Sauter à un chapitre clé
Considère maintenant le poulet comme une fonction, mon dîner serait son dérivé. Que peut être l'eau dans la situation décrite ci-dessus ? Tout ce qui facilite la différenciation, mais qui n'est pas présent dans le résultat final ! Dans cet article, tu vas explorer comment utiliser les logarithmes pour trouver des dérivées.
Règle de différenciation logarithmique
Les logarithmes ont des propriétés uniques comme la propriété de produit des logarithmes et la propriété de puissance des logarithmes, pour n'en citer que quelques-unes. Ces propriétés peuvent être utilisées pour trouver la dérivée de fonctions plus complexes. Pour ce faire, on utilise la différenciation logarithmique, qui est plus une méthode qu'une règle.
La différenciationlogarithmique est une méthode qui permet de trouver la dérivée du logarithme de la fonction plutôt que de la fonction originale.
Mais pourquoi dois-tu utiliser la différenciation logarithmique ? Pour profiter des propriétés des logarithmes, bien sûr !
Les propriétés des logarithmes comme pont vers des opérations plus simples.
Il est temps d'examiner les étapes de la différenciation logarithmique.
Étapes de la différenciation logarithmique
La méthode de différenciation logarithmique peut être résumée par les étapes suivantes :
Prends le logarithme naturel de la fonction d'origine.
Utilise toutes les propriétés pertinentes des logarithmes, comme la propriété de puissance des logarithmes ou la propriété de produit des logarithmes. L'objectif de cette étape est de simplifier la fonction.
Utilise la règle de la chaîne et la règle de différenciation du logarithme naturel pour différencier chaque expression.
Multiplie l'expression résultante par la fonction originale. Le résultat est la dérivée de la fonction originale.
C'est à la deuxième étape que tu peux tirer parti de la différenciation logarithmique. Les propriétés des logarithmes te permettront de simplifier les opérations nécessaires.
Ces étapes sont mieux comprises à l'aide d'exemples. Allons-y !
Exemples de différenciation logarithmique
Tu peux utiliser la différenciation logarithmique dans une grande variété de situations. Les propriétés des logarithmes peuvent t'aider à simplifier le processus de recherche de la dérivée d'une fonction. Celles-ci peuvent être classées en fonction de la propriété des logarithmes qui est utilisée pour simplifier les expressions.
Trouve la dérivée de la fonction
\N[ f(x)=x^8 e^x.\N]
Réponse :
Avant de commencer, note que tu peux aussi utiliser la règle du produit pour trouver la dérivée de cette fonction. Cet exemple illustre comment utiliser la différenciation logarithmique pour obtenir la même réponse.
1. Prends le logarithme naturel de la fonction originale.
Commence par prendre le logarithme naturel de la fonction, donc
\[ \ln{f(x)}=\ln{\left( x^8 e^x \right)}.\]
2. Utilise toutes les propriétés pertinentes des logarithmes. Dans ce cas, la propriété de produit des logarithmes et la propriété de puissance des logarithmes.
Puisque le côté droit de l'équation est le logarithme d'un produit, il peut être écrit comme la somme de logarithmes, c'est-à-dire
\[ \ln{f(x)}= \ln{x^8} + \ln{e^x}.\]
De plus, tu peux utiliser la propriété de puissance des logarithmes pour écrire chaque exposant comme un facteur, ce qui donne
\[ \begin{align} \ln{f(x)} &= 8\ln{x} +x\ln{e} \\N &= 8\ln{x}+x, \Nend{align}\N]
où tu as également utilisé le fait que \(\ln{e}=1.\)
3.Différencie chaque expression.
Ensuite, tu dois différencier les deux côtés de l'expression ci-dessus à l'aide de la règle de la chaîne, de la règle de la puissance et de la règle de différenciation du logarithme naturel,
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x}=\frac{1}{x},\]
l'obtention
\[ \N- \N- \N{align}} \N- gauche( \Nfrac{1}{f(x)} \Ndroite) \Ngauche( f'(x) \Ndroite) &= \Nfrac{8}{x}+1 \N- \Nfrac{f'(x)}{f(x)} &= \Nfrac{8}{x}+1. \N- [Fin{align}\N]
4. Multiplie l'expression obtenue par la fonction originale.
Enfin, isole la dérivée en multipliant les deux côtés de l'expression ci-dessus par la fonction originale, \( f(x)=x^8 e^x,\N) et simplifie, c'est-à-dire
\[ \N- f'(x) &= f(x)\Nà gauche( \Nfrac{8}{x}+1 \Nà droite) \N[0.5em] &= x^8e^x\Nà gauche( \Nfrac{8}{x}+1 \Nà droite) \N[0.5em] &= e^x\left( \frac{8x^8}{x} +x^8 \right) \\N[0.5em] &= e^x(8x^7+x^8). \Nend{align} \]
Remarque que c'est exactement ce que tu t'attendais à obtenir !
Qu'en est-il de la propriété du quotient des logarithmes ?
Trouve la dérivée de
\[g(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}.\]
Réponse :
Plutôt que d'utiliser la règle du quotient (qui est parfois difficile à retenir), tu peux utiliser la différenciation logarithmique !
1. Prends le logarithme naturel de la fonction originale.
Cette étape est assez simple, elle te permet d'obtenir
\[\ln{g(x)} = \ln{\left( \frac{\sqrt{x+1}}{x^2} \rright)}.\]
2. Utilise toutes les propriétés pertinentes des logarithmes. Dans ce cas, utilise la propriété de quotient des logarithmes et la propriété de puissance des logarithmes.
Le logarithme du quotient peut être écrit comme une différence de logarithmes, c'est-à-dire
\[ \ln{g(x)} = \ln{\sqrt{x+1}}-\ln{x^2}. \]
Tu peux aussi écrire les puissances (rappelle-toi qu'une racine carrée est une puissance de \( ^1/_2 \) ) comme des facteurs en utilisant la propriété de puissance des logarithmes, donc
\[ \ln{g(x)} = \frac{1}{2}\ln{\left(x+1 \right)}-2\ln{x}.\]
3.Différencie chaque expression.
Cette fois-ci, la différenciation des deux côtés de l'expression ci-dessus te donne
\[ \begin{align} \frac{g'(x)}{g(x)} &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x+1}-2\cdot\frac{1}{x} \N- &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x+1} -\frac{2}{x}, \end{align} \]
qui peut être simplifiée en ajoutant les expressions rationnelles
\[ \frac{g'(x)}{g(x)}= \frac{-3x-4}{2x(x+1)}. \]
4. Multiplie l'expression obtenue par la fonction originale.
Isole la dérivée en multipliant les deux côtés de l'expression ci-dessus par \( g(x) \) et simplifie, c'est-à-dire
\[ \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-[0.5em] &= \frac{\sqrt{x+1}}{x^2} \right) \left( \frac{-3x-4}{2x(x+1)}\right) \\N[0.5em] &= \frac{-3x-4}{2x^3\sqrt{x+1}. \N-{align}\N- [\N]
La différenciation logarithmique peut être utilisée pour trouver la dérivée d'une fonction très particulière.
Trouve la dérivée de
\[h(x)=x^x.\N-]
Réponse :
Ici, tu as \N(x) élevé à la puissance de \N(x.\N) Tu identifies une fonction exponentielle lorsque la variable est la puissance et non la base, et la règle de la puissance ne s'applique que si la variable n'est pas dans l'exposant. Dans ce cas, la variable est à la fois la base et la puissance ! Que faire ? La différenciation logarithmique bien sûr !
1. Prends le logarithme naturel de la fonction d'origine.
Comme d'habitude, commence par prendre le logarithme naturel de la fonction, c'est-à-dire
\[ \ln{h(x)} = \ln{x^x}.\]
2. Utilise toutes les propriétés pertinentes des logarithmes. Dans ce cas, utilise la propriété de puissance des logarithmes.
Tu peux maintenant réécrire la puissance sous forme de facteur en utilisant la propriété de puissance des logarithmes, ce qui te donne
\[ \ln{h(x)} = (x)(\ln{x}). \]
3.Différencie chaque expression.
Le côté droit de l'expression ci-dessus est un produit de fonctions, il peut donc être différencié à l'aide de la règle du produit, ce qui donne
\N- [\N- Début{alignement} \frac{h'(x)}{h(x)} &= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \right)\ln{x} + x\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x}\right) \\N &= (1)(\ln{x}) + x\left( \frac{1}{x} \ln{x}right) \N &= \ln{x}+1. \N- [end{align}\N]
4. Multiplie l'expression obtenue par la fonction originale.
Enfin, isole la dérivée en multipliant les deux côtés de l'expression ci-dessus par \( h(x) \N).
\[ \begin{align} h'(x) &= \left( h(x) \right) \left( \ln{x}+1 \right) \\ &= \left(x^x \right) \left( \ln{x}+1 \right). \Nend{align} \]
Comme tu peux le voir, la différenciation logarithmique est très utile pour éviter de travailler avec des expressions plus grandes ou pour trouver les dérivées des fonctions qui ne peuvent pas être travaillées à l'aide des techniques de différenciation standard.
Utiliser la différenciation logarithmique pour obtenir des formules
La différenciation logarithmique peut également être utilisée pour prouver certaines règles de différenciation, comme la règle du produit et la règle du quotient. Plongeons-nous dans leur démonstration à l'aide de la différenciation logarithmique !
Tu peux prouver la règle du produit en utilisant la différenciation logarithmique. Considère la fonction
f(x)=g(x)h(x).\N- [f(x)=g(x)h(x).\N]
Comme d'habitude, commence par prendre le logarithme naturel des deux côtés de la règle de la fonction
\[ \ln{f(x)} = \ln{\left( g(x)h(x) \right)}, \]
que tu peux réécrire en utilisant la propriété de puissance des logarithmes dans le côté droit, donc
\[ \ln{f(x)} = \ln{g(x)} + \ln{h(x)}. \]
Tu peux maintenant différencier les deux côtés de l'équation à l'aide de la règle de la chaîne, c'est-à-dire
\[ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}. \]
Enfin, multiplie l'équation par \N( f(x) \N)
\[ \begin{align} f'(x) &= f(x)\left( \frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)} \right) \\ &= g(x)h(x)\frac{g'(x)}{g(x)} + g(x)h(x)\frac{h'(x)}{h(x)} \\ &= h(x)g'(x)+g(x)h'(x). \Nend{align} \]
L'expression ci-dessus est la règle du produit que nous connaissons tous ! Tu peux essayer de prouver la règle du quotient en utilisant une procédure similaire à celle décrite ci-dessus.
Pour quels calculs dois-tu utiliser la différenciation logarithmique ?
Comme le but de l'utilisation de la différenciation logarithmique est de simplifier le processus de recherche de la dérivée d'une fonction, tu ne dois l'utiliser que lorsque la dérivée devient plus facile à trouver. Elle peut également être utilisée lorsque la dérivée d'une fonction ne peut pas être trouvée avec les techniques de différenciation standard, comme dans le cas de \(f(x)=x^x.\).
Chaque fois que tu peux utiliser la règle du produit ou la règle du quotient, tu peux aussi utiliser la différenciation logarithmique. Bien que la règle du produit soit plus facile à utiliser, tu peux parfois oublier quel est le terme négatif de la règle du quotient.
Une erreur fréquente lors de l'utilisation de la règle du quotient est de se tromper de signe.
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f(x)}{g(x)} \neq \frac{f(x)g'(x)-g(x)f'(x)}{\frac{f(x)g'(x)-g(x)f'(x)}{\left( g(x) \right)^2}\]
Tu peux éviter cette erreur en utilisant la différenciation logarithmique car il est plus facile de se rappeler que le terme négatif est celui du dénominateur.
\[ \ln{\left(\frac{f(x)}{g(x)} \right)} = \ln{f(x)}-\ln{g(x)}.\]
À partir de là, tu peux continuer le processus de différenciation logarithmique pour trouver la dérivée de la fonction.
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{\left( g(x) \right)^2} \]
Différenciation logarithmique - Principaux enseignements
- La différenciation logarithmique est une méthode utilisée pour trouver les dérivées en utilisant les propriétés des logarithmes.
- Les étapes suivies pour la différenciation logarithmique sont les suivantes :
- Prends le logarithme naturel de la fonction originale.
- Utilise toutes les propriétés pertinentes des logarithmes pour simplifier la fonction.
- Utilise la règle de la chaîne et la règle de différenciation du logarithme naturel pour différencier l'expression.
- Multiplie l'expression obtenue par la fonction originale.
- Les propriétés suivantes des logarithmes peuvent être utilisées en ta faveur lorsque tu simplifies des expressions :
- Propriété de produit des logarithmes.
- Propriété de quotient des logarithmes.
- Propriété de puissance des logarithmes.
- La différenciation logarithmique doit être utilisée lorsque la dérivée est plus facile à trouver. Il est inutile d'utiliser la différenciation logarithmique pour trouver la dérivée de \(f(x)=x^n.\N).
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