Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Les fonctions linéairescroissantes ont...
Les fonctions linéairesdécroissantes ont...
Les fonctions linéaireshorizontales ont...
Voici quelques exemples de fonctions non linéaires :
Quelles sont les deux façons de représenter graphiquement une fonction linéaire ?
Dans notre étude du calcul, nous aurons affaire à des fonctions linéaires qui peuvent ne pas être définies de façon uniforme dans l'ensemble de leurs domaines. Il se peut qu'elles soient définies de deux ou plusieurs façons, car leurs domaines sont divisés en deux ou plusieurs parties.Dans ce cas, on parle de...
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Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
La fonction la plus simple que l'on puisse représenter sur un plan est une fonction linéaire. Même si elles sont simples, les fonctions linéaires sont importantes ! Dans AP Calculus, nous étudions les lignes qui sont tangentes aux courbes (ou qui les touchent), et lorsque nous zoomons suffisamment sur une courbe, elle ressemble et se comporte comme une ligne !
Dans cet article, nous discutons en détail de ce qu'est une fonction linéaire, de ses caractéristiques, de son équation, de sa formule, de son graphique, de son tableau, et nous passons en revue plusieurs exemples.
Qu'est-ce qu'une fonction linéaire?
Une fonction linéaire est une fonction polynomiale dont le degré est égal à 0 ou 1. Cela signifie que chaque terme de la fonction est soit une constante, soit une constante multipliée par une seule variable dont l'exposant est soit 0, soit 1.
Lorsqu'elle est représentée graphiquement, une fonction linéaire est une ligne droite dans un plan de coordonnées.
Par définition, une ligne est droite, donc dire "ligne droite" est redondant. Nous utilisons souvent le terme "ligne droite" dans cet article, mais il suffit de dire "ligne".
Lorsque nous disons que est une fonction linéaire de
, nous voulons dire que le graphique de la fonction est une ligne droite.
La pente d'une fonction linéaire est également appelée taux de variation.
Une fonction linéaire croît à un rythme constant.
L'image ci-dessous montre :
Le graphique et le tableau des exemples de valeurs d'une fonction linéaire, StudySmarter Originals
Remarque que lorsque augmente de 0,1, la valeur de
augmente de 0,3, ce qui signifie que
augmente trois fois plus vite que
.
Par conséquent, la pente du graphique de , 3, peut être interprétée comme le taux de changement de
par rapport à
.
Une fonction linéaire peut être une ligne croissante, décroissante ou horizontale.
Les fonctions linéairescroissantes ont unepente positive .
Les fonctions linéairesdécroissantes ont unepente négative .
Les fonctions linéaireshorizontales ont une pente nulle.
L'ordonnée à l'origine d' une fonction linéaire est la valeur de la fonction lorsque la valeur x est nulle.
Cette valeur est également appelée valeur initiale dans les applications du monde réel.
Les fonctions linéaires sont un type particulier de fonction polynomiale. Toute autre fonction qui ne forme pas une ligne droite lorsqu'elle est représentée sur un plan de coordonnées est appelée fonction non linéaire.
Voici quelques exemples de fonctions non linéaires :
Lorsque nous pensons à une fonction linéaire en termes algébriques, deux choses nous viennent à l'esprit :
L'équation et
Les formules
Une fonction linéaire est une fonction algébrique, et la fonction linéaire parente est :
Qui est une ligne qui passe par l'origine.
En général, une fonction linéaire est de la forme :
Où et
sont des constantes.
Dans cette équation,
Il existe plusieurs formules qui représentent les fonctions linéaires. Toutes peuvent être utilisées pour trouver l'équation de n'importe quelle ligne (sauf les lignes verticales), et celle que nous utilisons dépend des informations disponibles.
Comme les lignes verticales ont une pente indéfinie (et échouent au test de la ligne verticale), ce ne sont pas des fonctions !
La forme standard d'une fonction linéaire est :
Où sont des constantes.
La forme de l'ordonnée à l'origine d'une fonction linéaire est la suivante :
Où :
est un point sur la ligne.
est la pente de la ligne.
Rappelle-toi : la pente peut être définie comme , où
et
sont deux points quelconques de la ligne.
La forme point-pente d'une fonction linéaire est :
Où :
est un point sur la ligne.
est un point fixe quelconque sur la ligne.
La forme de l'ordonnée à l'origine d'une fonction linéaire est :
Où :
est un point sur la ligne.
et
sont respectivement l'ordonnée à l'origine des x et l'ordonnée à l'origine des y.
Le graphique d'une fonction linéaire est assez simple : il s'agit simplement d'une ligne droite sur le plan de coordonnées. Dans l'image ci-dessous, les fonctions linéaires sont représentées sous la forme d'une intersection de pente. (La variable indépendante,
, est multipliée par un nombre qui détermine la pente (ou gradient) de cette ligne, et
détermine l'endroit où la ligne traverse l'axe des ordonnées (appelé l'ordonnée à l'origine).
Les graphiques de deux fonctions linéaires, StudySmarter Originals
De quelles informations avons-nous besoin pour représenter graphiquement une fonction linéaire ? D'après les formules ci-dessus, nous avons besoin de :
deux points sur la ligne, ou
d'un point sur la ligne et de sa pente.
Pour représenter graphiquement une fonction linéaire à l'aide de deux points, il faut soit qu'on nous donne deux points à utiliser, soit que nous introduisions les valeurs de la variable indépendante et que nous résolvions la variable dépendante pour trouver deux points.
Si l'on nous donne deux points, la représentation graphique de la fonction linéaire consiste simplement à tracer les deux points et à les relier par une ligne droite.
En revanche, si l'on nous donne la formule d'une équation linéaire et que l'on nous demande de la représenter graphiquement, il y a plus d'étapes à suivre.
Trace le graphique de la fonction :
Solution :
Pour représenter graphiquement une fonction linéaire à l'aide de sa pente et de son ordonnée à l'origine, nous traçons l'ordonnée à l'origine sur un plan de coordonnées et nous utilisons la pente pour trouver un deuxième point à tracer.
Fais le graphique de la fonction :
Solution :
Pourquoi prolongeons-nous le graphique d'une fonction linéaire au-delà des points que nous utilisons pour le tracer ? Nous le faisons parce que le domaine et l'étendue d'une fonction linéaire sont tous deux l'ensemble de tous les nombres réels !
Toute fonction linéaire peut prendre n'importe quelle valeur réelle de comme entrée et donner une valeur réelle de
comme sortie. Cela peut être confirmé en regardant le graphique d'une fonction linéaire. À mesure que l'on se déplace le long de la fonction, pour chaque valeur de
, il n'y a qu'une seule valeur correspondante de
.
Par conséquent, tant que le problème ne nous donne pas un domaine limité, le domaine d'une fonction linéaire est :
De plus, les sorties d'une fonction linéaire peuvent aller de l'infini négatif à l'infini positif, ce qui signifie que l'étendue est également l'ensemble de tous les nombres réels. Cela peut également être confirmé en regardant le graphique d'une fonction linéaire. À mesure que l'on se déplace le long de la fonction, pour chaque valeur de , il n'y a qu'une seule valeur correspondante de
.
Par conséquent, tant que le problème ne nous donne pas un intervalle limité, et , l'intervalle d'une fonction linéaire est :
Lorsque la pente d'une fonction linéaire est 0, il s'agit d'une ligne horizontale. Dans ce cas, le domaine est toujours l'ensemble des nombres réels, mais l'étendue est juste b.
Les fonctions linéaires peuvent également être représentées par un tableau de données qui contient des paires de valeurs x et y. Pour déterminer si un tableau donné de ces paires est une fonction linéaire, nous suivons trois étapes :
Calcule les différences entre les valeurs x.
Calcule les différences entre les valeurs y.
Compare le rapport pour chaque paire.
Si ce rapport est constant, le tableau représente une fonction linéaire.
Nous pouvons également vérifier si un tableau de valeurs x et y représente une fonction linéaire en déterminant si le taux de variation de par rapport à
(également connu sous le nom de pente) reste constant.
En général, un tableau représentant une fonction linéaire ressemble à ceci :
| Valeur x | valeur y |
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
| 4 | 7 |
Déterminer si une fonction est une fonction linéaire dépend de la façon dont la fonction est présentée.
Si une fonction est présentée de façon algébrique :
alors il s'agit d'une fonction linéaire si la formule ressemble à : .
Si une fonction est présentée graphiquement :
alors c'est une fonction linéaire si le graphique est une ligne droite.
Si une fonction est présentée à l'aide d'un tableau :
il s'agit d'une fonction linéaire si le rapport entre la différence des valeurs y et la différence des valeurs x est toujours constant. Voyons un exemple de cette fonction
Détermine si le tableau donné représente une fonction linéaire.
| Valeur x | valeur y |
| 3 | 15 |
| 5 | 23 |
| 7 | 31 |
| 11 | 47 |
| 13 | 55 |
Solution :
Pour déterminer si les valeurs données dans le tableau représentent une fonction linéaire, nous devons suivre les étapes suivantes :
Appliquons ces étapes au tableau donné :
Déterminer si un tableau de valeurs représente une fonction linéaire, StudySmarter Originals.
Il existe quelques types spéciaux de fonctions linéaires auxquels nous aurons probablement affaire en calcul. Ce sont :
Les fonctions linéaires représentées comme des fonctions par morceaux et
les paires de fonctions linéaires inverses.
Dans notre étude du calcul, nous aurons affaire à des fonctions linéaires qui peuvent ne pas être définies uniformément dans tout leur domaine. Il se peut qu'elles soient définies de deux façons ou plus, car leur domaine est divisé en deux parties ou plus.
Dans ce cas, on parle de fonctions linéaires par morceaux.
Trace le graphique de la fonction linéaire par morceaux suivante :
Le symbole ∈ ci-dessus signifie "est un élément de".
Solution :
Cette fonction linéaire a deux domaines finis :
En dehors de ces intervalles, la fonction linéaire n'existe pas. Par conséquent, lorsque nous tracerons le graphique de ces lignes, nous ne ferons en fait que tracer les segments de ligne définis par les points d'extrémité des domaines.
Remarque que dans le domaine de x+2, le 1 est entouré d'une parenthèse au lieu d'un crochet. Cela signifie que le 1 n'est pas inclus dans le domaine de x+2 ! Il y a donc un "trou" dans la fonction.
| valeur x | valeur y |
| -2 | |
| 1 |
| valeur x | valeur y |
| 1 | |
| 2 |
De même, nous traiterons également des fonctions linéaires inverses, qui sont l'un des types de fonctions inverses. Pour expliquer brièvement, si une fonction linéaire est représentée par :
Alors son inverse est représentée par :
telle que
Trouve l'inverse de la fonction :
Solution :
Si nous représentons graphiquement et
sur le même plan de coordonnées, nous remarquerons qu'ils sont symétriques par rapport à la ligne
. Il s'agit d'une caractéristique des fonctions inverses.
Le graphique d'une paire de fonctions linéaires inverses et leur ligne de symétrie, StudySmarter Originals
Les fonctions linéaires ont plusieurs utilisations dans le monde réel. En voici quelques-unes :
Problèmes de distance et de taux en physique
Calcul des dimensions
Déterminer le prix des choses (pense aux taxes, aux frais, aux pourboires, etc. qui sont ajoutés au prix des choses).
Disons que tu aimes jouer à des jeux vidéo.
Tu t'abonnes à un service de jeux qui facture des frais mensuels de 5,75 $, plus des frais supplémentaires de 0,35 $ pour chaque jeu téléchargé.
Nous pouvons écrire tes frais mensuels réels à l'aide de la fonction linéaire :
Où est le nombre de jeux que tu télécharges en un mois.
Écris la fonction donnée sous forme de paires ordonnées.
Solution :
Les paires ordonnées sont : et
.
Trouve la pente de la droite pour ce qui suit.
Solution :
Trouve l'équation de la fonction linéaire donnée par les deux points :
Solution :
La relation entre Fahrenheit et Celsius est linéaire. Le tableau ci-dessous présente quelques-unes de leurs valeurs équivalentes. Trouve la fonction linéaire représentant les données du tableau.
| Celsius (°C) | Fahrenheit (°F) |
| 5 | 41 |
| 10 | 50 |
| 15 | 59 |
| 20 | 68 |
Solution :
Disons que le coût de la location d'une voiture peut être représenté par la fonction linéaire :
Où est le nombre de jours de location de la voiture.
Quel est le coût de la location de la voiture pour 10 jours ?
Solution :
Ainsi, le coût de la location de la voiture pour 10 jours est de 320 $.
Pour compléter le dernier exemple, disons que nous savons combien une personne a payé pour louer une voiture. Disons que nous savons combien quelqu'un a payé pour louer une voiture, en utilisant la même fonction linéaire.
Si Jake a payé 470 $ pour louer une voiture, combien de jours l'a-t-il louée ?
Solution :
Nous savons que , où
est le nombre de jours de location de la voiture. Donc, dans ce cas, nous remplaçons
par 470 et nous résolvons
.
Détermine si la fonction est une fonction linéaire.
Solution :
Nous devons isoler la variable dépendante pour nous aider à visualiser la fonction. Ensuite, nous pouvons vérifier si elle est linéaire en la représentant graphiquement.
Le graphique d'une ligne, StudySmarter OriginalsDétermine si la fonction est une fonction linéaire.
Solution :
Le graphique d'une fonction non linéaire, StudySmarter OriginalsAt StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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