Quelles sont les fonctions hyperboliques de base?

Les fonctions hyperboliques de base sont sinh(x), cosh(x), tanh(x), sech(x), csch(x) et coth(x).

À quoi servent les fonctions hyperboliques?

Les fonctions hyperboliques sont utilisées en mathématiques pour modéliser des phénomènes physiques, comme la propagation de la chaleur et des ondes.

Comment calcule-t-on sinh(x) et cosh(x)?

Pour calculer sinh(x), on utilise (e^x - e^-x)/2 et pour cosh(x), c'est (e^x + e^-x)/2.

Quelle est la relation entre fonctions hyperboliques et trigonométriques?

Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques mais sont définies avec des exponentielles plutôt que des angles.

What is Investigating Fonctions Hyperboliques?

AI Summary

Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.

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Pourquoi devons-nous restreindre le domaine du cosinus hyperbolique et de la sécante hyperbolique pour trouver leurs inverses ?

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Quality reviewed by Gabriel Freitas.
Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.

En mathématiques, il existe certaines combinaisons paires et impaires des fonctions exponentielles naturelles $e^{x}$ et $e^{- x}$ qui apparaissent si fréquemment qu'elles ont mérité leur propre nom. Elles sont, à bien des égards, analogues aux fonctions trigonométriques. Par exemple, elles ont la même relation avec l'hyperbole que lesfonctions trigonométriques avec le cercle. C'est pourquoi ces fonctions spéciales sont appelées fonctions hyperboliques.

Cet article traite en détail des fonctions hyperboliques de base et de leurs propriétés, identités, dérivées, intégrales, inverses et exemples.

Définition des fonctions hyperboliques
Fonctions hyperboliques : formules
Fonctions hyperboliques : graphiques
Fonctions hyperboliques : propriétés et identités
Dérivées des fonctions hyperboliques
Intégrales des fonctions hyperboliques
Fonctions hyperboliques inverses
Fonctions hyperboliques : exemples et applications

Définition des fonctions hyperboliques

Quelles sont les fonctions hyperboliques ?

Les fonctions hyperboliques sont essentiellement les fonctions trigonométriques de l'hyperbole. Elles étendent la notion d'équations paramétriques pour le cercle unitaire, où $(x = \cos (θ), y = \sin (θ))$ aux équations paramétriques de l'hyperbole unitaire, et sont définies en termes de fonction exponentielle naturelle (où $e$ est le nombre d'Euler), ce qui nous donne les deux formules hyperboliques fondamentales suivantes :

$(x = \cos h (c) = \frac{e^{c} + e^{- c}}{2}, y = \sin h (c) = \frac{e^{c} - e^{- c}}{2})$

À partir de ces deux définitions : le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique, le reste des six principales fonctions hyperboliques peut être dérivé comme indiqué dans le tableau ci-dessous.

Fonctions hyperboliques : Formules

Les formules des fonctions hyperboliques sont énumérées ci-dessous :

Les 6 principales formules hyperboliques
Sinus hyperbolique :	$\sin h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$	Cosécante hyperbolique :	$c s c h (x) = \frac{1}{\sin h (x)} = \frac{2}{e^{x} - e^{- x}}$
Cosinus hyperbolique :	$\cos h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$	Secante hyperbolique :	$s e c h (x) = \frac{1}{\cos h (x)} = \frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$
Tangente hyperbolique :	$\tan h (x) = \frac{\sin h (x)}{\cos h (x)} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$	Cotangente hyperbolique :	$c o t h (x) = \frac{\cos h (x)}{\sin h (x)} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$

Où $\sin h$ se prononce "cinch", $\cos h$ se prononce "cosh", $\tan h$ se prononce "tanch", $\csc h$ se prononce "coseech". $\sec h$ se prononce "seech", et $\cot h$ se prononce "cotanch".

Dérivation des formes exponentielles

Une caractéristique clé des fonctions trigonométriques hyperboliques est leur similitude avec les fonctions trigonométriques, ce que l'on peut voir dans la formule d'Euler:

$e^{\pm i θ} = \cos (θ) \pm i \sin (θ)$

En résolvant cette formule pour le cosinus et le sinus, on obtient :

$\cos (θ) = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}, \sin (θ) = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i}$

Ce qui est remarquablement similaire aux fonctions cosinus et sinus hyperboliques :

$\cos h (c) = \frac{e^{c} + e^{- c}}{2}, \sin h (c) = \frac{e^{c} - e^{- c}}{2}$

Mais remarque que les fonctions hyperboliques n'ont pas la partie imaginaire de la formule d'Euler.

Pourquoi les nombres imaginaires sont-ils absents des fonctions hyperboliques ?

Parce que lorsque nous résolvons la formule d'Euler pour les fonctions hyperboliques, la composante imaginaire n'existe pas dans la solution des fonctions hyperboliques.

Fonctions hyperboliques : Graphiques

Les graphiques des deux fonctions hyperboliques fondamentales : le sinus hyperbolique et le cosinus hyperbolique, peuvent être esquissés à l'aide de l'addition graphique comme indiqué ci-dessous.

Le graphique de

y = \sin h (x) = \frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

Le graphique de

y = \cos h (x) = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

Fonctions hyperboliques graphique du sinus hyperbolique StudySmarter Le graphique du sinus hyperbolique en utilisant l'addition graphique - StudySmarter Originals

Fonctions hyperboliques graphique du cosinus hyperbolique StudySmarter Le graphique du cosinus hyperbolique à l'aide de l'addition graphique - StudySmarter Originals

Les graphiques des six autres fonctions hyperboliques principales sont présentés ci-dessous.

Les graphes de la cosécante, de la sécante, de la tangente et de la cotangente hyperboliques
Le graphe de $y = c s c h (x) = \frac{1}{\sin h (x)} = \frac{2}{e^{x} - e^{- x}}$	Le graphique de $y = s e c h (x) = \frac{1}{\cos h (x)} = \frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$
Le graphe de la cosécante hyperbolique - StudySmarter Originals	Le graphique de la sécante hyperbolique - StudySmarter Originals
Le graphique de $y = \tan h (x) = \frac{\sin h (x)}{\cos h (x)} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$	Graphique de la tangente hyperbolique - StudySmarter Originals $y = c o t h (x) = \frac{\cos h (x)}{\sin h (x)} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$
Le graphique de la tangente hyperbolique - StudySmarter Originals	La courbe de la cotangente hyperbolique - StudySmarter Originals

Remarque que ces fonctions hyperboliques ont toutes des asymptotes horizontales(vertes) et/ou verticales(roses). Le graphique de la sécante hyperbolique a un maximum global au point $(0, 1)$ .

Domaine et étendue des fonctions hyperboliques

Pendant que nous examinons les graphiques des fonctions hyperboliques, prenons note de leurs domaines et de leurs étendues !

Fonction	Domaine	Domaine
$y = \sin h (x)$	$(- \infty, \infty)$	$(- \infty, \infty)$
$y = \cos h (x)$	$(- \infty, \infty)$	$[1, \infty)$
$y = \tan h (x)$	$(- \infty, \infty)$	$(- 1, 1)$
$y = c s c h (x)$	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$
$y = s e c h (x)$	$(- \infty, \infty)$	$(0, 1]$
$y = c o t h (x)$	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$	$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

Fonctions hyperboliques : Propriétés et identités

Les propriétés et identités des fonctions hyperboliques sont également très similaires à celles de leurs homologues trigonométriques :

Propriétés :
- $\sin h (- x) = - \sin h (x)$
- $\cos h (- x) = \cos h (x)$
- $\tan h (- x) = - \tan h (x)$
- $\sec h (- x) = \sec h (x)$
- $c s c h (- x) = - \csc (x)$
- $\cot h (- x) = - \cot h (x)$
- $\cos h (2 x) = \cos h^{2} (x) + \sin h^{2} (x) = 1 + 2 \sin h^{2} (x) = 2 \cos h^{2} (x) - 1$
- $\sin h (2 x) = 2 \sin h (x) \cos h (x)$
- Elles peuvent être déduites des fonctions trigonométriques qui ont des arguments complexes:
  - $\sin h (x) = - i \sin (i x)$
  - $\cos h (x) = \cos (i x)$
  - $\tan h (x) = - i \tan (i x)$
  - $\csc h (x) = i \csc (i x)$
  - $\sec h (x) = \sec (i x)$
  - $\cot h (x) = i \cot (i x)$
Identités :
- $\cos h^{2} (x) - \sin h^{2} (x) = 1$
- $\tan h^{2} (x) + s e c h^{2} (x) = 1$
- $c o t h^{2} (x) - c s c h^{2} (x) = 1$
- $\cos h (x) + \sin h (x) = e^{x}$
- $\cos h (x) - \sin h (x) = e^{- x}$
- $\sin h (x) + \sin h (y) = 2 \sin h (\frac{x + y}{2}) \cos h (\frac{x - y}{2})$
- $\sin h (x) - \sin h (y) = 2 \cos h (\frac{x + y}{2}) \sin h (\frac{x - y}{2})$
- $\cos h (x) + \cos h (y) = 2 \cos h (\frac{x + y}{2}) \cos h (\frac{x - y}{2})$
- $\cos h (x) - \cos h (y) = 2 \sin h (\frac{x + y}{2}) \sin h (\frac{x - y}{2})$
- $2 \sin h (x) \cos h (y) = \sin h (x + y) + \sin h (x - y)$
- $2 \cos h (x) \sin h (y) = \sin h (x + y) - \sin h (x - y)$
- $2 \sin h (x) \sin h (y) = \cos h (x + y) - \cos h (x - y)$
- $2 \cos h (x) \cos h (y) = \cos h (x + y) + \cos h (x - y)$
- $\sin h (x \pm y) = \sin h (x) \cos h (y) \pm \cos h (x) \sin h (y)$
- $\cos h (x \pm y) = \cos h (x) \cos h (y) \pm \sin h (x) \sin h (y)$
- $\sin h^{2} (x) = \frac{- 1 + \cos h (2 x)}{2}$
- $\cos h^{2} (x) = \frac{1 + \cos h (2 x)}{2}$

Testons notre compréhension de ces identités !

Prouve que (a) $\cos h^{2} (x) - \sin h^{2} (x) = 1$ et (b) $1 - \tan h^{2} (x) = s e c h^{2} (x)$ .

Solution :

(a) On commence par les définitions du cosinus hyperbolique et du sinus hyperbolique, puis on simplifie :

$\cos h^{2} (x) - \sin h^{2} (x) = {(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})}^{2} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2} = \frac{e^{2 x} + e^{0} + e^{0} + e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} - e^{0} - e^{0} + e^{- 2 x}}{4} = \frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(b) Nous commençons par la preuve de la partie (a) :

$\cos h^{2} (x) - \sin h^{2} (x) = 1$

Maintenant, si nous divisons les deux côtés par $\cos h^{2} (x)$ nous obtenons :

$\frac{\cos h^{2} (x)}{\cos h^{2} (x)} - \frac{\sin h^{2} (x)}{\cos h^{2} (x)} = \frac{1}{\cos h^{2} (x)}$

Cela se simplifie en :

$\frac{\cos h^{2} (x)}{\cos h^{2} (x)} - \frac{\sin h^{2} (x)}{\cos h^{2} (x)} = \frac{1}{\cos h^{2} (x)} \Rightarrow 1 - t a n h^{2} (x) = s e c h^{2} (x)$

Cet exemple nous a permis de comprendre pourquoi on les appelle des fonctions hyperboliques. Plongeons un peu plus profondément dans ce sujet !

La relation entre les fonctions trigonométriques et hyperboliques

♦ Disons que nous avons un nombre réel, $t$ . Alors le point $P (\cos (t), \sin (t))$ se trouve sur le cercle unitaire :

$x^{2} + y^{2} = 1$

car

$\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) = 1$

En fait, le nombre réel $t$ peut également être interprété comme la mesure en radian de $∠ P O Q$ dans l'image ci-dessous. C'est la raison pour laquelle les fonctions trigonométriques sont parfois appelées fonctions circulaires .

Plus important encore, le nombre réel $t$ représente deux fois la surface de la partie ombrée du cercle.

Fonctions hyperboliques graphe du cercle des unités StudySmarter Le graphique d'un cercle unitaire avec l'angle POQ ombré - StudySmarter Originals

♦ De même, si $t$ est un nombre réel quelconque, alors le point $P (\cos (t), \sin (t))$ se trouve sur la moitié droite de l'hyperbole unitaire:

$x^{2} - y^{2} = 1$

car

$\cos h^{2} (t) - \sin h^{2} (t) = 1$

où $\cos h (t) \geq 1$ .

Dans ce cas, cependant, $t$ ne représente pas la mesure d'un angle, mais plutôtdeux fois l'aire de la section hyperbolique ombrée dans l'image ci-dessous.

Fonctions hyperboliques graphique de l'hyperbole unitaire StudySmarter Le graphique d'une hyperbole unitaire dont la section P est ombrée - StudySmarter Originals

Dérivées des fonctions hyperboliques

Les dérivées des fonctions hyperboliques sont également analogues aux fonctions trigonométriques. Nous dressons la liste de ces dérivées dans le tableau ci-dessous.

Dérivées des 6 principales fonctions hyperboliques.
$\frac{d}{d x} (\sin h (x)) = \cos h (x)$	$\frac{d}{d x} (c s c h (x)) = - c s c h (x) c o t h (x)$
$\frac{d}{d x} (\cos h (x)) = \sin h (x)$	$\frac{d}{d x} (s e c h (x)) = - s e c h (x) \tan h (x)$
$\frac{d}{d x} (\tan h (x)) = s e c h^{2} (x)$	$\frac{d}{d x} (c o t h (x)) = - c s c h^{2} (x)$

Attention ! Si les valeurs des dérivées sont les mêmes que pour les fonctions trigonométriques, les signes des dérivées du cosinus hyperbolique et de la sécante hyperbolique sont opposés à leurs homologues trigonométriques.

Il est également important de noter que chacune de ces règles de différenciation peut être combinée à l'aide de la règle de la chaîne. Par exemple,

$\frac{d}{d x} (\cos h (\sqrt{x})) = \sin h (\sqrt{x}) \times \frac{d}{d x} (\sqrt{x}) = \frac{\sin h (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}$

Les dérivées des fonctions hyperboliques sont plus simples à calculer en raison de l'utilisation de la fonction $e^{x}$ et de la simplicité de sa dérivation.

Par exemple ,

$\frac{d}{d x} (\sin h (x)) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = \cos h (x)$

Intégrales des fonctions hyperboliques

Tout comme les dérivées des fonctions hyperboliques sont analogues à leurs homologues trigonométriques, les intégrales des fonctions hyperboliques le sont également. Nous dressons la liste de ces intégrales dans le tableau ci-dessous.

Intégrales des 6 principales fonctions hyperboliques
$\int \sin h (x) d x = \cos h (x) + C$	$\int \csc h (x) d x = \ln \|\tan h (\frac{x}{2})\| + C$
$\int \cos h (x) d x = \sin h (x) + C$	$\int \sec h (x) d x = \tan^{- 1} \|\sin h (x)\| + C$
$\int \tan h (x) d x = \ln (\cos h (x)) + C$	$\int \cot h (x) d x = \ln \|\sin h (x)\| + C$

D'autres intégrales utiles de fonctions hyperboliques sont répertoriées ci-dessous.

Plus d'intégrales de fonctions hyperboliques
$\int \sec h^{2} (x) d x = \tan h (x) + C$	$\int \sec h (x) \tan h (x) d x = - \sec h (x) + C$
$\int \csc h^{2} (x) d x = - \cot h (x) + C$	$\int \csc h (x) \cot h (x) d x = - \csc h (x) + C$

Fonctions hyperboliques inversées

En se basant sur les graphiques des fonctions hyperboliques, on peut voir que $\sin h$ (et sa réciproque, $\csc h$ ) et $\tan h$ (et sa réciproque, $\cot h$ ) sont des fonctions biunivoques, mais $\cos h$ (et sa réciproque, $\sec h$ ) ne le sont pas.

En effet, le cosinus et la sécante sont desfonctions paires , tandis que le sinus, la cosécante, la tangente et la cotangente sont desfonctions impaires .

Comme le cosinus et la sécante sont des fonctions paires, et ne sont donc pas biunivoques, nous devons restreindre leur domaine pour trouver leurs inverses.

Ainsi, avec les domaines du cosinus et de la sécante restreints à l'intervalle $[0, \infty)$ toutes les fonctions hyperboliques sont biunivoques et nous pouvons définir les fonctions hyperboliques inverses comme suit :

$y = \sin h^{- 1} (x) \Leftrightarrow \sin h (y) = x y = \cos h^{- 1} (x) \Leftrightarrow \cos h (y) = x a n d y \geq 0 y = \tan h^{- 1} (x) \Leftrightarrow \tan h (y) = x y = \csc h^{- 1} (x) \Leftrightarrow c sc h (y) = x y = \sec h^{- 1} (x) \Leftrightarrow \sec h (y) = x a n d y \geq 0 y = \cot h^{- 1} (x) \Leftrightarrow \cot h (y) = x$

Leurs formules sont :

Les 6 principales fonctions hyperboliques inverses
Sinus hyperbolique inverse :	$\sin h^{- 1} (x) = a r c \sin h (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$	Cosécante hyperbolique inverse :	$\csc h^{- 1} (x) = a r c \csc h (x) = \ln (\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\|x\|})$
Cosinus hyperbolique inverse :	$\cos h^{- 1} (x) = a r c \cos h (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$	Secante hyperbolique inverse :	$\sec h^{- 1} (x) = a r c \sec h (x) = \ln (\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x})$
Tangente hyperbolique inverse :	$\tan h^{- 1} (x) = a r c \tan h (x) = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x})$	Cotangente hyperbolique inverse :	$\cot h^{- 1} (x) = a r c \cot h (x) = \frac{1}{2} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$

Remarque que les fonctions hyperboliques inverses impliquent toutes des fonctions logarithmiques. C'est parce que les fonctions hyperboliques impliquent des fonctions exponentielles, et que les fonctions exponentielles et logarithmiques sont des inverses l'une de l'autre !

Voyons comment l'inverse de sinh (également appelé arc sinh) est dérivé. La dérivation des autres suit un schéma similaire.

Suppose que :

$y = \sin h^{- 1} (x)$

Cela signifie que :

$x = \sin h (y)$

Par la définition du sinus hyperbolique :

$x = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$

En réarrangeant cela, on obtient :

$e^{y} - 2 x - e^{- y} = 0$

Ensuite, en multipliant les deux côtés par $e^{y}$ on obtient: :

$e^{2 y} - 2 x e^{y} - 1 = 0$

Maintenant, nous résolvons le problème comme nous le ferions pour une fonction quadratique, en pensant à $e^{y}$ comme $x$ et nous obtenons la solution :

$e^{y} = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} + 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1}$

Puisque $e^{y} > 0$ , la seule solution possible est la solution positive :

$e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$

Enfin, en prenant le logarithme naturel des deux côtés, nous obtenons :

$y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Graphiques des fonctions hyperboliques inverses

Les graphiques des fonctions hyperboliques inverses sont présentés ci-dessous.

Le graphique des fonctions hyperboliques inverses
Le graphique de $\sin h^{- 1} (x) = a r c \sin h (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$	Le graphique de $\csc h^{- 1} (x) = a r c \csc h (x) = \ln (\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\|x\|})$
Le graphique du sinus hyperbolique inverse - StudySmarter Originals	Le graphique de la cosécante hyperbolique inverse - StudySmarter Originals
Le graphique de $\cos h^{- 1} (x) = a r c \cos h (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$	Le graphique de $\sec h^{- 1} (x) = a r c \sec h (x) = \ln (\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x})$
La courbe du cosinus hyperbolique inverse - StudySmarter Originals	Le graphique de la sécante hyperbolique inverse - StudySmarter Originals
Le graphique de $\tan h^{- 1} (x) = a r c \tan h (x) = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x})$	Graphique de la tangente hyperbolique inverse $\cot h^{- 1} (x) = a r c \cot h (x) = \frac{1}{2} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$
Le graphique de la tangente hyperbolique inverse - StudySmarter Originals	La courbe de la cotangente hyperbolique inverse - StudySmarter Originals

Remarque que la cosécante hyperbolique inverse, la sécante, la tangente et la cotangente ont des asymptotes horizontales(vertes) et/ou verticales(roses). Les graphiques du cosinus hyperbolique inverse et de la sécante hyperbolique inverse ont un point de départ défini à $(1, 0)$ .

Domaine et étendue des fonctions hyperboliques inverses

Pendant que nous examinons les graphiques des fonctions hyperboliques inverses, prenons note de leurs domaines et de leurs étendues !

Fonction	Domaine	Domaine
$y = \sin h^{- 1} (x)$	$(- \infty, \infty)$	$(- \infty, \infty)$
$y = \cos h^{- 1} (x)$	$[1, \infty)$	$[0, \infty)$
$y = \tan h^{- 1} (x)$	$(- 1, 1)$	$(- \infty, \infty)$
$y = \csc h^{- 1} (x)$	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$
$y = \sec h^{- 1} (x)$	$(0, 1]$	$[0, \infty)$
$y = \cot h^{- 1} (x)$	$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Dérivées des fonctions hyperboliques inverses

Toutes les fonctions hyperboliques inverses sont différentiables car toutes les fonctions hyperboliques sont différentiables. Les dérivées des fonctions hyperboliques inverses sont énumérées ci-dessous.

Dérivées des fonctions hyperboliques inverses
$\frac{d}{d x} (\sin h^{- 1} (x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$\frac{d}{d x} (\csc h^{- 1} (x)) = - \frac{1}{\|x\| \sqrt{x^{2} + 1}}$
$\frac{d}{d x} (\cos h^{- 1} (x)) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$	$\frac{d}{d x} (\sec h^{- 1} (x)) = - \frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$
$\frac{d}{d x} (\tan h^{- 1} (x)) = \frac{1}{1 - x^{2}}$	$\frac{d}{d x} (\cot h^{- 1} (x)) = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Prouvons que $\frac{d}{d x} (\sin h^{- 1} (x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} (\sin h^{- 1} (x)) = \frac{d}{d x} (\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})) = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} \times \frac{d}{d x} (x + \sqrt{x^{2} + 1}) (c h a i n r u l e) = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} (1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1} + x}{(x + \sqrt{x^{2} + 1}) \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Fonctions hyperboliques : exemples et applications

Trouve la valeur de $x$ si $3 \sin h (x) - 2 \cos h (x) - 2 = 0$ .

Solution :

Substitue les valeurs : sinhx=ex-e-x2, coshx=ex+e-x2dans l'équation.
- $3 (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) - 2 (\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}) - 2 = 0$
Simplifie :
- $3 (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) - 2 (\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}) - 2 = 0 \Rightarrow \frac{3 (e^{x} - e^{- x})}{2} - \frac{2 (e^{x} + e^{- x})}{2} - 2 = 0 \Rightarrow 3 (e^{x} - e^{- x}) - 2 (e^{x} + e^{- x}) - 4 = 0 (m u l t i p l y b o t h s i d e s b y 2) \Rightarrow 3 e^{x} - 3 e^{- x} - 2 e^{x} - 2 e^{- x} - 4 = 0 (e x p a n d) \Rightarrow e^{x} - 5 e^{- x} - 4 = 0 (c o l l e c t l i k e t e r m s) \Rightarrow e^{x} (e^{x} - 5 e^{- x} - 4) = e^{x} \cdot 0 (m u l t i p l y b o t h s i d e s b y e^{x}) \Rightarrow {(e^{x})}^{2} - 5 - 4 e^{x} = 0 (e x p a n d) \Rightarrow {(e^{x})}^{2} - 5 - 5 e^{x} + e^{x} = 0 (r e w r i t e - 4 e^{x}) \Rightarrow e^{x} (e^{x} + 1) - 5 (e^{x} + 1) = 0 (f a c t o r b y g r o u p i n g) \Rightarrow (e^{x} - 5) (e^{x} + 1) = 0 (c o m m o n f a c t o r e^{x} + 1)$
Puisque ex≠-1la seule solution est :
- $e^{x} = 5 \Rightarrow x = \ln (5)$

Express $e^{x}$ et $e^{- x}$ en fonction de $\sin h (x)$ et $\cos h (x)$ .

Solution :

Additionne les deux équations pour coshx et sinhx.
- $\cos h (x) + \sin h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} + \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = \frac{e^{x} + e^{- x} + e^{x} - e^{- x}}{2} = \frac{2 e^{x}}{2} = e^{x}$
- Par conséquent , $\cos h (x) + \sin h (x) = e^{x} (1)$
Soustrais les deux équations pour coshx et sinhx.
- $\cos h (x) - \sin h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} - \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = \frac{e^{x} + e^{- x} - e^{x} + e^{- x}}{2} = \frac{2 e^{- x}}{2} = e^{- x}$
- Par conséquent , $\cos h (x) - \sin h (x) = e^{- x} (2)$
Si nous combinons les équations (1) et (2), nous obtenons :
- $e^{\pm x} = c o s h (x) \pm s i n h (x)$
- C'est la formule d'Euler pour la fonction hyperbolique.

Les fonctions hyperboliques ont plusieurs applications dans le monde réel, comme par exemple :

décrire la décroissance de la lumière, de la vitesse, de l'électricité ou de la radioactivité
modéliser la vitesse d'une vague qui se déplace sur une étendue d'eau
l'utilisation du cosinus hyperbolique pour décrire la forme d'un fil suspendu (appelé caténaire).

La plus célèbre d'entre elles est sans doute la description du fil de fer suspendu.

Fonctions hyperboliques - Principaux enseignements

Les fonctions hyperboliques sont essentiellement les fonctions trigonométriques de l'hyperbole.
- C'est pourquoi elles sont parfois appelées fonctions trigonométriques hyperboliques.
Il existe 6 fonctions hyperboliques :
- sinus hyperbolique - $\sin h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$
- cosinus hyperbolique - $\cos h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$
- tangente hyperbolique - $\tan h (x) = \frac{\sin h (x)}{\cos h (x)} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$
- cosécante hyperbolique - $c s c h (x) = \frac{1}{\sin h (x)}$
- sécante hyperbolique - $s e c h (x) = \frac{1}{\cos h (x)}$
- cotangente hyperbolique - $c o t h (x) = \frac{\cos h (x)}{\sin h (x)} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$
Leurs propriétés et identités sont analogues à celles des fonctions trigonométriques.

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