Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Une fonction algébrique est un type de fonction qui peut être défini à l'aide de polynômes. En d'autres termes, c'est une fonction qui n'implique que des opérations algébriques (addition, soustraction, multiplication, division) et qui peut également impliquer l'extraction de racines. Elle peut être exprimée à l'aide d'un nombre fini de ces opérations.
La ou les variables d'une fonction algébrique peuvent apparaître au numérateur, au dénominateur ou sous le symbole d'une racine, mais les exposants de toutes les variables de la fonction doivent être des nombres rationnels (fractions ou entiers).
Un problème impliquant des fonctions algébriques peut ressembler à ceci :
Tu sais que l'âge de ton oncle Jean est le double de ton âge plus quatre ans, et tu sais que ton âge est de 15 ans. Tu peux utiliser une fonction algébrique pour calculer l'âge de ton oncle (x) : \(x = 15 \cdot 2 +4 = 34\)
Dans cet article, nous allons définir ce que sont les fonctions algébriques, les différents types de fonctions algébriques, comment identifier les fonctions algébriques et non algébriques, aborder le calcul différentiel des fonctions algébriques et travailler sur quelques exemples.
Comme nous l'avons appris dans notre article sur les fonctions, il existe de nombreuses catégories de fonctions. L'une d'entre elles est la fonction algébrique.
Une fonction algébrique est une fonction qui n'implique que des opérations algébriques : addition, soustraction, multiplication, division, puissances et racines.
Cette classe de fonctions a été générée lorsque les quotients et les puissances fractionnaires ont été inclus à part des fonctions polynomiales. Si ce n'était pas le cas, nous aurions simplement des fonctions polynomiales ! Ces ajouts aux fonctions polynomiales donnent naissance aux types de fonctions algébriques.
Note que la constante peut être un nombre négatif (par exemple -2) de sorte qu'au lieu d'une somme, le terme semble être une soustraction. Si la puissance de la variable était négative, cela signifierait que le terme se trouve dans une fraction, et donc qu'il s'agirait d'une fonction rationnelle et non d'une fonction polynomiale. Lorsqu'un terme variable (x) apparaît sans constante, cela signifie que la constante est en fait le nombre 1 (\(x \cdot 1 = x\)). Si une constante apparaît seule, cela signifie que la puissance de la variable est 0 (\c(a \cdot x^0 = a \cdot 1 = a\c)).
Une équation de la forme \(n^x\) n'est PAS une fonction algébrique, car la variable (x) est l'exposant au lieu de la base.
En nous basant sur notre définition d'une fonction algébrique, énumérons quelques exemples de fonctions algébriques.
\N- [f(x)=3x+2\N]
\N- [g(x)=x^2-2x-9\N]
\[h(x)=\sqrt[3]{x}\]
\[j(x)=\dfrac{x+2}{2x-3}\]
\[k(x)=4x^9-3x^4+x\]
\N- [p(x)=x^4\N]
Encore une fois, note que les fonctions algébriques ne comprennent que les opérations: \(+,-,x,/\), les exposants entiers et les exposants rationnels.
Si une fonction algébrique ne peut inclure que les opérations (+, -, x, /\), les exposants (et les racines), alors qu'en est-il de toutes les autres fonctions qui incluent d'autres opérateurs, ou dont la variable se trouve à d'autres endroits que ceux dont nous avons parlé ? Ce sont toutes des fonctions non algébriques!
Voici quelques exemples de fonctions non algébriques:
Les fonctions trigonométriques, comme : \(f(x)=\sin(2x)\)
Les fonctions hyperboliques, comme : \(f(x)=\cosh(x)\)
Les fonctions exponentielles, comme : \(f(x)=e^x\)
Les fonctions logarithmiques, comme : \(f(x)=ln(x)\)
Les fonctions de valeur absolue, comme : \(f(x)=|x|\)
Lorsqu'il s'agit de tracer des graphiques de fonctions algébriques, nous devons parfois prendre des dérivées et des dérivées d'ordre supérieur pour trouver les points critiques et les points d'inflexion des graphiques de ces fonctions.
Si nous voulons trouver les points critiques sur le graphique d'une fonction algébrique, nous devons savoir comment prendre la dérivée de la fonction. Tu trouveras cette méthode dans notre article sur les dérivées.
Qu'est-ce qu'un point critique ?
Soit c un point intérieur dans le domaine de \(f(x)\). On dit que \(x=c\) est un point critique de la fonction \(f(x)\) si :
f(c) DOIT EXISTER pour que \(x=c\) soit un point critique !
Mais qu'est-ce qu'un point critique exactement ?
Partout où nous avons un point critique d'une fonction, il y a soit une tangente horizontale, soit une tangente verticale, soit un virage serré, soit un changement de concavité à ce point.
Fig. 2. Si nous avons \Nf(x)=x^{2} \N- Alors \N- f'(0)=0 \N- et \N- x=0 \N- est un point critique en rose. À ce point critique, nous avons une tangente horizontale en vert et un minimum absolu à \( x=0 \N).
Fig. 3. Si nous avons \Nf(x)=x^{3} \N), alors \N( f'(0)=0 \N) et \N( x=0 \N) est un point critique en rose. À ce point critique, nous avons une tangente horizontale en vert et un changement de concavité, mais pas de minimum ni de maximum.
Fig. 4. Si nous avons \( f(x)=x^{\frac{1}{3}}), alors \( f(x)=x^{\frac{1}{3}) \), alors \Nf'(0)=DNE \Net \Nx=0 \Nest un point critique en rose. À ce point critique, nous avons une tangente verticale en vert et un changement de concavité.
Fig. 5. Si nous avons \( f(x)=\sqrt[3]{x^{2}} \), alors \Nf'(0)=DNE \Net \Nx=0 \Nest un point critique en rose. À ce point critique, nous avons un virage serré et un changement de concavité.
Pour trouver le point critique d'une fonction, nous suivons les étapes suivantes :
Trouve la dérivée de la fonction.
Fixe la dérivée à 0.
Résous \(x\), si possible.
Trouve toutes les valeurs de \(x\) (s'il y en a) où la dérivée est indéfinie.
Toutes les valeurs de \(x\)(si elles se trouvent dans le domaine de la fonction originale) trouvées aux étapes 2 et 3 sont les coordonnées \(x\) des points critiques.
Trouve les valeurs de \(y\) des points critiques en introduisant les valeurs de \(x\) dans la fonction originale et en résolvant pour la coordonnée de \(y\).
Si nous voulons trouver lespoints d' inflexion sur le graphique d'une fonction algébrique, nous devons savoir comment prendre la dérivée seconde de la fonction. Tu trouveras cette méthode dans notre article sur les dérivées d'ordre supérieur.
Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?
Si \(f(x)\Nest continue à \N(a) et que \N(f(x)\Nchange de concavité à \N(a), alors le point \N((a, f(a))\Nest un point d'inflexion de \N(f(x)\N).
Mais qu'est-ce qu'un point d'inflexion exactement ?
Chaque fois que nous avons un point d'inflexion sur une fonction, c'est là qu'elle change de forme :
Et que signifient concave et convexe ? 1
Convexe (également appelé Concave vers le haut ou Convexe vers le bas), c'est lorsque la pente d'une fonction est croissante.
Concave (également appelée concave vers le bas ou convexe vers le haut) lorsque la pente d'une fonction est décroissante.
Note que les examens de l'AP Calculus (et probablement ton professeur d'AP Calculus) utilisent les termes concave vers le haut et concave vers le bas.
Fig. 6. La différence entre concave vers le haut en bleu et concave vers le bas en vert.
Alors, comment trouver l'endroit où une fonction change de concavité ?
Nous trouvons la dérivée seconde de la fonction.
Si la dérivée seconde d'une fonction est positive, alors elle est convexe.
Si la dérivée seconde d'une fonction est négative, elle est concave.
Les graphiques de tous ces types de fonctions algébriques varient considérablement les uns par rapport aux autres. Cependant, la procédure générale pour représenter graphiquement une fonction algébrique est la suivante :
Calcule l'ordonnée à l'origine en définissant et en résolvant \(x\).
Calcule les ordonnées en définissant et en résolvant \(y\).
Trouve et trace les asymptotes.
Trouve et trace tout point critique.
Trouve et trace les points d'inflexion.
Calcule quelques points supplémentaires le long de la courbe jusqu'à ce que tu aies une bonne idée de l'aspect de la courbe.
Trace tous ces points et dessine la courbe qui les relie.
Trace le graphique de la fonction :
\[f(x)=\dfrac{1}{x}\]
Solution:
Calcule les ordonnées à l'origine en réglant \N(y=0\N) et en résolvant \N(x\N).
\(f(x)=y=\dfrac{1}{x} \N- On peut remplacer f(x)\Npar \N(y).
\N(0=\dfrac{1}{x}\N) règle \N(y=0\N) et effectue une multiplication croisée pour résoudre \N(x\N).
\(0 \Nneq 1 \Nrightarrow \N) Il n'y a pas d'ordonnée à \N(x\N).
Calcule l'ordonnée à l'origine en réglant \N(x=0\N) et en résolvant \N(y\N).
\N(f(x)=y=\dfrac{1}{x}=f(x)\N) peut être remplacé par \N(y\N).
\N(y=\dfrac{1}{0}\N) règle \N(x=0\N) et résout \N(y\N).
\N-(y \Nneq \Ndfrac{1}{0}=\infty\N) tu ne peux pas diviser par \N(0\N) ! Il n'y a pas d'ordonnée à l'origine.
Trouve et trace les asymptotes éventuelles.
Puisque l'expression \(\dfrac{1}{x} \rightarrow 0\) comme \(\rightarrow \pm \infty\), il y a une asymptote horizontale sur la ligne \(y=0\) (l'axe \(x\)).
Puisque l'expression \(\dfrac{1}{x} \rrow \pm \infty \) comme \(x \rrow 0\), il y a une asymptote verticale sur la ligne \(x=0\) (l'axe \(y\)-).
Trouve et trace tout point critique.
Trouve la dérivée de la fonction (consulte notre article sur les dérivées pour plus d'informations) :
\(\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{x^2}\)
Fixe la dérivée à \N(0\N), et résout \N(x\N).
\(0=-\dfrac{1}{x^2}\)
\N-(0 \Nneq -1\N) Alors que le point où \N(x=0\N) est un candidat possible pour un point critique parce que \N(f'(0)=\nexists\N), il n' y a pas de point critique parce que nous avons prouvé plus tôt que \N(f(0)\N) n'existe pas.
Trouve et trace les éventuels points d'inflexion.
Trouve la dérivée seconde de la fonction (consulte notre article sur les dérivées d'ordre supérieur pour plus d'informations) :
\(\dfrac{d^2}{dx^2}\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x^3}\)
Fixe la dérivée seconde à \(0\N), et résout \N(x\N).
\(0=\dfrac{2}{x^3}\)
\(0 \Nneq 2\N) la dérivée seconde n'est jamais 0, et elle est indéfinie lorsque \N(x=0\N). Il n' y a pas de point d'inflexion car la fonction originale n'est pas définie à \(0\).
Calcule quelques points supplémentaires le long de la courbe jusqu'à ce que tu aies une bonne idée de son aspect.
| \(x\) | \(1/x\) |
| \(-4\) | \(-1/4\) |
| \(-3\) | \(-1/3\) |
| \(-2\) | \(-1/2\) |
| \(-1\) | \(-1\) |
| \(0\) | non défini |
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(1/2\) |
| \(3\) | \(1/3\) |
| \(4\) | \(1/4\) |
Trace tous ces points et dessine la courbe qui les relie.
Fig. 7. Points tracés.
La recherche du domaine et de l'étendue des fonctions algébriques dépend du type de fonction algébrique que nous considérons.
Pour les fonctions polynomiales :
Le domaine de toutes les fonctions polynomiales est l'ensemble des nombres réels : \(-\infty, \infty\).
Le domaine des fonctions polynomiales dépend à la fois de l'ordre du polynôme et des valeurs de \(y\) du graphique.
Si l'ordre du polynôme est impair, l'intervalle est toujours \(-\infty, \infty\).
Si l'ordre du polynôme est pair, l'intervalle dépend des valeurs minimales et/ou maximales de \(y\).
Trouve le domaine et l'étendue de la fonction :
\[f(x)=x^2+4].
Solution:
Puisqu'il s'agit d'une fonction polynomiale :
Pour trouver l'étendue, nous reconnaissons qu'il s'agit de l'équation d'une parabole. Nous pouvons réécrire l'équation sous forme de sommet comme suit :
\N-[y=a(x-h)^2+k\N]
\N- [y=(x-0)^2+4\N]
Où ,
Comme le coefficient directeur est positif, nous savons que la parabole s'ouvre vers le haut. Cela signifie que le sommet est le point le plus bas de la parabole.
Par conséquent, l'étendue est \([4, \infty)\).
Nous pouvons représenter graphiquement la fonction pour vérifier notre travail :
Fig. 8. Le graphique d'une fonction polynomiale.
Pour les fonctions rationnelles :
Pour trouver le domaine des fonctions rationnelles, il faut suivre la règle selon laquelle le dénominateur ne peut pas être égal à \(0\).
Pour trouver l'intervalle des fonctions rationnelles, il faut.. :
D'abord, résoudre la fonction pour \(x\)
Ensuite, appliquer la règle selon laquelle le dénominateur ne peut pas être égal à \(0\).
Remarque que si les polynômes de la fonction rationnelle ont des ordres supérieurs à \(2\), ce processus devient rapidement difficile. Pour trouver l'éventail des fonctions rationnelles dont les ordres sont supérieurs à \(3\), nous aurions besoin d'une analyse différentielle plus poussée.
Trouve le domaine et l'étendue de la fonction :
\[f(x)=\dfrac{3x-1}{5x+2}\]
Solution:
Comme il s'agit d'une fonction rationnelle, nous devons suivre la règle selon laquelle le dénominateur ne peut pas être égal à \(0\). Par conséquent, le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels sauf ceux dont le dénominateur est égal à \(0\).
Pour trouver l'intervalle, nous devons trouver les valeurs de \N(y\N) pour lesquelles il existe un nombre réel de \N(x\N) tel que :
\[y=\dfrac{3x-1}{5x+2}\]
Nous pouvons représenter graphiquement la fonction pour vérifier notre travail :
Fig. 9. Le graphique d'une fonction rationnelle.
Pour les fonctions de pouvoir/racine :
Le domaine et l'étendue des fonctions puissance et racine dépendent tous deux de l'exposant. Nous devons analyser chaque fonction au cas par cas, car le domaine et l'étendue de ces fonctions sont assez "sensibles" aux changements d'exposants.
Trouve le domaine et l'étendue de la fonction :
\[f(x)=\sqrt{4-x^2}\]
Solution:
Pour trouver le domaine :
Pour trouver l'étendue :
Nous pouvons représenter graphiquement la fonction pour vérifier notre travail :
Fig. 10. Le graphique d'une fonction racine.
Lesquelles des fonctions suivantes sont des fonctions algébriques ?
\N- [1.- f(x)=\sin(x)\N]
\N- [2.- f(x)=x^2-x\N]
\N- [3.- f(x)=ln(x)\N]
\N- [4.- f(x)=|x-2|]
\N- [5.- f(x)=x+9 \N]
\N- [6.- f(x)=\dfrac{1}{x-5}\N-]
\N- [7.- f(x)=x^{\dfrac{2}{5}}\N-]
\N- [8.- f(x)=tanh(x)\N]
\N- [9.- f(x)=e^x\N]
\N- [10.- f(x)=x^4-2x-6 \N]
\[11.- f(x)=\dfrac{2x^5-6x}{x^3}\]
Solutions:
Trouve le domaine de chacun des éléments suivants :
\[f(x)=\dfrac{3}{x^2-1}\]
\[f(x)=\dfrac{2x+5}{3x^2+4}\]
\[f(x)=\sqrt{4-3x}\]
\[f(x)=\sqrt[3]{2x-1}\]
Solutions:
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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