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Définition de l'intégrale indéfinie
Comme tu le sais depuis l'article sur les antidérivées, le processus de recherche de l'antidérivée d'une fonction s'appelle l'intégration. Rappelle-toi que, si l'on te donne une fonction, \N( f(x) \N), une antidérivée de \N( f(x) \N) est toute fonction \N( F(x) \N) qui satisfait à la condition :
\[F'(x) = f(x). \N-]
Alors, comment l'intégrale indéfinie entre-t-elle en jeu ici ?
Eh bien, elle est utilisée pour faire référence à toute la famille des antidérivées d'une fonction, alors qu'une antidérivée n'est qu'une possibilité parmi une infinité d'autres.
En gardant cela à l'esprit, tu définis l'intégrale indéfinie comme suit :
Si \( F(x) \) est une antidérivée d'une fonction \( f(x) \), alors la famille des antidérivées de \( f(x) \) s'appelle une intégrale indéfinie. La notation de cette intégrale indéfinie est :
\[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]
où \(C\) est une constante quelconque.
Note que :
\( \int \) est appelé le symbole intégral,
\N( f(x) \N) est appelé l'intégrande,
\N( x \N) est appelé la variable d'intégration,
\N( \Nmathrm{d}x \N) est appelé la différentielle,
\N( F(x) \N) est l'anti-dérivée, et
\N( C \N) est appelée la constante d'intégration (ou constante d'intégration).
Note que les termes "intégrale indéfinie" et "antidérivée" sont parfois utilisés de manière interchangeable et, dans certains textes, une antidérivée est également appelée "fonction primitive".
Compte tenu de la terminologie qui t'a été présentée dans cette définition, l'action de trouver les anti-dérivées d'une fonction, \( f \), est communément appelée soit :
- intégrer \( \mathbf{f} \)ou
- trouver l'intégrale de \N( \Mathbf{f} \N).
Pour une fonction, \Nf(x) \Net son antidérivée, \NF(x) \Nles fonctions de la forme \NF(x) + C \Noù \NC \Nest une constante quelconque, sont souvent appelées la famille des antidérivées de \Nf(x) \Nmathbf{f(x)} \N.
Intégrale indéfinie : Une famille d'antidérivées
Pour t'aider à visualiser ce que signifie "famille d'antidérivées", considère l'exemple suivant.
L'intégrale indéfinie, la constante d'intégration et la famille des antidérivées
Considère la fonction :
\[f(x) = 2x. \N-]
Quelle est l'intégrale indéfinie de \( f(x) \N) ?
Solution :
L'intégrale indéfinie de \( f(x) = 2x \N) est
\N[ \Nint 2x ~\Nmathrm{d}x = x^{2} + C, \N]
où \N(C\N) est la constante d'intégration.
Puisque la dérivée de toute constante est \N(0\N), \N(C\N) peut être n'importe quelle constante (tant qu'il s'agit d'un nombre réel), qu'elle soit positive, négative ou même \N(0\N) elle-même.
Lorsque tu trouves une intégrale indéfinie, tu ajoutes toujours la constante d'intégration, \(C\), à ta solution finale.
Pourquoi ?
Parce que tu as des solutions infinies - la famille des antidérivées de \( f(x) \).
- Pour cet exemple, la collection de toutes les fonctions de la forme \NF(x) = x^{2} + C \N (où \N(C\N) est une constante quelconque) est connue comme la famille des antidérivées de la fonction \N( f(x) = 2x \N).
En d'autres termes, une intégrale indéfinie n'a pas de limites, tu trouves donc un ensemble d'intégrales, au lieu d'une intégrale spécifique (comme dans le cas de la résolution d'intégrales définies). Le signe \(+\,C\) indique que la solution a des possibilités infinies.
Les graphiques ci-dessous montrent quelques-unes des solutions possibles pour l'intégrale indéfinie de f(x) = 2x.
Figure 1. La famille des antidérivées de la fonction \( f(x) = 2x \) est constituée de toutes les fonctions de la forme \( f(x) = x^{2}+C \), où \(C\) est une constante quelconque (à condition qu'il s'agisse d'un nombre réel).
Formule de l'intégrale indéfinie
Tout comme pour les antidérivées en général, les intégrales indéfinies n'ont pas qu'une seule formule pour les résoudre. Il existe une variété de règles et de propriétés que tu apprendras à utiliser pour résoudre les intégrales indéfinies - elles sont basées sur les règles de différenciation que tu as déjà apprises. La raison en est abordée dans l'article sur le théorème fondamental du calcul.
Ceci étant dit, l'essence de la recherche d'une intégrale indéfinie d'une fonction consiste à faire l'inverse des règles de différenciation que tu connais déjà.
Propriétés de l'intégrale indéfinie
Puisque l'intégrale indéfinie n'est qu'une famille d'antidérivées, leurs propriétés sont les mêmes. Mais, pour le répéter, l'intégrale indéfinie est linéaire, c'est-à-dire que tu peux intégrer "terme à terme" pour les sommes, les différences et les multiples constants. Ces propriétés de linéarité sont résumées par les règles ci-dessous.
Propriété de la somme/différence:
\[ \Nint (f(x) \Npm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d}x \pm \int g(x) ~\mathrm{d}x \]
Propriété constante et multiple:
\[ \N-int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \N-int f(x) ~\mathrm{d}x \N-int f(x) ~\mathrm{d}x \N]
Preuves des propriétés de l'intégrale indéfinie
- En général, si \N( F \N) est une anti-dérivée de \N( f \N) et \N( G \N) est une anti-dérivée de \N( g \N), alors\N[ \Nfrac{d}{dx} (F(x) \Npm G(x)) = F'(x) \Npm G'(x) = f(x) \Npm g(x). \]Cela signifie que \( F(x) \pm G(x) \) est une antidérivée de \( f(x) \pm g(x) \), vous avez donc\[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = F(x) \pm G(x) + C. \]
- Envisage maintenant de trouver une antidérivée de \N( kf(x) \N), où \N( k \N) est n'importe quelle constante. Comme tu sais que\[ \frac{d}{dx} (kf(x)) = k \frac{d}{dx}F(x) = kf'(x) \]pour toute constante \( k \N), tu peux conclure que\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = kF(x) + C. \N].
Règles pour les intégrales indéfinies
La plupart du temps, les règles pour trouver l'intégrale indéfinie d'une fonction sont l'inverse (ou l'inverse) des règles pour trouver les dérivées.
Tu trouveras ci-dessous une liste de règles pour les intégrales indéfinies les plus courantes.
La règle de la constanteSi tu considères la fonction \N( F(x) = 3 \N) et que tu écris sa dérivée comme \N( f(x) \N), cela signifie que \N( f(x) = \Nfrac{dF}{dx}). \). Tu sais déjà que tu peux trouver la dérivée de cette fonction en appliquant la règle des constantes pour les dérivées : \( \frac{d}{dx}(k) = 0 \).Supposons maintenant que tu veuilles inverser ce processus et te demander quelle(s) fonction(s) pourrait(ent) avoir \( f(x) = 0 \) comme dérivée ? Évidemment, \NF(x) = 3 \Nest une réponse. Tu dis que \NF(x) = 3 \Nest une antidérivée de \NF(x) = 0 \N.
Cependant, il existe d'autres fonctions dont la dérivée est \Nf(x) = 0 \N, y compris, mais sans s'y limiter, \Nf(x) = 5 \N, \Nf(x) = -4 \Net \Nf(x) = 200 \N. C'est parce que lorsque tu prends une dérivée, la constante disparaît.
Par conséquent, si l'on te donne une anti-dérivée de \( f(x) \N), toutes les autres peuvent être trouvées en ajoutant une constante différente. En d'autres termes, si F(x) est une antidérivée de f(x), alors F(x) + C est également une antidérivée de f(x) pour une constante quelconque. Ce groupe, ou famille, d'antidérivées est représenté par l'intégrale indéfinie.
C'est ce processus de réflexion qui t'amène aux règles de l'intégrale indéfinie.
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}(k) = 0 \\\N-\text{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int k ~\mathrm{d}x = kx + C\end{align} \]
La règle de la puissanceEn poursuivant le processus de réflexion ci-dessus, tu peux voir comment fonctionnent la plupart de ces règles de l'intégrale indéfinie. Pour de nombreuses fonctions, l'évaluation de l'intégrale indéfinie est l'opposé direct de la dérivée. Par exemple, si \( n \neq -1 \),\[ \frac{d}{dx} \Nà gauche( \Nfrac{x^{n+1}}{n+1} \Nà droite) = (n+1) \Nfrac{x^{n}}{n+1} = x^{n}, \N]te conduit directement à la règle de la puissance pour les intégrales indéfinies. Les règles de la dérivée et de l'intégrale indéfinie sont donc :
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^{n-1} \\N\text{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int x^{n} ~\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1\end{align} \]
La règle du logarithme naturel
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}(\ln|x|) = \frac{1}{x} \\N-\N-text{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int \frac{1}{x} ~\mathrm{d}x = \ln|x| + C\end{align} \]
La règle exponentielle (avec base \( e \N))
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}\left(e^{x}\right) = e^{x} \\N-\N-text{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int e^{x} ~\mathrm{d}x = e^{x} + C\Nend{align} \]
La règle exponentielle (avec base \N( a \N))
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}\left(a^{x}\right) = a^{x} \ln a \\l\text{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int a^{x} ~\mathrm{d}x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C, ~\a \neq 1\end{align} \]
La règle du sinus
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \\\\text{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int \cos(x) ~\mathrm{d}x = \sin(x) + C\end{align} \]
La règle du cosinus
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) \\\\text{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C\end{align} \]
La règle de la tangente
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^{2}(x) \\N\text{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int \sec^{2}(x) ~\mathrm{d}x = \tan(x) + C\end{align} \]
La règle de la cosécante
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x) \\N\text{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int \csc(x)\cot(x) ~\mathrm{d}x = -\csc(x) + C\end{align} \]
La règle de la sécante
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x) \\\N\text{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int \sec(x)\tan(x) ~\mathrm{d}x = \sec(x) + C\end{align} \]
La règle de la cotangente
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\csc^{2}(x) \\\N-\text{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int \csc^{2}(x) ~\mathrm{d}x = -\cot(x) + C\end{align} \]
La règle du sinus inverse
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}\left(\sin^{-1}(x)\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}} \\N-\text{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}} ~\mathrm{d}x = \sin^{-1}(x) + C\end{align} \]
La règle de la tangente inverse
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}(x)\right) = \frac{1}{1+x^{2}} \\\text{Règle intégrale indéfinie : } &\int \frac{1}{1+x^{2}} ~\mathrm{d}x = \tan^{-1}(x) + C\end{align} \]
La règle de la sécante inverse
\[ \begin{align}\text{Derivative Rule: } &\frac{d}{dx}\left(\sec^{-1}(x)\right) = \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} \\N-\Ntext{Règle de l'intégrale indéfinie : } &\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} ~\mathrm{d}x = \sec^{-1}|x| + C\end{align} \]
Note qu'en notation intégrale, tu peux traiter la différentielle, \( \mathrm{d}x \), comme une variable mobile. Cela signifie que tu peux, par exemple, réécrire la règle \( 3^{rd} \) de la liste ci-dessus comme suit :
\[ \int \frac{1}{x} ~\mathrm{d}x = \ln|x| + C \rightarrow \int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C \]
Intégrales indéfinies : Les erreurs à éviter
As-tu remarqué dans la liste ci-dessus qu'il n'y a pas de règles de produit, de quotient ou de chaîne pour les intégrales ?
Qu'est-ce que cela signifie ?
Cela signifie que, tout comme pour les dérivés, les règles qui s'appliquent à l'addition et à la soustraction ne s'appliquent pas de la même manière à la multiplication et à la division. En d'autres termes, tout comme pour les dérivées :
- L'intégrale du produit (ou du quotient) de deux fonctions n'est pas égale au produit (ou au quotient) de l'intégrale des fonctions.\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g(x) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \N\int \frac{f(x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\neq \cdot \frac{f(x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\neq \cdot \cdot \cdot g(x) ~\mathrm{d}x &\N \neq \frac{\int f(x) ~\mathrm{d}x}{\int g(x) ~\mathrm{d}x}\end{align} \]
Au lieu de cela :
les règles du produit et du quotient pour les dérivées te conduisent à l'intégration par parties, et
la règle de la chaîne pour les dérivées te conduit à l'intégration par substitution.
Bien que l'intégration par parties soit dérivée spécifiquement de la règle du produit pour les dérivées, elle s'applique à la fois à un produit et à un quotient d'intégrales. En effet, pour deux fonctions quelconques \N( f \N) et \N( g \N), tu peux écrire le quotient des deux fonctions comme un produit :
\[ \frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}. \]
En d'autres termes, tu peux considérer la règle du quotient pour les dérivées comme une règle de produit déguisée ; il en va de même pour l'intégration par parties.
Il en va de même pour l'intégration par parties :
Considère l'intégrale indéfinie
\[ \int \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}} ~\mathrm{d}x. \]
Tu résous cette intégrale en utilisant l'intégration par parties. Cependant, au lieu d'utiliser une règle de quotient, il est plus facile de réécrire cette intégrale sous la forme suivante
\[ \int \sin\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x^{2}} ~\mathrm{d}x \]
et utilise une règle de produit pour effectuer l'intégration par parties.
Calcul de l'intégrale indéfinie
Lorsqu'il s'agit de calculer une intégrale indéfinie, les étapes exactes que tu suivras dépendront de l'intégrale elle-même. Cependant, il y a quelques étapes de base dont tu dois te souvenir pour calculer toutes les intégrales indéfinies.
Étapes de base pour calculer une intégrale indéfinie
Détermine les propriétés et les règles qui s'appliquent.
Si tu dois utiliser plus d'une propriété ou d'une règle, décide de l'ordre dans lequel tu les utiliseras.
Utilise les règles que tu as choisies.
Ajoute la constante d'intégration.
Vérifie ton résultat en prouvant que \( F'(x) = f(x) \).
Exemples d'intégrales indéfinies
Dans les exemples suivants, évalue chacune des intégrales indéfinies. Ce premier exemple est relativement simple.
Évalue
\[ \Nint \Ngauche( 4x^{3} - 6x^{2} + 2x + 5 \Ndroite) ~\mathrm{d}x \N]
Solution:
Détermine les propriétés et les règles qui s'appliquent.
Dans ce cas, les règles de la somme/différence, du multiple constant et de la puissance s'appliquent aux intégrales.
Si tu dois utiliser plus d'une propriété ou d'une règle, décide de l'ordre dans lequel tu les utiliseras.
Applique la règle de la somme/différence pour les intégrales.
Applique la règle du multiple constant aux intégrales.
Applique la règle de la puissance pour les intégrales.
Utilise les règles que tu as choisies.
Applique la règle de la somme/différence pour les intégrales en réécrivant l'intégrale comme\[ \begin{align}\int &\left( 4x^{3} - 6x^{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x = \\\N&\int 4x^{3} ~\mathrm{d}x - \int 6x^{2} ~\mathrm{d}x + \int 2x ~\mathrm{d}x + \int 5 ~\mathrm{d}x.\Nend{align} \]
Apply the constant multiple rule for integrals by rewriting the integral as\[ \begin{align}\int &\left( 4x^{3} - 6x^{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x = \\&4 \int x^{3} ~\mathrm{d}x - 6 \int x^{2} ~\mathrm{d}x + 2 \int x ~\mathrm{d}x + 5 \int 1 ~\mathrm{d}x.\Nend{align} \]
Applique la règle de la puissance pour les intégrales\N[ \N- \N- \N- \N- \Nint &\Nleft( 4x^{3} - 6x^{2} + 2x + 5 \N- \N-right) ~\mathrm{d}x \N- \N-&= \frac{4}{4}x^{4} - \frac{6}{3}x^{3} + \frac{2}{2}x^{2} + 5x \\N-&= x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + 5x\end{align} \]
Ajoute la constante d'intégration.
\[ \N-\Nint &\Nleft( 4x^{3} - 6x^{2} + 2x + 5 \Nright) ~\mathrm{d}x \N&= x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + 5x + C\end{align} \]
Vérifie ton résultat en prouvant que \N( F'(x) = f(x) \N).\N[ \N- Début{alignement}f(x) &= 4x^{3} - 6x^{2} + 2x + 5 \\N-F(x) &= x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + 5x + C \N~\NF'(x) &= \Ngauche( x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + 5x + C \Ndroite) \N&= 4x^{3} - 6x^{2} + 2x + 5 ~\checkmark\end{align} \]
Dans cet exemple, tu dois d'abord simplifier l'intégrande.
Évalue
\[ \int \frac{x^{2}+4\sqrt[3]{x}}{x} ~\mathrm{d}x \]
Solution:
Détermine les propriétés et les règles qui s'appliquent.
Pour mieux déterminer les règles à utiliser, divise d'abord la fraction dans l'intégrande :\[ \int \left( \frac{x^{2}}{x} + \frac{4\sqrt[3]{x}}{x} \rright) ~\mathrm{d}x. \]
Tu peux maintenant évaluer l'intégrale terme par terme en utilisant la règle de la somme/différence et la règle de la puissance.
Si tu dois utiliser plus d'une propriété ou d'une règle, décide de l'ordre dans lequel tu les utiliseras.
Applique la règle de la somme/différence.
Applique la règle de puissance.
Pour appliquer plus facilement la règle de la puissance, il est utile de simplifier davantage l'intégrande :\[ \int \left( x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}} \right) ~\mathrm{d}x \]
Utilise les règles que tu as choisies.
Applique la règle de la somme/différence.[ \int \left( x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}} \rright) ~\mathrm{d}x = \int x ~\mathrm{d}x + 4 \int x^{-\frac{2}{3}} ~\mathrm{d}x \]
Applique la règle de puissance.\N-[ \N-{align}\Nint \Nleft( x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}} \N-{right) ~\mathrm{d}x &= \frac{1}{2}x^{2} + 4 \frac{1}{\a gauche(\frac{-2}{3}\a droite)+1} x^{-\frac{2}{3}+1} \\&= \frac{1}{2}x^{2} + \frac{4}{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} \\N-&= \frac{1}{2}x^{2} + 12x^{\frac{1}{3}}\end{align} \]
Ajoute la constante d'intégration.
\[ \Nint \Nleft( x + \frac{4}{x^{frac{2}{3}} \Nright) ~\mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^{2} + 12x^{\frac{1}{3}} + C \]
Vérifie ton résultat en prouvant que \N( F'(x) = f(x) \N).\N[ \Nbegin{align}f(x) &= \frac{x^{2}+4\sqrt[3]{x}}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{4\sqrt[3]{x}{x} = x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}} \\N-F(x) &= \frac{1}{2}x^{2} + 12x^{\frac{1}{3}} + C \\N-\N-\N-F'(x) &= \frac{2}{2}x + \frac{12}{3}x^{-\frac{2}{3}} \\N-&= x + 4x^{-\frac{2}{3}} \N-&= x + \Nfrac{4}{x^{\frac{2}{3}}} ~\checkmark\end{align} \]
Cet exemple te demande de te rappeler à quoi ressemblent les intégrales des fonctions trigonométriques.
Évalue
\[ \int \frac{4}{1+x^{2}} ~\mathrm{d}x \]
Solution:
Détermine les propriétés et les règles qui s'appliquent.
Cette méthode utilise la règle du multiple constant et la règle de la tangente inverse.
Si tu dois utiliser plus d'une propriété ou d'une règle, décide de l'ordre dans lequel tu les utiliseras.
Applique la règle du multiple constant.
Applique la règle de la tangente inverse.
Utilise les règles que tu as choisies.
Applique la règle du multiple constant.\[ \int \frac{4}{1+x^{2}} ~\mathrm{d}x = 4 \int \frac{1}{1+x^{2}} ~\mathrm{d}x \N]
Applique la règle de la tangente inverse.\[ \int \frac{4}{1+x^{2}} ~\mathrm{d}x = 4 \tan^{-1}(x) \]
Ajoute la constante d'intégration.
\[ \int \frac{4}{1+x^{2}} ~\mathrm{d}x = 4 \tan^{-1}(x) + C \]
Vérifie ton résultat en prouvant que \N( F'(x) = f(x) \N).\N[ \Nbegin{align}f(x) &= \Nfrac{4}{1+x^{2}} \\N-F(x) &= 4 \Ntan^{-1}(x) + C \N-\N-F'(x) &= 4 \cdot \Nfrac{1}{1+x^{2}} \\N-&= \frac{4}{1+x^{2}} ~\cdot\cend{align} \]
Cet exemple montre que la simplification des fonctions trigonométriques dans l'intégrande peut considérablement simplifier le problème.
Évalue
\[ \int \tan(x) \cos(x) ~\mathrm{d}x \]
Solution:
Détermine les propriétés et les règles qui s'appliquent.
Réécris l'intégrande comme suit :\[ \begin{align}\int \tan(x) \cos(x) ~\mathrm{d}x &= \int \frac{\sin(x)}{\cancel{\cos(x)}} \cancel{\cos(x)} ~\mathrm{d}x \\c&= \int \sin(x) ~\mathrm{d}x\cend{align} \]
Tu sais maintenant qu'il te suffit d'utiliser la règle du sinus.
Si tu dois utiliser plus d'une propriété ou d'une règle, décide de l'ordre dans lequel tu les utiliseras.
Applique la règle du sinus.
Utilise les règles que tu as choisies.
Applique la règle du sinus.\[ \int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) \]
Ajoute la constante d'intégration.
\[ \int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C \]
Vérifie ton résultat en prouvant que \N( F'(x) = f(x) \N).\N[ \Nbegin{align}f(x) &= \Ntan(x) \Ncos(x) = \Nfrac{\Nsin(x)}{\cancel{\cos(x)} \cancel{\cos(x)} = \sin(x) \cF(x) &= -\cos(x) + C \~\cF'(x) &= -(-\sin(x)) \\N-&= \Nsin(x) ~\Ncheckmark\Nend{align} \]
Intégrale indéfinie - Principaux enseignements
- Si \( F(x) \) est une antidérivée d'une fonction \( f(x) \), alors la famille des antidérivées de \( f(x) \) s'appelle une intégrale indéfinie. Cela s'écrit comme suit :\[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]où \(C\) est une constante quelconque.
- Tu peux intégrer "terme à terme" pour les sommes, les différences et les multiples constants. Ces propriétés de linéarité sont résumées comme suit :
- Propriété de somme/différence :\[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d}x \pm \int g(x) ~\mathrm{d}x \]
- Propriété constante multiple :\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm{d}x \]
Pour la plupart, les règles pour trouver l'intégrale indéfinie d'une fonction sont l'inverse des règles pour trouver les dérivées.
- L'intégrale du produit (ou du quotient) de deux fonctions n'est pas égale au produit (ou au quotient) de l'intégrale des fonctions.\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g(x) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \N\int \frac{f(x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\neq \cdot \frac{f(x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\N \neq \frac{\int f(x) ~\mathrm{d}x}{\int g(x) ~\mathrm{d}x}\end{align} \]
- Les étapes de base pour calculer une intégrale indéfinie sont les suivantes :
Détermine les propriétés et les règles qui s'appliquent.
Si tu dois utiliser plusieurs propriétés ou règles, décide de l'ordre dans lequel tu les utiliseras.
Utilise les règles que tu as choisies.
Ajoute la constante d'intégration.
Vérifie ton résultat en prouvant que \( F'(x) = f(x) \).
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