlog_{e} x,\N), la fonction reçoit un nom spécial.
Si la base d'un logarithme est le nombre \(e,\N), on l'appelle alors Logarithme naturel. La fonction logarithme naturel calcule le logarithme naturel d'une variable, et est notée comme suit
\[ f(x) = \ln{x}.\]
Le logarithme naturel a pour base \N( e,\N), ce qui signifie que
\N- [\Nln{e}=1.\N]
Ainsi, la formule de la dérivée d'une fonction logarithmique naturelle devient plus simple, à savoir
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x} &= \left(\frac{1}{\ln{e}}\right) \left( \frac{1}{x} \right) \left( \frac{1}{1} \right) \left( \frac{1}{1} \right) \left( \frac{1}{x} \right) \\ln{x} &= \frac{1}{x}. \N-{align}\N- [\N-{align}\N]
La dérivée de la fonction logarithme naturel est donnée par \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x} =\frac{1}{x}.\N}].
Note qu'en connaissant cette formule, ainsi que les propriétés des logarithmes, tu peux différencier n'importe quelle fonction logarithmique. Considère la fonction logarithmique
\[f(x)=\log_{a}{x}.\]
La fonction ci-dessus peut être réécrite en utilisant les propriétés des logarithmes, c'est-à-dire
\N-[ \N-{align} f(x) &= \Nlog_{a}{x}]. \N-[0,5em] &= \frac{\ln{x}}{\ln{a}}. \N-{align}\N- [\N]
Puisque \( \ln{a} \) est une constante, tu peux utiliser la règle du multiple constant pour la factoriser lors de la différenciation de la fonction, ainsi
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} &= \frac{1}{\ln{a}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x} \\[0.5em] &= \left( \frac{1}{\ln{a}}\right) \left( \frac{1}{x} \right), \end{align} \]
qui est la formule introduite au début de la section précédente.
Preuve de la dérivée de la fonction logarithmique
La fonction logarithme naturel est la fonction inverse de la fonction exponentielle, ce qui signifie que si
\N[y=\ln{x},\N]
alors
\N- [e^y=x.\N]
Ensuite, différencie les deux côtés de l'équation, c'est-à-dire
\frac{\rmathrm{d}}{\rmathrm{d}x} e^y = \frac{\rmathrm{d}}{\rmathrm{d}x} x\]
Le côté gauche de l'équation est la fonction exponentielle, tu peux donc utiliser la formule de la dérivée de la fonction exponentielle. Cependant, comme \N( y \N) est une fonction de \N(x,\N), tu dois également utiliser la règle de la chaîne.
\[ e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x\]
Le côté droit peut être différencié à l'aide de la règle de puissance, ce qui donne
\[ e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 1. \]
Enfin, substitue \(e^y=x\) et isole la dérivée de la fonction logarithmique naturelle, ce qui permet d'obtenir
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}. \]
Parfois, il vaut la peine d'inspecter comment trouver les dérivées par leur définition à l'aide des limites. Cela peut être un peu délicat, mais cela permet d'acquérir beaucoup d'expérience ! Plongeons-y !
Rappelle la définition de la dérivée de la fonction logarithme naturel par les limites, qui est la suivante
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln{(x+\Delta x)}-\ln{x}}{\Delta x}.\]
Tu peux réécrire l'expression à l'intérieur de la limite en utilisant la propriété du quotient des logarithmes et la propriété de la puissance des logarithmes, c'est-à-dire
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln{\left( \frac{x+\Delta x}{\Delta x} \right)}^{\frac{1}{\Delta x}} \N- [right] \]
Voici la partie la plus délicate ! Multiplie par \( \frac{x}{x} \) dans l'exposant de la fonction, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln{\left( \frac{x+\Delta x}{\Delta x} \right)}^{\frac{1}{\Delta x}\frac{x}{x}} \right] \N- [0,75em] &= \Nlim_{\NDelta x \NFlèche droite 0} \Nln{\Nlft( \Nfrac{x+\NDelta x}{\NDelta x} \Ndroite)}^{\Nfrac{x}{\NDelta x}\Nfrac{1}{x}} \right] . \Nend{align} \]
Utilise à nouveau la propriété de puissance des logarithmes pour faire passer \( \frac{1}{x} \) d'un exposant à un coefficient. Tu peux le retirer de la limite car il ne dépend pas de \( \Delta x.\) Tu dois également simplifier la fraction à l'intérieur du logarithme naturel, donc
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} = \frac{1}{x} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln{\left( 1+ \frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}} \right].\]
L'étape suivante consiste à utiliser les propriétés des limites pour intervertir la limite et le logarithme naturel. Tu peux le faire parce que le logarithme naturel est une fonction continue.
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} = \frac{1}{x} \ln{\left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left( 1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}\right]}.\]
Ensuite, effectue la substitution
\N- u=\frac{x}{\Delta x}.\N]
Parce que \N ( x>0, \N) \N( u \N) tend vers l'infini positif comme \N( \NDelta x \N) tend vers zéro. Cela te permet de réécrire la limite sous la forme suivante
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} = \frac{1}{x} \ln{\left[ \lim_{u \rightarrow \infty} \left( 1+ \frac{1}{u}\right)^{u}\right]},\]
qui est l'une des définitions de \N( e,\N) la base du logarithme naturel, donc
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x} = \frac{1}{x} \ln{e}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N].
Puisque \N ( e \N) est la base du logarithme naturel, ce dernier facteur est égal à 1, ce qui donne finalement
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x}= \frac{1}{x}.\N- \frac{1}{x}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Exemples de dérivées de fonctions logarithmiques
Il est maintenant temps de travailler sur quelques exemples. Tu peux utiliser les règles de différenciation et les propriétés des logarithmes à ton avantage !
Trouve la dérivée de
\N[ f(x) = \N{x^2}.\N]
Réponse :
Il y a deux façons de trouver la dérivée de la fonction donnée. En utilisant la règle de la chaîne et en utilisant les propriétés des logarithmes.
- Utilisation de la règle de la chaîne.Commence par laisser \N( u(x) = x^2,\N) et utilise la règle de la chaîne, c'est-à-dire\N[ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\ln{u} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.\N] Tu peux trouver la dérivée de \( u(x) \N) en utilisant la règle de puissance, c'est-à-dire\N[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2x,\N]et tu peux aussi écrire la dérivée de la fonction logarithme naturel, c'est-à-dire\N[ \Nbegin{align} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} &= \left( \frac{1}{u} \right) (2x) \c[0.5em] &= \left( \frac{1}{x^2} \right) (2x) \c[0.5em] &= \frac{2}{x}. \n-{align}\n- [\n-{align}\n-]
- Utilisation des propriétés des logarithmes.Plutôt que d'utiliser la règle de la chaîne, tu peux commencer par réécrire la fonction en utilisant la propriété de puissance des logarithmes, c'est-à-dire\[ f(x)= 2\ln{x}.\N-A partir de là, tu peux utiliser la règle du multiple constant et différencier la fonction logarithmique naturelle, c'est-à-dire\[ \l'origine{align}]. \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} &= (2)\left( \frac{1}{x} \right) \frac{1}{x} &= \frac{2}{x}. \Nend{align} \]
Quelle méthode préfères-tu ? Tu obtiendras la même réponse d'une manière ou d'une autre !
Tu peux utiliser d'autres propriétés des logarithmes à ton avantage. Considère maintenant un exemple avec la propriété de produit des logarithmes.
Trouve la dérivée de
\N[ g(x) = \N{\Ngauche(xe^x \Ndroite)}. \N]
Réponse :
Une fois de plus, tu as deux possibilités pour trouver la dérivée de la fonction donnée. En général, il est conseillé d'utiliser les propriétés des logarithmes chaque fois que tu le peux.
Commence par utiliser la propriété du produit des logarithmes pour réécrire la fonction, c'est-à-dire
\[ g(x) = \ln{x} + \ln{e^x}.\]Puisque la fonction logarithme naturel est la fonction inverse de la fonction exponentielle, tu peux réécrire la fonction ci-dessus de la façon suivante
\[ g(x) = \ln{x} + x.\]
À partir de là, tu peux différencier chaque terme, ce qui te donne
\[ \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x} + 1.\]
Parfois, les propriétés des logarithmes ne pourront pas être utilisées dans la fonction avec laquelle tu travailles. Dans ce cas, il suffit d'appliquer toute règle de différenciation pertinente.
Trouve la dérivée de la fonction
\[ h(x) = \ln{\left(\sin{x}\right)}.\]
Réponse :
Ici, tu peux laisser \( u(x) = \sin{x} \N- et utiliser la règle de la chaîne, c'est-à-dire
\frac{\rmathrm{d}h}{\rmathrm{d}x} = \frac{\rmathrm{d}}{\rmathrm{d}u} \ln{u} \frac{\rmathrm{d}u}{\rmathrm{d}x}.\r]
La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, donc
\[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \cos{x}.\N}]
En connaissant cela et la dérivée de la fonction logarithmique naturelle, tu peux écrire
\[ \begin{align} \frac{\rmathrm{d}h}{\rmathrm{d}x} &= \left( \frac{1}{u} \right) (\cos{x}) \[0.5em] &= \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \[0,5em] &= \tan{x}, \end{align}\]
où tu as utilisé l'identité trigonométrique
\[ \frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\tan{x}.\]
Dérivés des fonctions logarithmiques - Principaux enseignements
- Les fonctions logarithmiques sont les fonctions inverses des fonctions exponentielles de même base.
- La fonction logarithme naturel est l'inverse de la fonction exponentielle de base \( e.\).
- La dérivée d'une fonction logarithmique est donnée par\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log_{a}{x} = \left(\frac{1}{\ln{a}}\right) \left(\frac{1}{x} \right).\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
- Dans le cas de la fonction logarithmique naturelle, la formule ci-dessus se simplifie à[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} = \frac{1}{x}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N].
- La dérivée de la fonction logarithme naturel peut être prouvée en utilisant la différenciation implicite et la règle de différenciation de la fonction exponentielle.
- La dérivée de la fonction logarithme naturel peut également être prouvée en utilisant les limites. Il est important de connaître l'une des définitions de \N( e \N) en tant que limite, à savoir \N[ e = \Nlim_{u \Nrightarrow \Ninfty} \Nà gauche( 1+\Nfrac{1}{u} \Nà droite)^u .\N].
- Les propriétés des logarithmes comme la règle de la puissance des logarithmes et larègle du produit des logarithmes peuvent être utilisées avant de différencier une fonction afin de la rendre plus simple.
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