Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Disons que tu construis une rampe pour une voiture jouet et que tu veux trouver la rampe la plus rapide possible. Après avoir expérimenté pendant un certain temps, tu finis par conclure que la rampe la plus rapide possible ressemble à ceci :
Fig 1. La rampe la plus rapide entre deux points s'appelle une courbe brachistochrone (brachistochrone signifie "temps le plus court" en grec).
Maintenant, peut-être décides-tu de faire une promenade à vélo. Tu finis par penser à la courbe tracée par la roue de ton vélo. Tu décides donc de coller un morceau de papier de couleur vive sur la roue de ton vélo et de tracer sa trajectoire. Tu obtiens un graphique qui ressemble à celui-ci :
Fig. 2. La courbe tracée par la roue d'un vélo est une cycloïde
À ta grande surprise, il s'agit de la même forme que celle que tu as trouvée en cherchant la rampe la plus rapide, mais à l'envers. Cette forme s'appelle une cycloïde. Après avoir joué un peu avec la courbe, tu découvres que l'équation de la courbe est donnée par la formule suivante
\[ x = \cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)}.\]
Maintenant, disons que tu veux trouver la trajectoire du morceau de papier ou de la petite voiture à un certain point \N( (x,y)\N). Normalement, tu devrais trouver la dérivée de \N(y\N) par rapport à \N(x\N), ce qui te donnerait la pente de la ligne tangente à la courbe en \N( (x,y)\N). Cependant, l'équation ci-dessus ne semble pas facile à résoudre en termes de \(y\). Que dois-tu faire ?
C'est une bonne situation pour utiliser la différenciation implicite. Cet article explique comment utiliser la différenciation implicite pour trouver implicitement les lignes tangentes aux courbes qui n'ont pas nécessairement de formules explicites.
Trouver des lignes tangentes avec la différenciation implicite signifie simplement appliquer la différenciation implicite pour trouver la pente d'une courbe définie implicitement. Une relation implicite ou une courbe définie implicitement est, dans le contexte du calcul, une équation où la variable dépendante n'est pas isolée d'un côté. En d'autres termes, au lieu d'être de la forme
\N-[y=f(x) \N]
pour une fonction \(f\), une relation implicite est de la forme
\N[ f(x,y) = g(x,y),\N]
où \(f\) et \(g\) sont des fonctions. L'équation de la cycloïde,
\[ x = \cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)},\]
est un exemple de courbe implicite, puisque la variable \(y\) n'est pas isolée d'un côté de l'équation. Pour plus de détails et d'exemples, voir l'article Relations implicites.
De telles équations peuvent être difficiles, voire impossibles à réécrire sous une forme explicite. Ainsi, pour trouver leurs dérivées, tu dois souvent utiliser la différenciation implicite. La différenciation implicite est une application de la règle de la chaîne à des fonctions définies implicitement. Pour plus de détails, voir l'article Différenciation implicite.
Différencions implicitement la relation
\N[ y^5 + x^5 = \frac{\sqrt{\pi}}{17}, \N]
en supposant que \N(y\N) est une fonction de \N(x\N).
Solution :
\[ \frac{d}{dx} (y^5 + x^5 ) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{\pi}}{17} \right).\N- \N- \N- \N- \N- \N]
Le côté droit de l'équation s'évalue à zéro puisque la dérivée d'une constante est toujours nulle. Pour différencier le côté gauche, rappelle-toi que \(y\) est supposé être une fonction de \(x\). Écrivons donc \( y = f(x) \) pour une fonction quelconque \(f\) :
\[ \frac{d}{dx} (y^5 + x^5 ) = \frac{d}{dx} \left((f(x))^5 + x^5 \rright).\]
\[\frac{d}{dx}] \left((f(x))^5 + x^5 \right) =\frac{d}{dx} (f(x))^5 + \frac{d}{dx} x^5 .\N- \N- \N- \N- \N]
\[\frac{d}{dx} (f(x))^5 + \frac{d}{dx} x^5 = \frac{d}{dx} (f(x))^5 + 5x^4.\]
\[\frac{d}{dx} (f(x))^5 + 5x^4 = 5(f(x))^4f'(x) + 5x^4.\N- \N].
\[\frac{d}{dx} (f(x))^5 + 5x^4 = 5(f(x))^4f'(x) + 5x^4 =0,\].
ou en d'autres termes
\N- 5y^4 \Nfrac{dy}{dx} + 5x^4 = 0,\N]
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{5x^4}{5y^4} = - \frac{x^4}{y^4}. \]
Pour trouver une ligne tangente à un point \( (x_1,y_1)\) en utilisant la différenciation implicite, tu utilises généralement la méthode suivante :
Étape 1 : différencie implicitement pour trouver une expression pour la dérivée. Cela te donne la pente de la ligne tangente en un point donné.
Étape 2 : Insère \N(x_1,y_1)\Ndans l'expression que tu as trouvée ci-dessus pour obtenir la pente \N(m\N)de la ligne tangente à \N(x_1,y_1)\Nl'endroit où tu as trouvé \N(x_1,y_1)\N.
Étape 3 : Utilise la pente (m) obtenue à l'étape 2 et le point (x_1,y_1) pour trouver l'équation de la ligne tangente, en utilisant la formule (y - y_1 = m(x-x_1)).
Examinons de plus près chacune de ces trois étapes, en utilisant la cycloïde
\[ x = \cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)}\]
au point
\[ A = \Nà gauche( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2} \Nà droite) \N]
à titre d'exemple.
Fig. 3. Nous pouvons utiliser la différenciation implicite pour trouver l'équation d'une ligne tangente à une cycloïde.
Tout d'abord, tu dois différencier implicitement pour trouver la pente de la ligne tangente. Pour ce faire, différencie d'abord les deux côtés de la relation par rapport à \(x\), en utilisant la règle de la chaîne si nécessaire. Insère ensuite le point qui t'intéresse et résous la valeur de \(y'\) en ce point.
Différencions implicitement la cycloïde
\[ x = \cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)}\]
pour trouver la pente de la ligne tangente au point
\[ A = \Nà gauche( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2} \Nà droite) \N].
Solution :
\[ \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)} \right). \]
\[ \frac{d}{dx} x = 1.\]
\[\frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}(1-f(x))-\sqrt{f(x)(2-f(x))} \right)\] \[= \frac{d}{dx}\left(\cos^{-1}(1-f(x))\right) - \frac{d}{dx} - \frac{d}{dx} - \frac{d}{dx} - \frac{d}{dx} - \frac{d}{dx} - \frac{d}{dx} - \frac{d}{dx}. \Nà gauche(\Nsqrt{f(x)(2-f(x))}\Nà droite).\N]
\[ \cos^{-1}(x) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \]
En appliquant la règle de la chaîne, le premier terme devient donc :
\[ \begin{align} \frac{d}{dx}\gauche(\cos^{-1}(1-f(x))\droite) & = -\frac{1}{\sqrt{1 - (1-f(x))^2}}(-f'(x)) \\ & = \frac{f'(x) }{\sqrt{1 - (1-f(x))^2}} . \N- [end{align}\N]
\[ \frac{d}{dx} \left(\sqrt{f(x)(2-f(x))} \right)\] \[ = \left( \frac{1}{2} ((f(x) (2-f(x)))^{-\frac{1}{2}}\right)\left( \frac{d}{dx} f(x) (2-f(x)). \Ndroite). \]
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} f(x) (2-f(x)) &= \frac{d}{dx} \n- gauche( 2f(x) - (f(x))^2 \n- droite) \n- &= 2\frac{d}{dx} f(x) - \frac{d}{dx}(f(x))^2 . \Nend{align} \]
\[ 2\frac{d}{dx} f(x) - \frac{d}{dx}(f(x))^2 = 2f'(x) -2f(x)f'(x).\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N].
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{f(x)(2-f(x))} \N-droit) &= \N-gauche( \Nfrac{1}{2} (f(x) (2-f(x)))^{-\Nfrac{1}{2}}\N-droit)\N-gauche( \Nfrac{d}{dx} f(x) (2-f(x)) \right) \\ &= \left( \frac{1}{2} (f(x) (2-f(x)))^{-\frac{1}{2}}\right) \left( 2f'(x) -2f(x)f'(x) \right) \\ &= \frac{f'(x)(1-f(x))}{\sqrt{ f(x)(2-f(x))}}. \Nend{align} \]
\[ \frac{f'(x) }{\sqrt{1 - (1-f(x))^2}} - \frac{f'(x)(1-f(x))}{\sqrt{ f(x)(2-f(x))}} = \frac{y' }{\sqrt{1 - (1-y)^2}} - \frac{y'(1-y)}{\sqrt{ y(2-y)}}. \]
\[ \frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)} \right) = 1. \]
\[ \frac{y' }{\sqrt{1 - (1-y)^2}} - \frac{y'(1-y)}{\sqrt{ y(2-y)} =1 .\]
À ce stade, tu devrais normalement résoudre \N(y'\N). Cependant, tu n'as pas besoin de le faire pour un point général \N( (x,y) \N) puisque tu ne t'intéresses vraiment qu'à \N(y'\N) au point \N(A\N).
\N[ \Nfrac{y' }{\Nsqrt{1 - \Ngauche(1-\Nfrac{1}{2}\Ndroite)^2}} - \frac{y'\left(1-\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{ \frac{1}{2} \left(2-\frac{1}{2} \right)}} =1 .\]
\[ \begin{align} \frac{y' }{\sqrt{1 - \left(1-\frac{1}{2}\right)^2}} - \frac{y'\left(1-\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{ \frac{1}{2} \left(2-\frac{1}{2} \droite)} &= \frac{y'}{\sqrt{\frac{3}{4}} - \frac{\frac{1}{2}y'}{\sqrt{\frac{3}{4}}} \\N- &= \frac{2}{\sqrt{3}}\N- gauche( y' - \frac{1}{2} y'\N-droit) \N- &= \frac{y'}{\sqrt{3}}. \Nend{align} \]
Donc ,
\[ \frac{y'}{\sqrt{3}} = 1,\]
ou
\N[ y' = \sqrt{3},\N]
au point \(A\). En d'autres termes, la pente de la ligne tangente au point \(A\) est \(m = \sqrt{3}\).
Une fois que tu es habitué à la différenciation implicite, il peut être plus rapide et plus efficace de sauter l'étape consistant à écrire \(y\) sous la forme \(f(x)\). Au lieu de cela, tu peux simplement te rappeler de multiplier par \N(y'\N) lorsque c'est nécessaire. Cette étape est incluse pour souligner que, puisque \(y\N) est une fonction de \N(x\N), la différenciation implicite n'est en fait qu'une application de la règle de la chaîne.
Pourquoi la différenciation implicite te donne-t-elle la pente de la ligne tangente ? Eh bien, la différenciation implicite est juste une façon de trouver la dérivée d'une courbe en un point donné. C'est la même dérivée que tu obtiendrais en différenciant normalement, sans utiliser la différenciation implicite. Si tu te souviens bien, la définition de la dérivée d'une fonction \(f\) en un point \(x\) est la suivante
\N[ f'(x) = \Nlimite_{h \Nà 0} \Nfrac{ f(x+h)-f(x)}{h}.\N]
Puisque
\[\frac{ f(x+h)-f(x)}{h} \]
est en fait la pente de la droite entre les points \N( (x+h, f(x+h)) et \N( (x,f(x)). \), pour des valeurs très petites de \(h), la pente de la ligne devrait être très proche de la pente de la ligne tangente à \(x). Rappelle-toi que la dérivée est la limite de cette expression et qu'elle correspond à la pente exacte de la ligne tangente. Ce sera toujours le cas ; peu importe que tu trouves la dérivée explicitement ou implicitement.
Une fois que tu as trouvé la pente \(m\) de la ligne tangente au point \( (x_1,y_1)\), tout ce qu'il te reste à faire est d'insérer les valeurs que tu as trouvées dans la formule \( y - y_1 = m(x-x_1) \) et de simplifier l'expression.
Mais est-ce que \N( (x_1,y_1)\Nest réellement un point sur la ligne tangente ? Si tu places \NX = x_1\N dans l'équation de la ligne tangente, tu obtiens \N(y - y_1 = 0\N), donc \N(y=y_1\N). Ainsi, le point \( (x_1,y_1)\) est bien un point sur la ligne tangente. Par définition, cette ligne a également une pente \N(m\N), c'est donc la ligne tangente que tu cherches.
Maintenant que tu as trouvé la pente de la cycloïde
\[ x = \cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)}\]
au point
\A = \Nà gauche( \Nfrac{\pi}{3} - \Nfrac{\rt{3}}{2} , \Nfrac{1}{2} \Nà droite) ,\N tu peux l'utiliser pour trouver l'équation de la ligne tangente à \N( A\N).
Solution :
Dans l'exemple précédent, tu as trouvé que la pente de la ligne tangente à \N(A\N) est \N(m = \Nsqrt{3}\N). En introduisant \(m\) et \(A\) dans l'équation de la ligne tangente, tu obtiens
\N[ y - \frac{1}{2} = \sqrt{3}]. \left( x - \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left).\N- \N- \N]
Si tu simplifies cela, tu obtiens l'expression
\[ \begin{align} y &= x\sqrt{3} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \N- &= \sqrt{3}x + \frac{6-\pi\sqrt{3}}{3}.\N- [end{align}\N].
En traçant le graphique de cette droite, tu vois qu'il s'agit bien de l'équation de la droite tangente à la cycloïde à \(A\).
Fig. 4. La différenciation implicite peut être utilisée pour trouver l'équation de la ligne tangente au graphique d'une cycloïde.
Voyons un exemple pour t'entraîner à trouver des tangentes à l'aide de la différenciation implicite.
Trouvons l'équation de la ligne tangente à la courbe
\N[ y^2 (3x^2 -y^2)^2 = (x^2 + y^2)^4\]
à
\[ A = \Nà gauche( \Nfrac{1}{2}, \Nfrac{1}{2} \Nà droite).\N]
Fig. 5. Une courbe en forme de rose avec six pétales
Tout d'abord, différencie les deux côtés de l'équation :
\[ \frac{d}{dx}] \Nà gauche(y^2 (3x^2 -y^2)^2 \Nà droite) = \Nfrac{d}{dx} (x^2 + y^2)^4.\N]
Puisque \N(y\N) est une fonction de \N(x\N), tu peux écrire \N(y=f(x)\Npour une fonction \N(f\N) :)
\N[ \Nfrac{d}{dx}] \Nà gauche((f(x))^2 (3x^2 -(f(x))^2)^2 \Nà droite) = \Nfrac{d}{dx} (x^2 + (f(x))^2)^4.\N]
Le côté droit de l'équation peut être différencié en utilisant la règle de la chaîne pour te donner :
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} (x^2 + (f(x))^2)^4 &= 4(x^2 + (f(x))^2)^3\Nà gauche( \frac{d}{dx}) \left( (x^2 + (f(x))^2\right) \right) &= 4(x^2 + (f(x))^2)^3\left( 2x + 2f(x)f'(x) \right) . \Nend{align} \]
Pour différencier le côté gauche de l'équation, utilise la règle du produit et la règle de la chaîne pour obtenir :
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} \left((f(x))^2 (3x^2 -(f(x))^2)^2 \right) &= \left(\frac{d}{dx}(f(x))^2\right)\left( (3x^2 - (f(x))^2 \right)^2 \\N
&\cquad + (f(x))^2\frac{d}{dx}\gauche( (3x^2 - (f(x))^2)^2\droite) \c
&= 2f(x)f'(x) ((3x^2 - (f(x))^2)^2 \c
&\cquad + (f(x))^2 \cdot 2(3x^2 - (f(x))^2) \cfrac{d}{dx} \n- gauche( (3x^2 - (f(x))^2\n- droite) \n-
&= 2f(x)f'(x) (3x^2 - (f(x))^2)^2 \n-
&\n- Quad + 2 (f(x))^2 (3x^2 - (f(x))^2) (6x - 2f(x)f'(x)).
\n- fin{align} \]
En combinant les côtés droit et gauche de l'équation et en remplaçant \(f(x)\) par \(y\), tu obtiens :
[2yy'(3x^2 - y^2)^2 + 2y^2(3x^2-y^2)(6x-2yy') = 4(x^2+y^2)^3(2x+2yy').\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N].
Insère maintenant le point \(A\) dans l'équation ci-dessus et résous \(y'\). En insérant \N(A\N) dans le côté gauche de l'équation, on obtient :
\N- [\N- Début{align} & \N-Gauche. 2yy'(3x^2 - y^2)^2 + 2y^2(3x^2-y^2)(6x-2yy') \right|_A \\cquad = 2\cdot \frac{1}{2}y'\cft(3\cft(\frac{1}{2}\cright)^2 - \cft(\frac{1}{2}\cright) ^2\cright)^2 \c
&\quad\quad + 2\left(\frac{1}{2}\r}) ^2\left(3\left(\frac{1}{2}\r}) ^2\left(\frac{1}{2}\r}) ^2\r})\left(6\left(\frac{1}{2}\r) -2\left(\frac{1}{2}\r}) y'\rright) \n-
&\cquad= y'\left(\frac{2}{4}\right)^2 + \frac{2}{4}\cdot\frac{2}{4}(3-y') \c
&\cquad= \frac{y'}{4} + \frac{3}{4} - \frac{y'}{4} \\N-
&\Nquad= \Nfrac{3}{4}. \Nend{align} \]
En plaçant \(A\) dans le côté droit de l'équation, on obtient l'expression :
\[ \begin{align} \N- gauche. 4(x^2+y^2)^3(2x+2yy') \right|_A &= 4\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right) ^2\right)^3\left(2\cdot\left(\frac{1}{2}\right) +2\left(\frac{1}{2}\right) y'\right) \left
&= \frac{4}{8} + \frac{4y'}{8} \\N- &= \frac{1}{2} + \frac{4}{8} + \frac{4y'}{8}) + \frac{y'}{2}. \Nend{align} \]
En mettant les deux côtés égaux l'un à l'autre, on obtient
\[ \frac{3}{4} =\frac{1}{2} + \frac{y'}{2} ,\]
ou en d'autres termes
\[ y' = \frac{1}{2}.\]
Enfin, introduis cette valeur de \(y'\N) et le point \N(A\N) dans l'équation de la ligne tangente en un point, ce qui te donne l'équation :
\[ y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2} \right) .\]
En résolvant \(y\), on obtient l'équation de la ligne tangente
\[ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}.\]
En traçant cette ligne, tu vois qu'il s'agit bien de la ligne que tu cherches.
Fig. 6. Cette courbe est appelée courbe rose, elle fait partie d'une famille de courbes qui ressemblent à des fleurs.
Une ligne normale à une courbe en un point est la ligne perpendiculaire à la ligne tangente en ce point.
Fig. 7. La normale à une courbe est la ligne perpendiculaire à la ligne tangente.
Les lignes normales apparaissent souvent en physique. Par exemple, la force de frottement est normale à la courbe décrivant la trajectoire d'un objet. Autre exemple, la loi de Snell, une loi importante en optique qui est aussi appelée loi de réfraction, est formulée en termes de lignes normales.
Tu te souviens de la courbe brachistochrone de tout à l'heure, celle qui nous a donné la rampe de voiture jouet la plus rapide ? Crois-le ou non, l'une des façons de prouver que la brachistochrone est bien la rampe la plus rapide fait appel à la loi de Snell ! Cette preuve a été découverte par Johann Bernoulli et fonctionne en imaginant que la voiture jouet est un rayon de lumière voyageant à travers des milieux de différentesdensités1.
Pour trouver la normale à une courbe en un point \N(A = (x_1, y_1)\N), différencie d'abord pour trouver la pente \N(m\N) de la ligne tangente à \N(A\N). Tu te souviens peut-être qu'en géométrie, les pentes des lignes perpendiculaires sont des réciproques négatives l'une de l'autre. Puisque la ligne normale est perpendiculaire à la ligne tangente et que la tangente a une pente de \(m\), la pente de la ligne normale est la suivante
\N- -\Nfrac{1}{m}. \N]
Enfin, l'équation de la droite normale à \(A\) est la suivante
\N- y - y_1 = -\Nfrac{1}{m}(x-x_1). \N]
Prenons un exemple de recherche de la ligne normale à une courbe à l'aide de la différenciation implicite.
Trouvons l'équation de la droite normale à la courbe \( (x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)+\tfrac{1}{4}) à \(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}{2}{2}{2}{4}). \N) à \N(\Ngauche( \Ntfrac{1}{2},\Ntfrac{1}{2}\Ndroite)\N)
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left((x^2+y^2)^2\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2(x^2-y^2)+\dfrac{1}{4}\right) \]
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left((x^2+y^2)^2\right) &=2(x^2+y^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2+y^2) \\ &=2(x^2+y^2)(2x+2yy')\end{align}\]
Puisque \N(y\N) est une fonction de \N(x\N), n'oublie pas d'indiquer sa dérivée comme \N(y'\N).
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(2(x^2-y^2)+\dfrac{1}{4}\right) &= 2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \a gauche(x^2-y^2\a droite)+0 \a &=2(2x-2yy')\afin{align}\a]
\[2(x^2+y^2)(2x+2yy')=2(2x-2yy')\]
\[2\left(\left( \dfrac{1}{2}\right)^2+\left( \dfrac{1}{2}\right)^2\right)\left(2\dfrac{1}{2}+2\dfrac{1}{2}y'\right)=2\left(2\dfrac{1}{2}-2\dfrac{1}{2}y'\right)\]
\N- 1+y'=2-2y'\N]
\[y'=\dfrac{1}{3}\]
Ainsi, la pente de la ligne tangente à \N(\Ngauche( \Ntfrac{1}{2},\Ntfrac{1}{2}\Ndroite)\Nest \N(\Ntfrac{1}{3}\N). Pour obtenir la pente de la droite normale, nous prenons l'inverse négatif de la pente de la droite tangente, ce qui donne \(-3\).
Enfin, nous pouvons insérer notre point et notre pente dans l'équation de la ligne normale, ce qui nous donne :
\[y-\dfrac{1}{2}=-3\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\]
En simplifiant et en résolvant pour \N(y\N), nous obtenons que l'équation de la ligne normale (représentée graphiquement ci-dessous) est la suivante
\N[y=-3x+2\N].
Fig. 8. La ligne normale à une courbe implicite est perpendiculaire à la ligne tangente et peut être trouvée en utilisant la différenciation implicite.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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