Dérivées des fonctions trigonométriques inverses

Notation des fonctions trigonométriques inverses

Avant de commencer, nous allons parler brièvement de la notation utilisée pour les fonctions trigonométriques inverses, qui sont également connues sous le nom de fonctions d'arcus.

Il convient de noter que le moins un n'est pas un exposant. Il est utilisé pour indiquer que la fonction est une inverse, contrairement à ${\sin }^{2}x,$ où le deux est un exposant qui nous indique que la sortie de la fonction sinus doit être élevée au carré.

Formules pour les dérivés des fonctions trigonométriques inverses

La notation étant clarifiée, examinons les formules des dérivées des six fonctions trigonométriques inverses.

Méthode pour trouver les dérivées des fonctions trigonométriques inverses

Tout comme pour les dérivées des autres fonctions, la méthode pour trouver la dérivée d'une fonction trigonométrique inverse dépend de la fonction. Voyons comment procéder.

1. Identifie quelle(s) règle(s) de différenciation est (sont) pertinente(s).

2. Utilise la ou les règles de différenciation ci-dessus.

3. Écris la (les) dérivée(s) de la (des) fonction(s) trigonométrique(s) inverse(s), ainsi que toute autre fonction impliquée dans le calcul.

Comme d'habitude, on comprend mieux ces étapes en regardant des exemples. Passons à la section suivante !

Exemples de dérivées de fonctions trigonométriques inverses

Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses peuvent être utilisées avec d'autres règles de différenciation comme la règle de la chaîne, la règle du produit et la règle du quotient. Voyons un exemple de chaque cas !

Qu'en est-il de la règle du produit ?

Preuves des dérivées des fonctions trigonométriques inverses

Tu as peut-être remarqué que les dérivées des fonctions trigonométriques impliquent d'autres fonctions trigonométriques, mais pas les dérivées des fonctions trigonométriques inverses. Pour mieux comprendre pourquoi cela se produit, nous allons examiner la preuve de la dérivée de chaque fonction trigonométrique inverse.

Dérivée du sinus inverse

Commençons par rappeler que la fonction sinus inverse est liée à la fonction sinus par le fait qu'elles sont les inverses l'une de l'autre. Cela signifie que

$$y=\arcsin x\text{ est vrai si et seulement si }\sin y=x.$$

Ensuite, différencie les deux côtés de \( \sin{y}=x,\N) de sorte que

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin y=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x.$$

La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, mais comme \N( y\N) est une fonction de \N( x, \N), tu dois utiliser la règle de la chaîne pour le côté gauche de l'équation. Le côté droit de l'équation est la dérivée de \N(x,\N), il est donc égal à 1. Cela te donnera

$$(\cos y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1,$$

où tu peux utiliser l'identité trigonométrique de Pythagore,

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1,$$ pour écrire le cosinus en termes de sinus. Ce faisant, tu obtiens

$$\left(\sqrt{1-{\sin }^{2}y}\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1.$$

Ensuite, substitue $\sin y=x$ pour obtenir

$$\left(\sqrt{1-x^2}\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1.$$

Puis isole la dérivée de \( y \N),

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$

qui est la formule de différenciation de la fonction sinus inverse

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Reprenons la preuve de la dérivée de la fonction sinus inverse. Après avoir effectué la différenciation implicite, tu te retrouves avec l'équation suivante :

$$\cos y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1.$$

Si tu substitues $y=\arcsin x$ tu auras une composition d'une fonction trigonométrique et d'une fonction trigonométrique inverse, c'est à dire

$$\cos (\arcsin x).$$

Il existe une méthode astucieuse qui te permet d'utiliser un triangle auxiliaire pour trouver cette composition. Tout d'abord, construis un triangle en utilisant \N(\Nsin{y}=x,\N), ce qui signifie que le rapport entre la jambe opposée et l'hypoténuse est égal à \N(x.\N) Cette idée est mieux comprise si tu l'écris sous la forme suivante

$$\text{Missing end{align}}$$$.

Ici, tu dois considérer \( y \N) comme s'il s'agissait d'un angle.

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Fig. 1. Triangle auxiliaire construit avec $sin(y)=x$.

La jambe restante peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore

$$a^2+b^2=c^2,$$

où \N(a=x,\N) \N(c=1,\N) et \N( b,\N) est la jambe manquante, donc

$$\text{Missing end{align}}$$$

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Fig. 2. La branche restante du triangle auxiliaire.

Maintenant que tu connais la longueur de la branche adjacente, tu peux écrire le cosinus de $y$ comme le rapport entre la branche adjacente et l'hypothénuse.

$$\text{Missing end{align}}$$$.

Avec ces informations, tu peux maintenant écrire la dérivée de la fonction sinus inverse,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Essaie de faire la même chose avec les dérivées des autres fonctions trigonométriques inverses !

Tu peux essayer de trouver les dérivées du cosinus inverse, de la tangente inverse et de la cotangente inverse de la même manière.

Dérivée de la cosécante inverse

Comme tu as déjà trouvé la dérivée de la fonction sinus inverse, tu peux l'utiliser à ton avantage ! Comme la fonction cosécante est la réciproque de la fonction sinus, tu peux écrire l'identité suivante

$$y=\mathrm{arccsc}x=\arcsin \left(\frac{1}{x}\right).$$

On peut la différencier en utilisant la règle de la chaîne et la dérivée de la fonction sinus inverse. Soit

$$u=\frac{1}{x}$$$

et trouvons la dérivée,

$$\text{Missing end{align}}$$

Substitue \(u \N) et sa dérivée pour obtenir

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2}.$$

Utilise ensuite l'expression résultante avec un peu d'algèbre pour trouver

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}}\cdot (-\frac{1}{x^2}).$$

Tu peux réécrire cette dernière équation en travaillant l'expression à l'intérieur de la racine et en utilisant le fait que la racine carrée de \( x\N) au carré est égale à la valeur absolue de \( x\N), c'est à dire

$$\sqrt{x^2}=|x|.$$

A partir de là, tu peux encore simplifier l'équation pour obtenir

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},$$

ce qui donne la dérivée de la fonction cosécante inverse

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

La dérivée de la sécante inverse peut être trouvée de la même façon, il suffit d'utiliser la dérivée du cosinus inverse à la place.

Graphiques des dérivées des fonctions trigonométriques inverses

Tu as peut-être remarqué que, contrairement aux dérivées des fonctions trigonométriques, les dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont des fonctions rationnelles qui impliquent parfois des racines carrées. Cela semble un peu extravagant, mais les graphiques ont l'air vraiment cool ! Jetons-y un coup d'œil !

Sinus et cosinus inversés

Lorsque tu regardes les graphiques des dérivées des fonctions trigonométriques inverses, tu dois prêter une attention particulière à leur domaine. Dans le cas du sinus inverse et du cosinus inverse, le domaine est le suivant

$$-1\le x\le 1,$$

le graphique de la dérivée du sinus inverse sera donc représenté sur le même intervalle.

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Puisque la dérivée du cosinus inverse est le négatif du graphique ci-dessus, le graphique du cosinus inverse est le graphique du sinus inverse réfléchi sur l'axe des x.

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Note qu'il y a des asymptotes à $x=-1$ et $x=1.$.

Tangente inverse et cotangente

Cette fois-ci, commence par rappeler que le domaine des fonctions tangente et cotangente sont tous des nombres réels, de sorte que leurs graphiques s'étendent à l'infini. Le graphique de la dérivée de la tangente inverse est donné ci-dessous.

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Une fois encore, la dérivée de la cotangente inverse a le signe opposé à celui de la dérivée de la tangente inverse, ce qui donne lieu à une autre réflexion sur l'axe des x.

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Dans ce cas, il n'y a pas d'asymptotes verticales !

Sécante et cosécante inverses

Pour la sécante inverse et la cosécante inverse, il convient de noter que le domaine présente une discontinuité, c'est-à-dire que

$$-\mathrm{\infty }<x\le -1\text{ and }\text{N}-1\text{N}-x<\text{Ninfty},$$

donc le graphique de leur dérivée aura une lacune pour \N( -1 < x < 1.\N).

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Enfin, le graphique de la dérivée de la cosécante inverse est également une réflexion de la dérivée de la sécante inverse sur l'axe des x.

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