Dérivées des courbes polaires

Trouve la dérivée de la spirale d'Archimède décrite par

\N[ f(\Ntheta) = 3 \Ntheta.\N]

Solution :

Tu peux suivre ici les étapes introduites dans cette section pour trouver la dérivée de la spirale d'Archimède illustrée au début de l'article.

1. Trouve la dérivée $f^{\prime }(\theta )$ en utilisant toutes les règles de différenciation pertinentes.

Rappelle-toi que la dérivée impliquée dans cette étape est la dérivée habituelle de $f(\theta )$ par rapport à \( \theta), c'est-à-dire

$$f^{\prime }(\theta )=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\theta },$$

tu peux donc la trouver à l'aide de la règle de puissance, ce qui te donne

\N[ f'(\Ntheta) = 3. \N]

2. Utilise la formule de la dérivée d'une fonction polaire.

Tu peux maintenant utiliser la formule de la dérivée d'une fonction polaire,

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{f^{\prime }(\theta )\cdot \sin \theta +f(\theta )\cdot \cos \theta }{f^{\prime }(\theta )\cdot \cos \theta -f(\theta )\cdot \sin \theta }.$$

3. Substitue \N( f(\theta) \N) et \N( f'(\theta) \N) dans la formule de la dérivée d'une fonction polaire.

On t'a donné \Nf(\Ntheta) = 3\Ntheta \Net tu as trouvé que \Nf'(\Ntheta)=3\Nalors substitue ces valeurs dans la formule de la dérivée d'une fonction polaire, c'est à dire

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{(3)\sin \theta +(3\theta )\cos \theta }{(3)\cos \theta -(3\theta )\sin \theta }.$$

4. Simplifie l'expression obtenue.

Enfin, simplifie la dérivée en factorisant \N( 3 \N) au numérateur et au dénominateur, c'est-à-dire

\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{3\left(\sin{\theta}+\theta\cos{\theta}\right)}{3\left(\cos{\theta}-\theta\sin{\theta}\right)} \ &= \frac{\cancel{3}\left(\sin{\theta}+\theta\cos{\theta}\right)}{\cancel{3}\left(\cos{\theta}-\theta\sin{\theta}\right)} \ &= \frac{\sin{\theta}+\theta\cos{\theta}}{\cos{\theta}-\theta\sin{\theta}} . \N- [end{align}\N]

Le mouvement d'une particule décrit en coordonnées polaires est donné par

$$r(t)=t^2-2t$$

et

\N- \N- \Ntheta(t) = \Nsin{(2\pi\N,t)}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

Trouve ses vitesses radiale et angulaire.

Solution :

Tu peux obtenir la vitesse radiale de la particule en trouvant la dérivée de \( r(t)\N), ce qui peut être fait à l'aide de la règle de puissance, c'est-à-dire

\N- [\N- Début{alignement} v &= \Nfrac{\Nmathrm{d}r}{\Nmathrm{d}t}]. \ &= 2t-2. \Nend{align} \]

Pour la vitesse angulaire, tu trouves plutôt la dérivée de $\theta (t)$, où tu dois utiliser le fait que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus. N'oublie pas d'utiliser également la règle de la chaîne ! Tu obtiendras ainsi

\[ \begin{align} \noméga &= \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \N- &= 2\pi\Ncos{(2\pi\N,t)}. \N- [Fin{align}\N]

C'est simple, non ?

Considère le limaçon décrit par

$$f(\theta )=2+3\sin \theta .$$

Trouve la dérivée de cette courbe polaire.

Solution :

1. Trouve la dérivée $f^{\prime }(\theta )$ en utilisant toutes les règles de différenciation pertinentes.

Puisque la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, tu peux écrire

$$f^{\prime }(\theta )=3\cos \theta .$$

2. Utilise la formule de la dérivée d'une fonction polaire.

Ensuite, tu dois utiliser la formule

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{f'(\theta) \cdot \sin{\theta} + f(\theta) \cdot \cos{\theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{\theta}-f(\theta) \cdot \sin{\theta}}.\N- \N- \cdot \sin{\theta}}.\N- \N- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \c}

3. Substitue $f(\theta )$ et $f^{\prime }(\theta )$ dans la formule de la dérivée d'une fonction polaire.

Cette étape est assez simple, et vous obtiendrez[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{(3\cos{\theta})\sin{\theta} + (2+3\sin{\theta})\cos{\theta}}{(3\cos{\theta}) \cos{\theta}-(2+3\sin{\theta})\sin{\theta}}.\]

4. Simplifie l'expression obtenue.

Cette étape implique généralement beaucoup d'algèbre.

\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{(3\cos{\theta})\sin{\theta} + (2+3\sin{\theta})\cos{\theta}}{(3\cos{\theta}) \cos{\theta}-(2+3\sin{\theta})\sin{\theta}} \ &= \frac{3(\cos{\theta})(\sin{\theta})+2\cos{\theta}+3(\sin{\theta})(\cos{\theta})}{3\cos^2{\theta}-2\sin{\theta}-3\sin^2{\theta}} \ &= \frac{6(\sin{\theta})(\cos{\theta})+2\cos{\theta}}{3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta}-2\sin{\theta}}. \N- [end{align}\N]

On ne peut pas faire mieux. En général, ces dérivées se présentent de cette façon.

Considère la courbe rose décrite par

\N[ f(\Ntheta) = 3\Ncos{(2\Ntheta)}.\N]

Trouve la dérivée de cette courbe polaire.

Solution :

1. Trouve la dérivée $f^{\prime }(\theta )$ en utilisant toutes les règles de différenciation pertinentes.

Trouve d'abord la dérivée de f' en utilisant le fait que la dérivée de la fonction cosinus est la négative de la fonction sinus, c'est-à-dire

$$f^{\prime }(\theta )=-6\sin (2\theta ).$$

2. Utilise la formule de la dérivée d'une fonction polaire.

Comme d'habitude, utilise la formule

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{f^{\prime }(\theta )\cdot \sin \theta +f(\theta )\cdot \cos \theta }{f^{\prime }(\theta )\cdot \cos \theta -f(\theta )\cdot \sin \theta }]$$

pour trouver la dérivée de la courbe polaire.

3. Substitue $f(\theta )$ et $f^{\prime }(\theta )$ dans la formule de la dérivée d'une fonction polaire.

Avant de substituer quoi que ce soit, tu devrais essayer d'utiliser certaines identités trigonométriques pour réécrire $f(\theta )$ et sa dérivée. Tu peux utiliser les identités du double angle et trouver que

$$\begin{array}{rl}f(\theta )& =3\cos (2\theta )\\ \text{N}& =3({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )\text{N}& =3{\cos }^2\theta -3{\sin }^2\theta \end{array}$$

et

\N-[\N-] f'(\Ntheta) &= -6\sin{(2\Ntheta)} \N- &= -6(2\sin{\Ntheta}\N,\Ncos{\Ntheta}) \N- &= -12\sin{\Ntheta}\N,\Ncos{\Ntheta}. \N- [end{align}\N]

Tu peux maintenant substituer les expressions ci-dessus dans la formule de la dérivée d'une courbe polaire.

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{(-12\sin \theta \cos \theta )(\sin \theta )+(3{\cos }^2\theta -3{\sin }^2\theta )(\cos \theta )}{(-12\sin \theta \cos \theta )(\cos \theta )-(3{\cos }^2\theta -3{\sin }^2\theta )(\sin \theta )}.$$

4. Simplifie l'expression obtenue.

Enfin, simplifie l'expression ci-dessus autant que tu le peux, de sorte que

\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{(-12\sin{\theta}\,\cos{\theta})(\sin{\theta})+(3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta})(\cos{\theta})}{(-12\sin{\theta}\,\cos{\theta})(\cos{\theta})-(3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta})(\sin{\theta})} \ &= \frac{-12\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}+3\cos^3{\theta}-3\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}} {-12\sin{\theta}\,\cos^2{\theta}-3\sin{\theta}\,\cos^2{\theta}+3\sin^3{\theta}} \ &= \frac{-15\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}+3\cos^3{\theta}}{-15\sin{\theta}\,\cos^2{\theta}+3\sin^3{\theta}}. \N- [Fin{align}\N]

A partir de là, tu peux factoriser $-3$ du numérateur et du dénominateur, ce qui te donne

\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\cancel{(-3)}(5\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}-\cos^3{\theta})}{\cancel{(-3)}(5\sin{\theta}\,\cos^2{\theta} -\sin^3{\theta}) } \N- &= \frac{5\sin^2{\theta}\N-\cos^3{\theta}}{5\sin{\theta}\N-\sin^2{\theta}\N-\sin^3{\theta} }. \N- [Fin{align}\N]

Montre que la ligne tangente à

\N[ f(\Ntheta) = 3\N]

au point où $\theta =0$ est verticale.

Solution :

La courbe polaire donnée est une courbe à constante $r$, qui est une circonférence. Le rayon de cette circonférence est égal à $3$.

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Pour trouver la ligne tangente à la courbe au point demandé, tu dois d'abord trouver sa dérivée.

1. Trouve la dérivée $f^{\prime }(\theta )$ en utilisant toutes les règles de différenciation pertinentes.

Puisque la fonction donnée est une fonction constante, sa dérivée est égale à zéro, c'est-à-dire

\N[ f'(\Ntheta) = 0. \N]

2. Utilise la formule de la dérivée d'une fonction polaire.

Ensuite, tu devras utiliser la formule

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{f^{\prime }(\theta )\cdot \sin \theta +f(\theta )\cdot \cos \theta }{f^{\prime }(\theta )\cdot \cos \theta -f(\theta )\cdot \sin \theta }]$$

pour trouver la dérivée de la courbe polaire donnée.

3. Substitue $f(\theta )$ et $f^{\prime }(\theta )$ dans la formule de la dérivée d'une fonction polaire.

Cette fois, la fonction et sa dérivée sont des constantes, la substitution est donc simple. Ce faisant, tu obtiendras

\frac[ \mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{(0)(\sin{\theta}) + (3)(\cos{\theta})}{(0)(\cos{\theta})-(3)(\sin{\theta})}.\nbsp;\frac{(0)(\sin{\theta})-(3)(\sin{\theta})}]

4. Simplifie l'expression obtenue.

Tu verras qu'il est très utile de simplifier les expressions avant de les évaluer. Dans ce cas, l'expression ci-dessus se simplifie comme suit

\N[ \N- Début{alignement} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{3\cos{\theta} }{-3\sin{\theta}} \N- &= -\Ncot{\Ntheta}. \N- [Fin{alignement}\N]

Maintenant que tu as trouvé la dérivée de la courbe polaire, tu peux substituer \N( \Ntheta=0,\N) mais tu trouveras un problème ici

\N[ \Ncot{0} = \Ninfty. \N]

Ne t'inquiète pas ! Puisque l'expression ci-dessus te donne la pente de la ligne tangente, cela prouve en fait ce que l'on t'a demandé, puisque la pente d'une ligne verticale est l'infini.

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