Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
Get started for freeLes fonctions trigonométriques inverses font les __ des fonctions trigonométriques normales.
Bien que cela puisse sembler être le cas, l'exposant -1 est __.
Lorsque l'on utilise le cercle unitaire pour évaluer les fonctions trigonométriques inverses, il faut garder à l'esprit plusieurs choses :
Un fait surprenant à propos des dérivées des fonctions trigonométriques inverses est qu'il s'agit de fonctions __ et non de fonctions __.
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Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Nous savons que \(\sin (30^o)=\dfrac{1}{2}\). Supposons maintenant que l'on nous demande de trouver un angle, \(\theta\), dont le sinus est \(\dfrac{1}{2}\). Nous ne pouvons pas résoudre ce problème avec les fonctions trigonométriques normales, nous avons besoin des fonctions trigonométriques inverses ! Qu'est-ce que c'est ?
Dans cet article, nous verrons ce que sont les fonctions trigonométriquesa> inverses et nous discuterons en détail de leurs formules, de leurs graphiques et de leurs exemples. Mais avant de poursuivre, si tu as besoin de revoir les fonctionsa> inverses, reporte-toi à notre article sur les fonctionsa> inverses.
D'après notre article sur les fonctions inverses, nous nous souvenons que l'inverse d'une fonction peut être trouvé algébriquement en intervertissant les valeurs x et y, puis en résolvant pour y. Nous nous souvenons également que nous pouvons trouver le graphique de l'inverse d'une fonction en réfléchissant le graphique de la fonction originale sur la droite \(y=x\).
Nous connaissons déjà les opérations inverses. Par exemple, l'addition et la soustraction sont des inverses, et la multiplication et la division sont des inverses.
La clé est la suivante : une opération (comme l'addition) fait le contraire de son inverse (comme la soustraction).
En trigonométrie, l'idée est la même. Les fonctions trigonométriques inverses font le contraire des fonctions trigonométriques normales. Plus précisément ,
Le sinus inverse, \(sin^{-1}\) ou \(arcsin\), fait le contraire de la fonction sinus.
Le cosinus inverse, \(cos^{-1}\) ou \(arccos\) , fait le contraire de la fonction cosinus.
La tangente inverse, \(tan^{-1}\) ou \(arctan\), fait le contraire de la fonction tangente.
La cotangente inverse, \(cot^{-1}\) ou \(arccot\), fait le contraire de la fonction cotangente.
La sécante inverse, \(sec^{-1}\) ou \(arcsec\), fait le contraire de la fonction sécante.
La cosécante inverse, \(csc^{-1}\) ou \(arccsc\), fait le contraire de la fonction cosécante.
Les fonctions trigonométriques inverses sont également appelées fonctions d'arc car, lorsqu'on leur donne une valeur, elles renvoient la longueur de l'arc nécessaire pour obtenir cette valeur. C'est pourquoi on voit parfois les fonctions trigonométriques inverses écrites comme \(arcsin, arccos, arctan\), etc.
À l'aide du triangle droit ci-dessous, définissons les fonctions trigonométriques inverses !
Fig. 1. Un triangle droit dont les côtés sont étiquetés.
Les fonctions trigonométriques inverses sont des opérations inverses aux fonctions trigonométriques. En d'autres termes, elles font le contraire de ce que font les fonctions trigonométriques. En général, si nous connaissons un rapport trigonométrique mais pas l'angle, nous pouvons utiliser une fonction trigonométrique inverse pour trouver l'angle. Cela nous amène à les définir de la façon suivante :
| Fonctions trigonométriques - à partir d'un angle, renvoie un rapport | Fonctions trigonométriques inverses - à partir d'un rapport, on obtient un angle |
| \[\sin(\theta)=\dfrac{opposite}{hypotenuse}\] | \[(\theta)=sin^{-1} \dfrac{opposite}{hypotenuse}\] |
| \[\cos(\theta)=\dfrac{adjacent}{hypotenuse}\] | \[(\theta)=cos^{-1}\dfrac{adjacent}{hypotenuse}\] |
| \[\tan(\theta)=\dfrac{opposé}{adjacent}\] | \[(\theta)=\tan^{-1}\dfrac{opposite}{adjacent}\] |
| \[\cot(\theta)=\dfrac{adjacent}{opposé}\] | \[(\theta)=\cot^{-1}\dfrac{adjacent}{opposite}\] |
| \[\sec(\theta)=\dfrac{hypoténuse}{adjacent}\] | \[(\theta)=\sec^{-1}\dfrac{hypotenuse}{adjacent}\] |
| \[\csc(\theta)=\dfrac{hypoténuse}{opposé}\] | \[(\theta)=csc^{-1}\dfrac{hypotenuse}{opposite}\] |
Comme tu l'as peut-être remarqué, la notation utilisée pour définir les fonctions trigonométriques inverses donne l'impression qu'elles ont des exposants. Bien que cela puisse sembler être le cas, l'exposant \(-1\) n'est PAS un exposant! En d'autres termes, \(\sin^{-1}(x)\) n'est pas la même chose que \(\dfrac{1}{\sin(x)}\) ! L'exposant \(-1\) signifie simplement "inverse".
En perspective, si nous élevons un nombre ou une variable à la puissance \(-1\), cela signifie que nous demandons son inverse multiplicatif, ou sa réciproque.
Alors, pourquoi les fonctions trigonométriques inverses sont-elles différentes ?
Par conséquent :
Ce schéma se répète pour n'importe quelle fonction !
Les principales formules trigonométriques inverses sont énumérées dans le tableau ci-dessous.
| Les 6 principales formules de trigonométrie inverse | |
| Sinus inverse, ou arc sinus : \(y=sin^{-1}(x)=arcsin(x)\) | Cosécante inverse, ou arc cosécant : \(y=csc^{-1}(x)=arccsc(x)\) |
| Cosinus inverse, ou arc cosinus : \(y=cos^{-1}(x)=arccos(x)\) | Sécante inverse, ou arc sécante : \N(y=sec^{-1}(x)=arccos(x)) \(y=sec^{-1}(x)=arcsec(x)\) |
| Tangente inverse, ou arc tangent : \(y=tan^{-1}(x)=arctan(x)\) | Cotangente inverse, ou arc cotangente : \(y=cot^{-1}(x)=arcot(x)\) |
Explorons-les à l'aide d'un exemple !
Considère la fonction trigonométrique inverse : \(y=sin^{-1}(x)\)
En se basant sur la définition des fonctions trigonométriques inverses, cela implique que : \(sin(y)=x\).
En gardant cela à l'esprit, disons que nous voulons trouver l'angle θ dans le triangle droit ci-dessous. Comment pouvons-nous procéder ?
Fig. 2.Un triangle droit dont les côtés sont numérotés.
Solution :
À quoi ressemblent les fonctions trigonométriques inverses ? Jetons un coup d'œil à leurs graphiques.
Mais avant de pouvoir représenter graphiquement les fonctions trigonométriques inverses, nous devons parler de leurs domaines. Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, et donc pas biunivoques, elles n'ont pas de fonctions inverses. Alors, comment pouvons-nous avoir des fonctions trigonométriques inverses ?
Pour trouver les inverses des fonctions trigonométriques, nous devons restreindre ou spécifier leurs domaines de façon à ce qu'elles soient biunivoques ! Cela nous permet de définir un inverse unique du sinus, du cosinus, de la tangente, de la cosécante, de la sécante ou de la cotangente.
En général, nous utilisons la convention suivante pour évaluer les fonctions trigonométriques inverses :
| Fonction trigonométrique inverse | Formule | Domaine |
| Sinus inverse / arc sinus | \(y=sin^{-1}(x)=arcsin(x)\) | \([-1,1]\) |
| Cosinus inverse / arc cosinus | \(y=cos^{-1}(x)=arccos(x)\) | \([-1,1]\) |
| Tangente inverse / arc tangente | \(y=tan^{-1}(x)=arctan(x)\) | \N- (-\Ninfty, \Ninfty\N) |
| Cotangente inverse / arc cotangente | \(y=cot^{-1}(x)=arccot(x)\) | \N- (-\Ninfty, infty\N) |
| Secante inverse / arc sécante | \(y=sec^{-1}(x)=arcsec(x)\) | \N- (-infty, -1] \Ncup [1, \Ninfty)\N- (-infty, -1] \Ncup [1, \Ninfty)\N) |
| Cosécante inverse / arc cosécant | \(y=csc^{-1}(x)=arccsc(x)\) | \N((-\infty, -1] \Ncup [1, \infty)\N) |
Il s'agit simplement du domaine conventionnel, ou standard, que nous choisissons lorsque nous restreignons les domaines. N'oublie pas que les fonctions trigonométriques étant périodiques, il existe un nombre infini d'intervalles sur lesquels elles sont biunivoques !
Pour représenter graphiquement les fonctions trigonométriques inverses, nous utilisons les graphiques des fonctions trigonométriques restreintes aux domaines spécifiés dans le tableau ci-dessus et nous reflétons ces graphiques sur la droite \(y=x\), comme nous l'avons fait pour trouver les fonctions inverses.
Tu trouveras ci-dessous les 6 principales fonctions trigonométriques inverses ainsi que leurs graphiques, leur domaine, leur étendue (également appelée intervalle principal ) et leurs éventuelles asymptotes.
| Le graphique de \N(y=sin^{-1}(x)=arcsin(x)\N) | Le graphique de \N(y=cos^{-1}(x)=arccos(x)\N) | ||
|
| ||
| Domaine : \([-1,1]\) | Range : \([-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]\) | Domain : \([-1,1]\) | Range : \N-[0,\pi]\N-[0,\pi]\N-[0,\pi]\N]. |
| Le graphique de \N(y=sec^{-1}(x)=arcsec(x)\N) | Le graphique de \N(y=csc^{-1}(x)=arccsc(x)\N) | ||
|
| ||
| Domaine : \N((-\infty, -1] \Ncup [1, \infty)\N) | Range : \N((0, \dfrac{\pi}{2})] \Ncup [\dfrac{\pi}{2}, \pi)\N) | Domaine : \N((-\infty, -1) \Ncup [1, \infty)\N) | Range : \(- \dfrac{\pi}{2},0] \cup [0,\dfrac{\pi}{2})\N) |
| Asymptote : \N(y=\dfrac{\pi}{2}\N) | Asymptote : \(y=0\) | ||
| Le graphique de \N(y=tan^{-1}(x)=arctan(x)\N) | Le graphique de \N(y=cot^{-1}(x)=arccot(x)\N) | ||
|
| ||
| Domaine : \(-\infty, \infty\) | Range : \([-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]\) | Domain : \N- (-\Ninfty, \Ninfty\N) | Range : \N(0, \Npi\N) |
| Asymptotes : \(y=-\dfrac{\pi}{2}, y=\dfrac{\pi}{2}\) | Asymptotes : \N(y=0, y=\pi\N) | ||
Lorsque nous traitons des fonctions trigonométriques inverses, le cercle unitaire reste un outil très utile. Alors que nous pensons généralement à utiliser le cercle unitaire pour résoudre les fonctions trigonométriques, ce même cercle unitaire peut être utilisé pour résoudre, ou évaluer, les fonctions trigonométriques inverses.
Avant d'aborder le cercle unitaire lui-même, jetons un coup d'œil à un autre outil plus simple. Les diagrammes ci-dessous peuvent être utilisés pour nous aider à nous rappeler de quels quadrants proviennent les fonctions trigonométriques inverses sur le cercle unitaire.
Fig. 3. Un diagramme qui montre dans quels quadrants le cosinus, la sécante et la cotangente (et donc leurs inverses) renvoient des valeurs.
Tout comme les fonctions cosinus, sécante et cotangente renvoient des valeurs dans les quadrants I et II (entre 0 et 2π), leurs inverses, le cosinus d'arc, la sécante d'arc et la cotangente d'arc, le font également.
Fig. 4. Un diagramme qui montre dans quels quadrants le sinus, la cosécante et la tangente (et donc leurs réciproques) renvoient des valeurs.
Tout comme les fonctions sinus, cosécante et tangente renvoient des valeurs dans les quadrants I et IV (entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{\pi}{2}\)), leurs inverses, l'arc sinus, l'arc cosécante et l'arc tangente, le font également.
Note que les valeurs du quadrant IV seront négatives.
Ces diagrammes supposent les domaines restreints conventionnels des fonctions inverses.
Il existe une distinction entre la recherche des fonctions trigonométriques inverses et la résolution des fonctions trigonométriques.
Disons que nous voulons trouver \(\sin^{-1}\à gauche( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \à droite)\).
Maintenant, disons que nous voulons résoudre \(\sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Nous pouvons nous rappeler que nous pouvons utiliser le cercle des unités pour résoudre les fonctions trigonométriques des angles spéciaux: les angles qui ont des valeurs trigonométriques que nous évaluons exactement.
Fig. 5. Le cercle des unités.
Lorsque tu utilises le cercle des unités pour évaluer les fonctions trigonométriques inverses, il y a plusieurs choses que tu dois garder à l'esprit :
En calcul, on nous demandera de trouver les dérivées et les intégrales des fonctions trigonométriques inverses. Dans cet article, nous présentons un bref aperçu de ces sujets.
Pour une analyse plus approfondie, tu peux te référer à nos articles sur les Dérivées des fonctions trigonométriques inverses et les Intégrales résultant de fonctions trigonométriques inverses.
Un fait surprenant concernant les dérivées des fonctions trigonométriques inverses est qu'il s'agit de fonctions algébriques, et non de fonctions trigonométriques. Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont définies comme suit :
\[\dfrac{d}{dx}\sin^{-1}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x)^2}}\]
\[\dfrac{d}{dx}\cos^{-1}(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1+(x)^2}}\]
\[\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}(x)=\dfrac{1}{1+(x)^2}\]
\[\dfrac{d}{dx}\cot^{-1}(x)=\dfrac{-1}{1+(x)^2}\]
\[\dfrac{d}{dx}\sec^{-1}(x)=\dfrac{1}{|x|\sqrt{(x)^2-1}}\]
\[\dfrac{d}{dx}\csc^{-1}(x)=\dfrac{-1}{|x|\sqrt{(x)^2-1}}\]
Précédemment, nous avons développé les formules pour les dérivées des fonctions trigonométriques inverses. Ce sont ces formules que nous utilisons pour développer les intégrales résultant des fonctions trigonométriques inverses. Ces intégrales sont définies comme suit :
\[\rint \dfrac{du}{\sqrt{a^2-u^2}=\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{a} \right)+C\r]
\[\N-int \Ndfrac{du}{\Nsqrt{a^2+u^2}}=\Ndfrac{1}{a}\Ntan^{-1}\Nà gauche( \Ndfrac{u}{a} \Ndroite)+C\N]
\[\int \dfrac{du}{u \sqrt{a^2+u^2}}=\dfrac{1}{a}\sec^{-1}\à gauche( \dfrac{u}{a} \rt{a^2+u^2})+C\]
Il y a 6 fonctions trigonométriques inverses, alors pourquoi n'y a-t-il que trois intégrales ? La raison en est que les trois autres intégrales ne sont que des versions négatives de ces trois fonctions. En d'autres termes, la seule différence entre elles est que l'intégrande est positive ou négative.
Outre les intégrales qui résultent des fonctions trigonométriques inverses, il existe des intégrales qui impliquent les fonctions trigonométriques inverses. Ces intégrales sont :
Les intégrales trigonométriques inverses qui impliquent l'arc sinus.
\(\int sin^{-1} u du = sin^{-1}(u)+\sqrt{1-u^2}+C\)
\(\int u \sin^{-1}u du=\dfrac{2u^2-1}{4} \sin^{-1}(u)+\dfrac{u\sqrt{1-u^2}}{4}+C\)
\\N-(\Nint u^n sin^{-1}u du \dfrac{1}{n+1}) \left[ u^{n+1} \sin^{-1}(u) - \int \dfrac{u^{n+1}du}{\sqrt{1-u^2}}, n \neq -1 \right]\N)
Les intégrales trigonométriques inverses qui impliquent l'arc cosinus.
\N(\Nint cos^{-1}udu =cos^{-1}(u)-\sqrt{1-u^2}+C\N)
\(\int cos^{-1} u du = \dfrac{1}{n+1}\left[ u^{n+1} \cos^{-1} (u)+ \int \dfrac{u^{n+1}du}{\sqrt{1-u^2}} \right], n \neq -1\)
Les intégrales trigonométriques inverses qui impliquent l'arc tangent.
\(\int tan^{-1}udu=tan^{-1}(u)-\dfrac{1}{2}ln(1+u^2)+C\)
\(\int u \tan^{-1} u du = \dfrac{u^2-1}{2}\tan^{-1}(u)+C\)
\(\int u^n tan^{-1} udu = \dfrac{1}{n+1}\left[ \dfrac{u^{n+1} du}{1+u^2}\right], n \neq -1\)
Lorsque nous résolvons, ou évaluons, des fonctions trigonométriques inverses, la réponse que nous obtenons est un angle.
Évalue \(\cos^{-1} \à gauche( \dfrac{1}{2}\à droite) \).
Solution:
Pour évaluer cette fonction trigonométrique inverse, nous devons trouver un angle \(\theta\) tel que \(\cos(\theta)=\dfrac{1}{2}\).
Qu'en est-il de la composition d'une fonction trigonométrique et de son inverse ?
Considérons les deux expressions :
\[\sin\left( sin^{-1}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)\].
et
\[\sin^{-1}(\sin(\pi))\]
Solutions:
Réfléchissons à la réponse de la deuxième expression de l'exemple ci-dessus.
L'inverse d'une fonction n'est-il pas censé annuler la fonction originale ? Pourquoi \( \sin^{-1} ( \sin (\pi) )= \pi \) ?
Rappelons la définition des fonctions inverses: une fonction \N(f\N) et son inverse \N(f^{-1}\N) satisfont les conditions \N( f (f^{-1}(y))=y\N)pour tout y dans le domaine de \N( f^{-1}\N) , et \N(f^{-1}(f(x))=x\N) pour tout \N(x\N) dans le domaine de \N(f\N).
Alors, que s'est-il passé dans cet exemple ?
Qu'en est-il alors de \(\sin(\sin^{-1}(y))\) ? Cette expression pose-t-elle le même problème ?
Cette expression ne pose pas le même problème car le domaine de \(\sin^{-1}\) est l'intervalle \([-1, 1]\).
Ainsi, \(\sin(\sin^{-1}(y))=y\) si \(-1 \leq y \leq 1\). Cette expression n'est pas définie pour d'autres valeurs de \(y\).
Résumons ces résultats :
| Les conditions pour que les fonctions trigonométriques et leurs inverses s'annulent | |
| \(\sin(\sin^{-1}(y)=y)\) si \(-1 \leq y \leq 1\) | \N- (\Nsin^{-1}(\Nsin(x))=x\N) si \N(-dfrac{\pi}{2}\leq x \N \Ndfrac{\pi}{2} \N)\N- (-dfrac{\pi}{2}\N) |
| \N- (\Ncos(\Ncos^{-1}(y)=y)\N) si \N(-1 \Ny \N1) | \N- (\Ncos^{-1}(\Ncos(x))=x) si \N( 0 \Nx \Npour \Npour \Npour \Npi \N) |
| \N- (\Ntan(\Ntan^{-1}(y)=y)\N- si \N- (-\Ninfty \N- y \N- \N- \Nfty \N) | \N- (\Ntan^{-1}(\Ntan(x))=x\N) si \N- (-dfrac{\pi}{2}) \N- (\N-) x \N- (\N-) \N- (\N-) \N- (\N-) \N- (\N-) \N- (\N-) |
| \N- \N(\Ncot^{-1}(y)=y)\N) si \N(-\Ninfty \Nleq y \Nleq \Nfty \N) | \(\cot^{-1}(\cot(x))=x) si \( 0 < x < \pi \) |
| \N- (\Nsec(\Nsec^{-1}(y)=y)\N) si \N( -\Ninfty, -1] \Nleq \Ncup [1, \Ninfty)\N) | \N- (\Nsec^{-1}(\Nsec(x))=x) si \N- (0 < x < \Ndfrac{\pi}{2} \Ncup \Ndfrac{\pi}{2} < x < \Npi) |
| \c(\c^{-1}(y)=y)\c) if \c( -\infty, -1] \leq \cup [1, \infty)\cup) | \(\csc^{-1}(\csc(x))=x) si \( -\dfrac{\pi}{2} < x < \-0 \cup 0 < x < \dfrac{\pi}{2} \) |
Évalue les expressions suivantes :
Solutions:
Sur la plupart des calculatrices graphiques, tu peux évaluer directement les fonctions trigonométriques inverses pour le sinus inverse, le cosinus inverse et la tangente inverse.
Lorsque ce n'est pas explicitement spécifié, nous restreignons les fonctions trigonométriques inverses aux bornes standard spécifiées dans la section "fonctions trigonométriques inverses dans un tableau". Nous avons vu cette restriction en place dans le premier exemple.
Cependant, il peut y avoir des cas où nous voulons trouver un angle correspondant à une valeur trigonométrique évaluée dans une autre borne spécifiée. Dans ce cas, il est utile de se souvenir des quadrants trigonométriques :
Fig. 6. Les quadrants trigonométriques et les endroits où les fonctions trigonométriques (et donc trigonométriques inverses) sont positives.
Étant donné ce qui suit, trouve \(theta\).
\[\sin(\theta)=-0.625\]
où
\N- 90^o< \Ntheta < 270^o\N]
Solution:
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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