Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Tu as maintenant appris à utiliser les dérivés pour analyser des choses telles que le changement de population et le mouvement le long d'une ligne. C'est bien beau tout ça, mais t'es-tu déjà demandé si les mathématiques pouvaient te faire gagner de l'argent?
Eh bien, il s'avère que c'est possible ! Tu peux utiliser les dérivés et les taux de variation pour décrire les concepts économiques et commerciaux simples de la variation des coûts, des recettes et des bénéfices.
Le taux de variation des bénéfices d'une entreprise dépend
du taux auquel l'entreprise vend ses produits,
du coût de fabrication de chaque produit,
du coût de la main-d'oeuvre et
de la concurrence potentielle pour ces ressources.
Tu peux utiliser ces paramètres pour créer une équation qui modélise les revenus d'une entreprise. Ensuite, la dérivée, ou taux de variation de cette équation, est le taux auquel l'entreprise gagne des revenus.
Si les taux de variation des coûts et des recettes aident le monde des affaires à faire des prévisions sur les perspectives d'avenir des investissements, ils peuvent aussi être utiles aux entreprises elles-mêmes pour décrire leur réussite ou pour savoir si des changements doivent être apportés.
Alors, que signifient les coûts et les recettes?
Lecoût représente la somme d'argent qu'une entreprise doit dépenser pour produire un certain produit. La dérivée de la fonction de coût d'une entreprise est appelée coût marginal.
Si \(C(x)\) est le coût de production de \(x\) nombre d'articles, alors le coût marginal, \(MC(x)\), de production de \(x\) articles est \(C'(x)\).
Mathématiquement,
\[ \begin{align}
\text{Cost} &= C(x) \\
\text{Marginal Cost} &= C'(x) = MC(x).
\end{align} \]
De même, les recettes représentent la somme d'argent qu'une entreprise obtient en vendant un certain produit. La dérivée de la fonction de revenu d'une entreprise est appelée son revenu marginal.
Si \(R(x)\) est la recette de la vente de \(x\) nombre d'articles, alors la recette marginale, \(MR(x)\), de la vente de \(x\) articles est \(R'(x)\).
Mathématiquement,
\[ \begin{align}
\text{Revenue} &= R(x) \\
\text{Marginal Revenue} &= R'(x) = MR(x).
\end{align} \]
Quelle est donc la relation entre les coûts et les recettes ?
Le bénéfice représente la somme d'argent empochée par une entreprise - une fois que ses coûts et ses recettes ont été comptabilisés. La formule pour calculer le bénéfice consiste à soustraire le coût total que l'entreprise a dépensé pour produire la marchandise du revenu total obtenu en vendant la marchandise.
Si \(P(x) = R(x) - C(x)\) est le bénéfice réalisé en fabriquant et en vendant \(x)\Nun certain nombre d'articles, alors lebénéfice marginal , \(MP(x)\), réalisé en fabriquant et en vendant \(x)\Nun certain nombre d'articles est \(P'(x)\).
Mathématiquement,
\[ \begin{align}
\text{Profit} &= P(x) \\ &= R(x) - C(x), \\
\text{Marginal Profit} &= P'(x) \\ &= MP(x) \\ &= R'(x) - C'(x).
\end{align} \]
Malheureusement, il n'existe pas de formules générales pour les coûts, les recettes ou les bénéfices. Selon la question, tu devras déterminer ces formules à l'aide d'indices contextuels dans un problème de mots, ou bien la ou les formules te seront données.
Ceci étant dit, en utilisant la définition de la dérivée, tu peux calculer approximativement
\[ \begin{align}
\text{Marginal Cost} &= MC(x) \\
&= C'(x) \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{C(x+h) - C(x)}{h} \\N-
\Nend{align} \]
et
\[ \begin{align}
\text{Marginal Revenue} &= MR(x) \\
&= R'(x) \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{R(x+h) - R(x)}{h} \\N-
\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{align} \]
et
\[ \begin{align}
\text{Marginal Profit} &= MP(x) \\
&= P'(x) \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{P(x+h) - P(x)}{h} \\N-
\Nend{align} \]
en choisissant une valeur appropriée pour \(h\). Mais qu'est-ce qu'une valeur appropriée pour \(h\) ?
Si l'on considère que la variable indépendante \(x\) représente des éléments physiques, \(h\) doit être un nombre entier supérieur à zéro. Donc, comme tu veux que \(h\) soit aussi petit que possible pour obtenir la meilleure approximation, en substituant \(h = 1\), tu obtiens les formules :
\[ \begin{align}
\text{Coût marginal} &= MC(x) = C'(x) \approx C(x+1) - C(x), \\\N
\text{Revenu marginal} &= MR(x) = R'(x) \Napprox R(x+1) - R(x), \N{text{and} \\N-
\N{Bénéfice Marginal} &= MP(x) = P'(x) \Napprox P(x+1) - P(x).
\Nend{align} \]
En examinant ces formules, il devrait être clair que :
\N(C'(x)\Npour toute valeur de \N(x\N) peut être considéré comme le changement de coût associé à la fabrication d'un article supplémentaire par l'entreprise.
\N(P'(x)\N) pour toute valeur de \N(x)\N peut être considéré comme le changement de revenu associé à la vente d'un article supplémentaire par l'entreprise.
\(P'(x)\) pour toute valeur de \(x\) peut être considéré comme le changement de profit associé à la fabrication et à la vente d'un article supplémentaire par l'entreprise.
Comme tu l'as peut-être remarqué dans les définitions ci-dessus, les dérivées, également connues sous le nom de marginales, des fonctions de coût, de revenu et de profit mesurent le changement des fonctions dans le temps.
Tout comme les autres applications des produits dérivés, le taux de variation des fonctions de coût et de revenu est le même.
Pour en savoir plus sur le taux de variation moyen et instantané, consulte notre article Taux de variation et formule de calcul du montant de la variation.
Le taux moyen de variation d'une fonction de coût ou de revenu mesure l'ampleur de la variation du coût ou du revenu.
Soit \(d = C(x)\) le montant total en dollars dépensé pour produire \(x\) articles. Le taux moyen de variation du coût entre le premier article produit \(x_1\) et le dernier article produit \(x_2\) est le suivant
\[ \begin{align} \mbox{Taux moyen de variation du coût } &= \frac{\Delta d}{\Delta x} \\\N &= \frac{C(x_2) - C(x_1)}{x_2-x_1}. \N- [Fin{align}\N]
Qu'en est-il du taux moyen de variation des revenus ?
De même, \(p = R(x)\) représente le montant total en dollars obtenu par la vente de \(x\) articles. Le taux moyen de variation des recettes entre le premier article vendu \(x_1\) et le dernier article vendu \(x_2\) est le suivant
\[ \begin{align} \mbox{Taux moyen de variation des recettes } &= \frac{\Delta p}{\Delta x} \\N &= \frac{R(x_2) - R(x_1)}{x_2-x_1}.\Nend{align} \]
Pour savoir comment la formule du taux moyen de variation est calculée, reporte-toi à l'article sur la variation de la population.
Pour trouver le tauxexact de variation d'un coût ou d'une recette au moment de la production ou de la fabrication d'un certain article, tu dois trouver le taux instantané de variation du coût ou de la recette. Tu devrais maintenant savoir que le taux instantané de variation des coûts ou des recettes est synonyme de la dérivée (ou marginale) de l'équation des coûts ou des recettes.
Encore une fois, représentons \(d = C(x)\) le montant total en dollars dépensé pour produire \(x\) articles. Le taux instantané de variation du coût de production de l'article \(x\) est le suivant
\[ \begin{align} \mbox{Taux de variation instantané du coût } &= \limlimits_{\Delta x \à 0} \frac{\Delta d}{\Delta x} \\N &= \frac{dd}{dx}. \[Fin{align}\]
Qu'en est-il du taux de changement instantané ?
De la même façon, \(p = R(x)\) représente le montant total en dollars généré par la vente de \(x\) articles. Le taux instantané de variation des recettes lors de la vente de l'article \(x\) est le suivant
\[ \begin{align} \mbox{Taux de variation des recettes } &= \limlimits_{\Delta x \à 0} \frac{\Delta p}{\Delta x} \N &= \frac{dp}{dx}. \N- [Fin{align}\N]
Ces concepts sont plus faciles à comprendre avec quelques exemples.
Examinons quelques exemples de coûts, de recettes et d'éléments tels que le seuil de rentabilité.
Une entreprise de presse a un coût de production fixe de 80 centimes par édition, ainsi qu'un coût marginal de distribution et de matériel d'impression de 40 centimes par exemplaire. Les journaux sont vendus à \(50¢\) par exemplaire.
Solutions:
Prenons un autre exemple.
Supposons qu'une entreprise de jouets produise \(x\) jouets avec un coût de \(C(x) = 10000 + 3x + 0.01x^2\) qui englobe le total des frais généraux (comme le loyer de l'usine), les matériaux, la main d'œuvre, etc.
Solutions:
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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