Sauter à un chapitre clé
Dans cet article, nous verrons ce que sont les fonctions trigonométriquesa> inverses et nous discuterons en détail de leurs formules, de leurs graphiques et de leurs exemples. Mais avant de poursuivre, si tu as besoin de revoir les fonctionsa> inverses, reporte-toi à notre article sur les fonctionsa> inverses.
- Qu'est-ce qu'une fonction trigonométrique inverse ?
- Fonctions trigonométriques inverses : formules
- Graphiques des fonctions trigonométriques inverses
- Fonctions trigonométriques inverses : cercle unitaire
- Le calcul des fonctions trigonométriques inverses
- Résolution des fonctions trigonométriques inverses : exemples
Qu'est-ce qu'une fonction trigonométrique inverse ?
D'après notre article sur les fonctions inverses, nous nous souvenons que l'inverse d'une fonction peut être trouvé algébriquement en intervertissant les valeurs x et y, puis en résolvant pour y. Nous nous souvenons également que nous pouvons trouver le graphique de l'inverse d'une fonction en réfléchissant le graphique de la fonction originale sur la droite \(y=x\).
Nous connaissons déjà les opérations inverses. Par exemple, l'addition et la soustraction sont des inverses, et la multiplication et la division sont des inverses.
La clé est la suivante : une opération (comme l'addition) fait le contraire de son inverse (comme la soustraction).
En trigonométrie, l'idée est la même. Les fonctions trigonométriques inverses font le contraire des fonctions trigonométriques normales. Plus précisément ,
Le sinus inverse, \(sin^{-1}\) ou \(arcsin\), fait le contraire de la fonction sinus.
Le cosinus inverse, \(cos^{-1}\) ou \(arccos\) , fait le contraire de la fonction cosinus.
La tangente inverse, \(tan^{-1}\) ou \(arctan\), fait le contraire de la fonction tangente.
La cotangente inverse, \(cot^{-1}\) ou \(arccot\), fait le contraire de la fonction cotangente.
La sécante inverse, \(sec^{-1}\) ou \(arcsec\), fait le contraire de la fonction sécante.
La cosécante inverse, \(csc^{-1}\) ou \(arccsc\), fait le contraire de la fonction cosécante.
Les fonctions trigonométriques inverses sont également appelées fonctions d'arc car, lorsqu'on leur donne une valeur, elles renvoient la longueur de l'arc nécessaire pour obtenir cette valeur. C'est pourquoi on voit parfois les fonctions trigonométriques inverses écrites comme \(arcsin, arccos, arctan\), etc.
À l'aide du triangle droit ci-dessous, définissons les fonctions trigonométriques inverses !
Fig. 1. Un triangle droit dont les côtés sont étiquetés.
Les fonctions trigonométriques inverses sont des opérations inverses aux fonctions trigonométriques. En d'autres termes, elles font le contraire de ce que font les fonctions trigonométriques. En général, si nous connaissons un rapport trigonométrique mais pas l'angle, nous pouvons utiliser une fonction trigonométrique inverse pour trouver l'angle. Cela nous amène à les définir de la façon suivante :
| Fonctions trigonométriques - à partir d'un angle, renvoie un rapport | Fonctions trigonométriques inverses - à partir d'un rapport, on obtient un angle |
| \[\sin(\theta)=\dfrac{opposite}{hypotenuse}\] | \[(\theta)=sin^{-1} \dfrac{opposite}{hypotenuse}\] |
| \[\cos(\theta)=\dfrac{adjacent}{hypotenuse}\] | \[(\theta)=cos^{-1}\dfrac{adjacent}{hypotenuse}\] |
| \[\tan(\theta)=\dfrac{opposé}{adjacent}\] | \[(\theta)=\tan^{-1}\dfrac{opposite}{adjacent}\] |
| \[\cot(\theta)=\dfrac{adjacent}{opposé}\] | \[(\theta)=\cot^{-1}\dfrac{adjacent}{opposite}\] |
| \[\sec(\theta)=\dfrac{hypoténuse}{adjacent}\] | \[(\theta)=\sec^{-1}\dfrac{hypotenuse}{adjacent}\] |
| \[\csc(\theta)=\dfrac{hypoténuse}{opposé}\] | \[(\theta)=csc^{-1}\dfrac{hypotenuse}{opposite}\] |
Note sur la notation
Comme tu l'as peut-être remarqué, la notation utilisée pour définir les fonctions trigonométriques inverses donne l'impression qu'elles ont des exposants. Bien que cela puisse sembler être le cas, l'exposant \(-1\) n'est PAS un exposant! En d'autres termes, \(\sin^{-1}(x)\) n'est pas la même chose que \(\dfrac{1}{\sin(x)}\) ! L'exposant \(-1\) signifie simplement "inverse".
En perspective, si nous élevons un nombre ou une variable à la puissance \(-1\), cela signifie que nous demandons son inverse multiplicatif, ou sa réciproque.
- Par exemple, \(5^{-1}=\dfrac{1}{5}\).
- Et en général, si la variable est un nombre réel non nul, alors \(c^{-1}=\dfrac{1}{c}\).
Alors, pourquoi les fonctions trigonométriques inverses sont-elles différentes ?
- Parce que les fonctions trigonométriques inverses sont des fonctions, pas des quantités !
- En général, lorsque nous voyons un exposant \(-1\) après le nom d'une fonction, cela signifie qu'il s'agit d'une fonction inverse, et non d'une réciproque!
Par conséquent :
- Si nous avons une fonction appelée \(f\), alors son inverse sera appelée \(f^{-1}\) .
- Si nous avons une fonction appelée \N(f(x)\N), alors son inverse sera appelée \N(f^{-1}(x)\N).
Ce schéma se répète pour n'importe quelle fonction !
Fonctions trigonométriques inverses : Formules
Les principales formules trigonométriques inverses sont énumérées dans le tableau ci-dessous.
| Les 6 principales formules de trigonométrie inverse | |
| Sinus inverse, ou arc sinus : \(y=sin^{-1}(x)=arcsin(x)\) | Cosécante inverse, ou arc cosécant : \(y=csc^{-1}(x)=arccsc(x)\) |
| Cosinus inverse, ou arc cosinus : \(y=cos^{-1}(x)=arccos(x)\) | Sécante inverse, ou arc sécante : \N(y=sec^{-1}(x)=arccos(x)) \(y=sec^{-1}(x)=arcsec(x)\) |
| Tangente inverse, ou arc tangent : \(y=tan^{-1}(x)=arctan(x)\) | Cotangente inverse, ou arc cotangente : \(y=cot^{-1}(x)=arcot(x)\) |
Explorons-les à l'aide d'un exemple !
Considère la fonction trigonométrique inverse : \(y=sin^{-1}(x)\)
En se basant sur la définition des fonctions trigonométriques inverses, cela implique que : \(sin(y)=x\).
En gardant cela à l'esprit, disons que nous voulons trouver l'angle θ dans le triangle droit ci-dessous. Comment pouvons-nous procéder ?
Fig. 2.Un triangle droit dont les côtés sont numérotés.
Solution :
- Essaie d'utiliser les fonctions trigonométriques :
- Nous savons que : \(\sin(\theta)=\dfrac{opposé}{hypoténuse}=\dfrac{1}{2}\), mais cela ne nous aide pas à trouver l'angle.
- Qu'est-ce qu'on peut essayer ensuite ?
- Utilise les fonctions trigonométriques inverses :
- En se rappelant la définition des fonctions trigonométriques inverses, si \(\sin(\theta)=\dfrac{1}{2}\), alors \(\theta=\sin^{-1}\à gauche(\dfrac{1}{2}\à droite)\).
- En nous basant sur nos connaissances des fonctions trigonométriques, nous savons que \(\sin(30^o)=\dfrac{1}{2}\).
- Par conséquent :
- \(\theta=\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\)
- \N(\Ntheta=30^o\N)
Graphiques des fonctions trigonométriques inverses
À quoi ressemblent les fonctions trigonométriques inverses ? Jetons un coup d'œil à leurs graphiques.
Domaine et étendue des fonctions trigonométriques inverses
Mais avant de pouvoir représenter graphiquement les fonctions trigonométriques inverses, nous devons parler de leurs domaines. Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, et donc pas biunivoques, elles n'ont pas de fonctions inverses. Alors, comment pouvons-nous avoir des fonctions trigonométriques inverses ?
Pour trouver les inverses des fonctions trigonométriques, nous devons restreindre ou spécifier leurs domaines de façon à ce qu'elles soient biunivoques ! Cela nous permet de définir un inverse unique du sinus, du cosinus, de la tangente, de la cosécante, de la sécante ou de la cotangente.
En général, nous utilisons la convention suivante pour évaluer les fonctions trigonométriques inverses :
| Fonction trigonométrique inverse | Formule | Domaine |
| Sinus inverse / arc sinus | \(y=sin^{-1}(x)=arcsin(x)\) | \([-1,1]\) |
| Cosinus inverse / arc cosinus | \(y=cos^{-1}(x)=arccos(x)\) | \([-1,1]\) |
| Tangente inverse / arc tangente | \(y=tan^{-1}(x)=arctan(x)\) | \N- (-\Ninfty, \Ninfty\N) |
| Cotangente inverse / arc cotangente | \(y=cot^{-1}(x)=arccot(x)\) | \N- (-\Ninfty, infty\N) |
| Secante inverse / arc sécante | \(y=sec^{-1}(x)=arcsec(x)\) | \N- (-infty, -1] \Ncup [1, \Ninfty)\N- (-infty, -1] \Ncup [1, \Ninfty)\N) |
| Cosécante inverse / arc cosécant | \(y=csc^{-1}(x)=arccsc(x)\) | \N((-\infty, -1] \Ncup [1, \infty)\N) |
Il s'agit simplement du domaine conventionnel, ou standard, que nous choisissons lorsque nous restreignons les domaines. N'oublie pas que les fonctions trigonométriques étant périodiques, il existe un nombre infini d'intervalles sur lesquels elles sont biunivoques !
Pour représenter graphiquement les fonctions trigonométriques inverses, nous utilisons les graphiques des fonctions trigonométriques restreintes aux domaines spécifiés dans le tableau ci-dessus et nous reflétons ces graphiques sur la droite \(y=x\), comme nous l'avons fait pour trouver les fonctions inverses.
Tu trouveras ci-dessous les 6 principales fonctions trigonométriques inverses ainsi que leurs graphiques, leur domaine, leur étendue (également appelée intervalle principal ) et leurs éventuelles asymptotes.
| Le graphique de \N(y=sin^{-1}(x)=arcsin(x)\N) | Le graphique de \N(y=cos^{-1}(x)=arccos(x)\N) | ||
|
| ||
| Domaine : \([-1,1]\) | Range : \([-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]\) | Domain : \([-1,1]\) | Range : \N-[0,\pi]\N-[0,\pi]\N-[0,\pi]\N]. |
| Le graphique de \N(y=sec^{-1}(x)=arcsec(x)\N) | Le graphique de \N(y=csc^{-1}(x)=arccsc(x)\N) | ||
|
| ||
| Domaine : \N((-\infty, -1] \Ncup [1, \infty)\N) | Range : \N((0, \dfrac{\pi}{2})] \Ncup [\dfrac{\pi}{2}, \pi)\N) | Domaine : \N((-\infty, -1) \Ncup [1, \infty)\N) | Range : \(- \dfrac{\pi}{2},0] \cup [0,\dfrac{\pi}{2})\N) |
| Asymptote : \N(y=\dfrac{\pi}{2}\N) | Asymptote : \(y=0\) | ||
| Le graphique de \N(y=tan^{-1}(x)=arctan(x)\N) | Le graphique de \N(y=cot^{-1}(x)=arccot(x)\N) | ||
|
| ||
| Domaine : \(-\infty, \infty\) | Range : \([-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]\) | Domain : \N- (-\Ninfty, \Ninfty\N) | Range : \N(0, \Npi\N) |
| Asymptotes : \(y=-\dfrac{\pi}{2}, y=\dfrac{\pi}{2}\) | Asymptotes : \N(y=0, y=\pi\N) | ||
Fonctions trigonométriques inverses : Cercle unitaire
Lorsque nous traitons des fonctions trigonométriques inverses, le cercle unitaire reste un outil très utile. Alors que nous pensons généralement à utiliser le cercle unitaire pour résoudre les fonctions trigonométriques, ce même cercle unitaire peut être utilisé pour résoudre, ou évaluer, les fonctions trigonométriques inverses.
Avant d'aborder le cercle unitaire lui-même, jetons un coup d'œil à un autre outil plus simple. Les diagrammes ci-dessous peuvent être utilisés pour nous aider à nous rappeler de quels quadrants proviennent les fonctions trigonométriques inverses sur le cercle unitaire.
Fig. 3. Un diagramme qui montre dans quels quadrants le cosinus, la sécante et la cotangente (et donc leurs inverses) renvoient des valeurs.
Tout comme les fonctions cosinus, sécante et cotangente renvoient des valeurs dans les quadrants I et II (entre 0 et 2π), leurs inverses, le cosinus d'arc, la sécante d'arc et la cotangente d'arc, le font également.
Fig. 4. Un diagramme qui montre dans quels quadrants le sinus, la cosécante et la tangente (et donc leurs réciproques) renvoient des valeurs.
Tout comme les fonctions sinus, cosécante et tangente renvoient des valeurs dans les quadrants I et IV (entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{\pi}{2}\)), leurs inverses, l'arc sinus, l'arc cosécante et l'arc tangente, le font également. Note que les valeurs du quadrant IV seront négatives.
Ces diagrammes supposent les domaines restreints conventionnels des fonctions inverses.
Il existe une distinction entre la recherche des fonctions trigonométriques inverses et la résolution des fonctions trigonométriques.
Disons que nous voulons trouver \(\sin^{-1}\à gauche( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \à droite)\).
- En raison de la restriction du domaine du sinus inverse, nous voulons seulement un résultat qui se trouve dans le quadrant I ou le quadrant IV du cercle unitaire.
- La seule réponse est donc \(\dfrac{\pi}{4}\).
Maintenant, disons que nous voulons résoudre \(\sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
- Il n'y a pas de restriction de domaine ici.
- Par conséquent, sur le seul intervalle de \((0, 2\pi)\) (ou une boucle autour du cercle unitaire), nous obtenons à la fois \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{3\pi}{4}\) comme réponses valides.
- Et, sur l'ensemble des nombres réels, nous obtenons : \(\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\) et \(\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k\) comme réponses valides.
Nous pouvons nous rappeler que nous pouvons utiliser le cercle des unités pour résoudre les fonctions trigonométriques des angles spéciaux: les angles qui ont des valeurs trigonométriques que nous évaluons exactement.
Fig. 5. Le cercle des unités.
Lorsque tu utilises le cercle des unités pour évaluer les fonctions trigonométriques inverses, il y a plusieurs choses que tu dois garder à l'esprit :
- Si la réponse se trouve dans le quadrant IV, il doit s'agir d'une réponse négative (en d'autres termes, nous allons dans le sens des aiguilles d'une montre à partir du point (1, 0) au lieu d'aller dans le sens inverse des aiguilles d'une montre).
- Par exemple, si nous voulons évaluer \(\sin^{-1}\left( -\dfrac{1}{2} \right)\) notre premier réflexe est de dire que la réponse est \N(330^o\N) ou \N(\Ndfrac{11\pi}{6}\N). Cependant, comme la réponse doit être comprise entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{\pi}{2}\) (le domaine standard pour le sinus inverse), nous devons changer notre réponse pour l'angle co-terminal \(-30^o\), ou \(-\dfrac{\pi}{6}\).
- Pour utiliser le cercle unitaire afin d'obtenir les inverses desfonctions réciproques (sécante, cosécante et cotangente), nous pouvons prendre la réciproque de ce qui se trouve entre les parenthèses et utiliser les fonctions trigonométriques.
- Par exemple, si nous voulons évaluer \(\sec^{-1}(-\sqrt{2})\N), nous devons chercher \(\cos^{-1} \left( - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\N sur le cercle unitaire, ce qui est identique à \N(\Ncos^{-1} \Nà gauche( - \Ndfrac{\Nsqrt{2}}{2} \Nà droite)\N), ce qui nous donne \N(\Ndfrac{3\Npi}{4}\Nou \N(135^o\N).
- N'oublie pas de vérifier ton travail!
- Avec n'importe quelle fonction trigonométrique ayant un argument positif (en supposant ledomaine restreint conventionnel), nous devrions obtenir un angle qui se trouve dans le quadrant I \( 0 \leq \theta \leq \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \N).
- Pour les fonctions arcsin, arccsc et arctan :
- Si on nous donne un argument négatif, notre réponse sera dans le quadrant IV \(-\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}\).
- Pour les fonctions arccos, arcsec et arccot :
- Si on nous donne un argument négatif, notre réponse sera dans le quadrant II \(\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi\).
- Pour tout argument qui se trouve en dehors des domaines des fonctions trigonométriques pour arcsin, arccsc, arccos et arcsec, nous n'obtiendrons aucune solution.
Le calcul des fonctions trigonométriques inverses
En calcul, on nous demandera de trouver les dérivées et les intégrales des fonctions trigonométriques inverses. Dans cet article, nous présentons un bref aperçu de ces sujets.
Pour une analyse plus approfondie, tu peux te référer à nos articles sur les Dérivées des fonctions trigonométriques inverses et les Intégrales résultant de fonctions trigonométriques inverses.
Dérivées des fonctions trigonométriques inverses
Un fait surprenant concernant les dérivées des fonctions trigonométriques inverses est qu'il s'agit de fonctions algébriques, et non de fonctions trigonométriques. Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont définies comme suit :
\[\dfrac{d}{dx}\sin^{-1}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x)^2}}\]
\[\dfrac{d}{dx}\cos^{-1}(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1+(x)^2}}\]
\[\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}(x)=\dfrac{1}{1+(x)^2}\]
\[\dfrac{d}{dx}\cot^{-1}(x)=\dfrac{-1}{1+(x)^2}\]
\[\dfrac{d}{dx}\sec^{-1}(x)=\dfrac{1}{|x|\sqrt{(x)^2-1}}\]
\[\dfrac{d}{dx}\csc^{-1}(x)=\dfrac{-1}{|x|\sqrt{(x)^2-1}}\]
Intégrales résultant de fonctions trigonométriques inverses
Précédemment, nous avons développé les formules pour les dérivées des fonctions trigonométriques inverses. Ce sont ces formules que nous utilisons pour développer les intégrales résultant des fonctions trigonométriques inverses. Ces intégrales sont définies comme suit :
\[\rint \dfrac{du}{\sqrt{a^2-u^2}=\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{a} \right)+C\r]
\[\N-int \Ndfrac{du}{\Nsqrt{a^2+u^2}}=\Ndfrac{1}{a}\Ntan^{-1}\Nà gauche( \Ndfrac{u}{a} \Ndroite)+C\N]
\[\int \dfrac{du}{u \sqrt{a^2+u^2}}=\dfrac{1}{a}\sec^{-1}\à gauche( \dfrac{u}{a} \rt{a^2+u^2})+C\]
Il y a 6 fonctions trigonométriques inverses, alors pourquoi n'y a-t-il que trois intégrales ? La raison en est que les trois autres intégrales ne sont que des versions négatives de ces trois fonctions. En d'autres termes, la seule différence entre elles est que l'intégrande est positive ou négative.
- Plutôt que de mémoriser trois formules supplémentaires, si l'intégrande est négative, nous pouvons factoriser -1 et l'évaluer à l'aide de l'une des trois formules ci-dessus.
Intégrales trigonométriques inverses
Outre les intégrales qui résultent des fonctions trigonométriques inverses, il existe des intégrales qui impliquent les fonctions trigonométriques inverses. Ces intégrales sont :
Les intégrales trigonométriques inverses qui impliquent l'arc sinus.
\(\int sin^{-1} u du = sin^{-1}(u)+\sqrt{1-u^2}+C\)
\(\int u \sin^{-1}u du=\dfrac{2u^2-1}{4} \sin^{-1}(u)+\dfrac{u\sqrt{1-u^2}}{4}+C\)
\\N-(\Nint u^n sin^{-1}u du \dfrac{1}{n+1}) \left[ u^{n+1} \sin^{-1}(u) - \int \dfrac{u^{n+1}du}{\sqrt{1-u^2}}, n \neq -1 \right]\N)
Les intégrales trigonométriques inverses qui impliquent l'arc cosinus.
\N(\Nint cos^{-1}udu =cos^{-1}(u)-\sqrt{1-u^2}+C\N)
\(\int cos^{-1} u du = \dfrac{1}{n+1}\left[ u^{n+1} \cos^{-1} (u)+ \int \dfrac{u^{n+1}du}{\sqrt{1-u^2}} \right], n \neq -1\)
Les intégrales trigonométriques inverses qui impliquent l'arc tangent.
\(\int tan^{-1}udu=tan^{-1}(u)-\dfrac{1}{2}ln(1+u^2)+C\)
\(\int u \tan^{-1} u du = \dfrac{u^2-1}{2}\tan^{-1}(u)+C\)
\(\int u^n tan^{-1} udu = \dfrac{1}{n+1}\left[ \dfrac{u^{n+1} du}{1+u^2}\right], n \neq -1\)
Résoudre les fonctions trigonométriques inversées : Exemples
Lorsque nous résolvons, ou évaluons, des fonctions trigonométriques inverses, la réponse que nous obtenons est un angle.
Évalue \(\cos^{-1} \à gauche( \dfrac{1}{2}\à droite) \).
Solution:
Pour évaluer cette fonction trigonométrique inverse, nous devons trouver un angle \(\theta\) tel que \(\cos(\theta)=\dfrac{1}{2}\).
- Bien que de nombreux angles de θ aient cette propriété, étant donné la définition de \(\cos^{-1}\), nous avons besoin de l'angle \(\theta\) qui non seulement résout l'équation, mais se trouve également sur l'intervalle \([0, \pi]\) .
- Par conséquent, la solution est : \[\cos^{-1}\gauche( \dfrac{1}{2}\droite) = \dfrac{\pi}{3}=60^o\N].
Qu'en est-il de la composition d'une fonction trigonométrique et de son inverse ?
Considérons les deux expressions :
\[\sin\left( sin^{-1}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)\].
et
\[\sin^{-1}(\sin(\pi))\]
Solutions:
- La première expression se simplifie comme suit :
- \(\sin\left( sin^{-1} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)=\sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- La deuxième expression se simplifie comme suit
- \(\sin{-1}(\sin(\pi))=\sin^{-1}(0)=0\)
Réfléchissons à la réponse de la deuxième expression de l'exemple ci-dessus.
L'inverse d'une fonction n'est-il pas censé annuler la fonction originale ? Pourquoi \( \sin^{-1} ( \sin (\pi) )= \pi \) ?
Rappelons la définition des fonctions inverses: une fonction \N(f\N) et son inverse \N(f^{-1}\N) satisfont les conditions \N( f (f^{-1}(y))=y\N)pour tout y dans le domaine de \N( f^{-1}\N) , et \N(f^{-1}(f(x))=x\N) pour tout \N(x\N) dans le domaine de \N(f\N).
Alors, que s'est-il passé dans cet exemple ?
- Le problème est que la fonction sinus inverse est l'inverse de la fonction sinus restreinte sur le domaine \( \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] \) . Par conséquent, pour \N(x\N) dans l'intervalle \N( \Nleft[ -\dfrac{\pi}{2}, \Ndfrac{\pi}{2} \Nright] \N), il est vrai que \N(\Nsin^{-1}(\Nsin(x))=x\N). Cependant, pour les valeurs de x en dehors de cet intervalle, cette équation n'est pas vraie, même si \(\sin^{-1}(\sin(x))\) est définie pour tous les nombres réels de \(x\).
Qu'en est-il alors de \(\sin(\sin^{-1}(y))\) ? Cette expression pose-t-elle le même problème ?
Cette expression ne pose pas le même problème car le domaine de \(\sin^{-1}\) est l'intervalle \([-1, 1]\).
Ainsi, \(\sin(\sin^{-1}(y))=y\) si \(-1 \leq y \leq 1\). Cette expression n'est pas définie pour d'autres valeurs de \(y\).
Résumons ces résultats :
| Les conditions pour que les fonctions trigonométriques et leurs inverses s'annulent | |
| \(\sin(\sin^{-1}(y)=y)\) si \(-1 \leq y \leq 1\) | \N- (\Nsin^{-1}(\Nsin(x))=x\N) si \N(-dfrac{\pi}{2}\leq x \N \Ndfrac{\pi}{2} \N)\N- (-dfrac{\pi}{2}\N) |
| \N- (\Ncos(\Ncos^{-1}(y)=y)\N) si \N(-1 \Ny \N1) | \N- (\Ncos^{-1}(\Ncos(x))=x) si \N( 0 \Nx \Npour \Npour \Npour \Npi \N) |
| \N- (\Ntan(\Ntan^{-1}(y)=y)\N- si \N- (-\Ninfty \N- y \N- \N- \Nfty \N) | \N- (\Ntan^{-1}(\Ntan(x))=x\N) si \N- (-dfrac{\pi}{2}) \N- (\N-) x \N- (\N-) \N- (\N-) \N- (\N-) \N- (\N-) \N- (\N-) |
| \N- \N(\Ncot^{-1}(y)=y)\N) si \N(-\Ninfty \Nleq y \Nleq \Nfty \N) | \(\cot^{-1}(\cot(x))=x) si \( 0 < x < \pi \) |
| \N- (\Nsec(\Nsec^{-1}(y)=y)\N) si \N( -\Ninfty, -1] \Nleq \Ncup [1, \Ninfty)\N) | \N- (\Nsec^{-1}(\Nsec(x))=x) si \N- (0 < x < \Ndfrac{\pi}{2} \Ncup \Ndfrac{\pi}{2} < x < \Npi) |
| \c(\c^{-1}(y)=y)\c) if \c( -\infty, -1] \leq \cup [1, \infty)\cup) | \(\csc^{-1}(\csc(x))=x) si \( -\dfrac{\pi}{2} < x < \-0 \cup 0 < x < \dfrac{\pi}{2} \) |
Évalue les expressions suivantes :
- \(\sin^{-1}\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\N- \sin^{-1}\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)
- \N- tan \Nà gauche( \Ntan^{-1}\Nà gauche( -\Ndfrac{1}{\sqrt{3}} \Nà droite) \Nà droite)\N
- \N- cos^{-1} \Nà gauche( \Ncos\Nà gauche( \Ndfrac{5\pi}{4} \Nà droite) \Nà droite)\Nà droite)
- \N- sin^{-1} \Nà gauche( \Ncos\Nà gauche( \Ndfrac{2\pi}{3} \Ndroite) \Ndroite)\N- sin^{-1} \Nà gauche( \Ncos\Nà droite)
Solutions:
- Pour évaluer cette fonction trigonométrique inverse, nous devons trouver un angle \(\theta\) tel que \(\sin(\theta) = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(-\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}\).
- L'angle \( \theta= - \dfrac{\pi}{3} \) satisfait ces deux conditions.
- La solution est donc : \[\sin^{-1}\gauche( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \droite)= -\dfrac{\pi}{3}\].
- Pour évaluer cette fonction trigonométrique inverse, nous devons d'abord résoudre la fonction "intérieure" : \[tan^{-1}\left( - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)\], et une fois que nous avons cette solution, nous résolvons la fonction "extérieure" : \N(tan(x)\N) .
- \(\tan^{-1}\left( -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\dfrac{\pi}{6}\) → branche ensuite \(-\dfrac{\pi}{6}\) dans la fonction "extérieure".
- \(tan\left( -\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
- Par conséquent : \[\tan \left( tan^{-1} \left( - \dfrac{1}{3} \right) \right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\] ou, si nous voulons rationaliser le dénominateur : \[\tan \left( tan^{-1} \left( - \dfrac{1}{3} \right) \right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\].
- Pour évaluer cette fonction trigonométrique inverse, nous devons d'abord résoudre la fonction "intérieure" : \( \cos \left( \dfrac{5\pi}{4} \right)\) et une fois que nous avons cette solution, nous résolvons la fonction "extérieure" : \N(\Ncos^{-1}\N) .
- \(cos\left( \dfrac{5\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) → branche ensuite \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)dans la fonction "extérieure".
- \(\cos^{-1}\gauche( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \rt{2} \rt{2} \rt{2} \rt{2} \rt{2})). Pour évaluer cette expression, nous devons trouver un angle \(\theta\) tel que \(\cos(\theta)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(0 < \theta \leq \pi\).
- L'angle \(\theta = \dfrac{3\pi}{4}\) satisfait ces deux conditions.
- Par conséquent, la solution est : \[\cos^{-1}\left( cos \left( \dfrac{5\pi}{4} \right) \right)=\dfrac{3 \pi}{4}\].
- Pour évaluer cette fonction trigonométrique inverse, nous résolvons d'abord la fonction "intérieure" : \(\cos \left( \dfrac{2 \pi}{3}\right)\) et une fois que nous avons cette solution, nous résolvons la fonction "extérieure" : \N(\Nsin^{-1}(x)\N) .
- \(\cos\left( \dfrac{2 \pi}{3} \right)= - \dfrac{1}{2}\) → branche ensuite \(-\dfrac{1}{2}\) sur la fonction "extérieure".
- \(\sin\left( -\dfrac{1}{2} \right)\). Pour évaluer cette expression, nous devons trouver un angle \(\theta\) tel que \(\sin(\theta)=-\dfrac{1}{2}\) et \(-\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}\).
- L'angle \(\theta= -\dfrac{\pi}{6}\) satisfait ces deux conditions.
- La solution est donc : \[\sin^{-1}\left(\cos \left( \dfrac{2 \pi}{3} \right) \right)= -\dfrac{\pi}{6}\].
Sur la plupart des calculatrices graphiques, tu peux évaluer directement les fonctions trigonométriques inverses pour le sinus inverse, le cosinus inverse et la tangente inverse.
Lorsque ce n'est pas explicitement spécifié, nous restreignons les fonctions trigonométriques inverses aux bornes standard spécifiées dans la section "fonctions trigonométriques inverses dans un tableau". Nous avons vu cette restriction en place dans le premier exemple.
Cependant, il peut y avoir des cas où nous voulons trouver un angle correspondant à une valeur trigonométrique évaluée dans une autre borne spécifiée. Dans ce cas, il est utile de se souvenir des quadrants trigonométriques :
Fig. 6. Les quadrants trigonométriques et les endroits où les fonctions trigonométriques (et donc trigonométriques inverses) sont positives.
Étant donné ce qui suit, trouve \(theta\).
\[\sin(\theta)=-0.625\]
où
\N- 90^o< \Ntheta < 270^o\N]
Solution:
- À l'aide d'une calculatrice graphique, nous pouvons trouver que :
- \(\sin^{-1}(-0.625)=-38.68^o=-0.675rad\)
- Cependant, d'après l'intervalle donné pour \(\theta\), notre valeur devrait se situer dans le2e ou le3e quadrant, et non dans le4e quadrant, comme la réponse donnée par la calculatrice graphique.
- Et : étant donné que \(\sin(\theta)\) est négatif, \(\theta\) doit se situer dans le3e quadrant, et non dans le2e quadrant.
- Nous savons donc que la réponse finale doit se situer dans le3e quadrant et que \(\theta\) doit être comprise entre \(180\) et \(270\) degrés.
- Pour obtenir la solution en fonction de l'intervalle donné, nous utilisons l'identité :
- \(\sin(\theta)=\sin(180-\theta)\)
- Par conséquent :
- \(\sin(-38.68^o=\sin(180-(-38.68^o))=\sin(218.68^o)\)
- Ainsi, nous avons :
- \(\theta=\sin^{-1}(-0.625)=218.68^o\)
Fonctions trigonométriques inverses - Principaux enseignements
- Une fonction trigonométrique inverse te donne un angle qui correspond à une valeur donnée d'une fonction trigonométrique.
- En général, si nous connaissons un rapport trigonométrique mais pas l'angle, nous pouvons utiliser une fonction trigonométrique inverse pour trouver l'angle.
- Les fonctions trigonométriques inverses doivent être définies sur desdomaines restreints , où elles sont des fonctions 1 à 1.
- Bien qu'il existe un domaine conventionnel/standard sur lequel les fonctions trigonométriques inverses sont définies, n'oublie pas que les fonctions trigonométriques étant périodiques, il existe un nombre infini d'intervalles sur lesquels elles peuvent être définies.
- Les 6 principales fonctions trigonométriques inverses sont :
- Sinus inverse / arc sinus :
- Cosinus inverse / arc cosinus :
- Tangente inverse / cotangente d'arc :
- Cosécante inverse / cosécante d'arc :
- Sécante inverse / arc sécante : Cotangente inverse / arc cotangente : Cotangente inverse / arc cotangente
- Cotangente inverse / arc cotangente :
- Pour en savoir plus sur le calcul des fonctions trigonométriques inverses, tu peux consulter nos articles sur les Dérivées des fonctions trigonométriques inverses et les Intégrales résultant de fonctions trigonométriques inverses.
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Questions fréquemment posées en Fonctions trigonométriques inverses
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