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Eh bien, pas tout à fait. La division longue se révèle très utile pour évaluer des intégrales avec des quotients de polynômesa>. Dans cet article, tu vas passer en revue la définition, les formules, la méthode et les exemples d'intégration à l'aide de la division longue. Ce ne sera pas si terrible, nous te le promettons !
Définition de l'intégration d'une fonction à l'aide de la division longue
Qu'est-ce que l'intégration par division longue ?
L'intégration par division longue est une technique d'intégration qui s'applique aux intégrales de la forme
$$\int \frac{p(x)}{q(x)} \ ; dx, $$
où \N(p(x)\Net \N(q(x)\Nsont tous deux des polynômes et \N(\Ndeg(p(x))\Ngeq\Ndeg(q(x)).\NLa division est une technique d'intégration qui s'applique aux intégrales de la forme $$int \N(p(x)}{q(x)}dx.
Il s'agit d'exprimer \Np(p(x)\Ncomme \Np(x) = q(x)s(x) + r(x)\Npour les polynômes \N(s(x)\Net \N(r(x)\Npour simplifier l'intégrale :
$$\int \frac{p(x)}{q(x)} \N ; dx = \int s(x) \N ; dx + \int \frac{r(x)}{q(x)} \N ; dx.$$
Le degré d'un polynôme est sa plus grande puissance. Par exemple, \(\deg(x^2 + 3x - 2) = 2\) et \(\deg(x^7 + 3) = 7\).
Tu peux utiliser l'intégration en utilisant la division longue pour évaluer
$$\int \frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x - 3} \ ; dx$$
puisque \(\deg(x^3 - 3x^2 + 2) = 3\) et \(\deg(x-3) = 1\).
Tu n'utiliserais pas la division longue pour évaluer
$$\int \frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x^4 - 1} \N ; dx$$
puisque \(\deg(x^3 - 3x^2 + 2) = 3\) et \(\deg(x^4-1) = 4\).
Au lieu de cela, tu devrais probablement utiliser l'intégration par parties. Dans ce cas, comme le degré du dénominateur est plus grand que le degré du numérateur, essayer d'utiliser la division longue pour obtenir un polynôme \(s(x)\) reviendrait à s'attendre à ce que \(\frac{5}{1000}\) soit un nombre entier ; le dénominateur est tout simplement trop grand pour que cela fonctionne.
Règles d'intégration d'une fonction par division longue
Il existe une variété de techniques pour intégrer les expressions qui impliquent des polynômes, y compris la substitution trigonométrique, la division longue, l'intégration par fractions partielles, l'intégration par substitution, la substitution de Weierstrass et la règle de puissance pour l'intégration (voir Techniques d'intégration). Passons en revue les règles et les directives pour savoir quand et comment utiliser l'intégration par division longue, au lieu de ces autres techniques.
Directives pour savoir quand utiliser l'intégration par division longue
Le tableau suivant résume les lignes directrices permettant de déterminer quand chacune des techniques d'intégration discutées ci-dessus est la plus appropriée.
| Technique d'intégration | Quand l'utiliser | Exemple |
| Substitution trigonométrique | L'intégrande contient des termes de la forme \(\sqrt{x^2 + a^2}\), \(\sqrt{x^2 - a^2}\), \(\sqrt{a^2 - x^2}\), ou (parfois) les mêmes termes sans les racines carrées. | $$\int \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{x} dx$$$ |
| Intégration par division longue | L'intégrale est de la forme$$\int \frac{p(x)}{q(x)} dx, $$où \(p(x), \, q(x)\) sont tous deux des polynômes, \(\deg(p(x))\geq\deg(q(x))\), et aucune autre technique ne s'applique. | $$\int \frac{x^3-2}{x-3} dx$$ |
| Intégration par fractions partielles | L'intégrale est de la forme$$\int \frac{p(x)}{q(x)} dx, $$où \(p(x), \, q(x)\) sont tous deux des polynômes, \(\deg(p(x))<\deg(q(x))\), et aucune autre technique ne s'applique. | $$\int \frac{x}{(x-2)(x-3)^2} dx$$$ |
| Intégration par substitution | L'intégrale est de la forme$$\int f'(x) (a_nf(x)^n + ... a_0) dx;$$utiliser la substitution \(u = f(x)\N). | $$\int e^{x}(e^{3x} + 2) dx$$ |
| Règle de puissance pour l'intégration (voir Techniques d'intégration) | L'intégrande est un polynôme simple | $$\int 3x^{-3} + 4x^{3/2} - 3 dx$$ |
| Substitution de Weierstrass (voir Techniques d'intégration) | L'intégrande est une expression rationnelle des fonctions trigonométriques et la substitution u ne peut pas être utilisée. | $$\int \frac{1}{\sin(x)} dx$$ |
Ces directives ne sont pas absolues, mais elles constituent un bon point de départ si tu n'es pas sûr de la technique d'intégration à utiliser. En général, il est bon d'éviter d' utiliser la substitution trigonométrique, l'intégration par division longue et l'intégration par fractions partielles à moins que cela ne soit absolument nécessaire, car ces techniques sont plus compliquées que les autres et il est plus facile de se tromper.
Il se peut que tu aies besoin d'utiliser plusieurs de ces techniques pour une seule intégrale. Par exemple, tu peux résoudre
$$\int e^{x}(e^{3x} + 2) dx$$
en effectuant d'abord la substitution \(u = e^{x}\), puis en utilisant la règle de puissance pour l'intégration. Comme toujours, il est important de garder l'esprit ouvert lorsqu'on décide des techniques d'intégration à utiliser. Il y a souvent plusieurs façons de résoudre une intégrale, et la solution la plus élégante n'est pas toujours la plus évidente.
Règles d'utilisation de l'intégration par division longue
Il y a quelques règles à suivre lorsque tu intègres une fonction en utilisant la division longue.
Tout d'abord, l'intégration par division longue ne s'applique que dans les cas où l'intégrande est un quotient de polynômes. Elle ne peut pas être utilisée autrement.
Deuxièmement, l'intégration à l'aide de la division longue ne s'applique que lorsque le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur. Si le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, tu dois utiliser une autre technique, comme l'intégration par fractions partielles.
Formule d'intégration d'une fonction par division longue
La formule que tu utilises pour l'intégration par division longue est la suivante
$$\begin{align} \int \frac{p(x)}{q(x)} dx &= \int \frac{q(x)s(x) + r(x)}{q(x)} dx \\\N- &= \int s(x) + \frac{r(x)}{q(x)} dx, \end{align}$$.
où \(p(x) = s(x)q(x) + r(x).\N-) Tu trouves \N(s(x)\N) et \N(r(x)\N) en utilisant la division polynomiale longue.
Division polynomiale longue
Pour diviser un polynôme \N(p(x)\N) par un polynôme \N(q(x)\N), tu dois trouver les polynômes \N(s(x), \N,r(x)\Nqui répondent à la formule suivante
$$p(x) = q(x)s(x) + r(x).$$$
Tu appelles \(r(x)\) le terme résiduel. Ce terme résiduel est exactement comme les restes que tu as appris à connaître lorsque tu as étudié les fractions pour la première fois. Par exemple, le reste de \(\frac{10}{3}\) est \(1\), puisque
$$10 = 3(3) + 1.$$
Remarquez que le reste est toujours inférieur au diviseur ; dans ce cas, \N(1 < 3.\N) Si \N(p(x)\N) est divisible par \N(q(x)\N), alors \N(r(x) = 0.\N)
La division polynomiale longue est exactement comme la division des entiers. Lorsque tu as appris à diviser des nombres entiers, tu as probablement fait quelque chose comme ça :
Divise 273 par 15.
Solution : Tu peux écrire le problème comme suit :
\begin{array}{r}\phantom{18)} \\15{\overline{\smash{\big)}\,273\phantom{)}}\end{array}
Tout d'abord, multiplie 15 par 10, en mettant un 1 à la place des dizaines sur la ligne. Tu ne peux pas multiplier \(15\N) par \N(20\N), car
$$15\cdot 20 = 300 > 273.$$
Puisque \(15\cdot 10 = 150\), tu soustrais 150 de 273, ce qui donne 123.
\begin{array}{r}1\phantom{8)} \\N-15{\overline{\smash{\big)}\,273\phantom{)}}\N-\underline{-150\phantom{)}}\N-123\phantom{)}\end{array}
Ensuite, tu multiplies 15 par 8 et tu mets un 8 à la place des unités sur la ligne. Ensuite, tu soustrais \(15\cdot 8 = 120\) de 123 pour obtenir 3. Tu peux vérifier que
15\cdot 9 = 135 > 123,$$.
c'est pourquoi tu n'as pas multiplié 15 par un nombre supérieur à 8.
\begin{array}{r}18\phantom{)} \\N-15{\overline{\smash{\big)}\,273\phantom{)}}\N-\underline{-150\phantom{)}}\N-123\phantom{)}\N-\underline{-120\phantom{)}}\3\phantom{)}\N-\end{array}
15 ne divise pas 3, tu as donc terminé. Donc, \N(273 = 15(18) + 3\N). Le terme restant est \N(3\N).
Tu peux envisager la division longue un peu différemment, en tenant compte de la valeur de place.
Divise \(273\) par \(15\), cette fois en respectant la valeur de place.
Solution : Tout d'abord, écris chaque nombre pour garder une trace de sa valeur de place.
$$\begin{align}15 &= 1\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0\\N-273 &= 2\cdot 10^2 + 7\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0\end{align}$$
Cette fois, divise en te "débarrassant" d'une valeur de place à la fois, en commençant par la valeur de place la plus élevée. Le premier terme dont tu veux te débarrasser est le terme \(2\cdot 10^2\), puisqu'il s'agit du terme le plus important. Pour cela, multiplie \(1\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0\) par \(2\cdot 10^1\) et soustrais :
\begin{array}{r}2\cdot 10^1 \phantom{-3\cdot 10^0)} \\N1\cdot 10^1+5\cdot 10^0{\overline{\smash{\big)}\,2\cdot 10^2 + 7\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0\phantom{)}}\c\underline{-~\phantom{(}(2\cdot 10^2 + 10\cdot 10^1)\phantom{7\cdot 10^0)}}\c-3\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0\phantom{)}\end{array}
Maintenant que tous les termes \(10^2\) ont disparu, essaie de te débarrasser de tous les termes \(10^1\). Tu peux le faire en multipliant \N(1\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0\) par \c(-3\cdot 10^0\) et en soustrayant :
\begin{array}{r}2\cdot 10^1 -3\cdot 10^0\phantom{)} \\N1\cdot 10^1+5\cdot 10^0{\overline{\smash{\big)}\,2\cdot 10^2 + 7\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0\cdot{)}}\c\underline{-~\cdot{(}(2\cdot 10^2 + 10\cdot 10^1)\cdot{3\cdot 10^0)}\c}\c-3\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0\canto{)}\c\underline{-~\canto{(}(-3\cdot 10^1 - 15\cdot 10^0)}\c18\cdot 10^0\canto{)}\end{array}
À ce stade, tu as terminé, car tu ne peux pas diviser un terme \(10^0\) par quelque chose qui contient un terme \(10^1\). La réponse finale est la suivante
$$2\cdot 10^2 + 7\cdot 10^1 + 3\cdot 10^0 = (1\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0)(2\cdot 10^1 - 3\cdot 10^0) + \frac{18\cdot 10^0}{1\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0}.$$
En réécrivant, cela devient :
$$273 = 15(20 - 3) + \frac{18}{15} = 15(17) + \frac{18}{15}.$$
Tu peux vérifier que cette réponse est équivalente à celle que tu as obtenue précédemment ; le terme résiduel est simplement plus grand. Cet algorithme est une façon tout à fait valable d'effectuer une division entière, mais ce n'est pas nécessairement la meilleure façon de le faire, car il donne parfois des termes de reste plus grands que nécessaire.
Cependant, cette méthode se généralise facilement aux nombres écrits, par exemple, sous la forme suivante
\[a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 +c\cdot 2^1 + d\cdot 2^0\]
ou
\N[g\Ncdot 3^1 + h\Ncdot 3^0.\N].
Alors que la méthode normale de division des nombres entiers est conçue pour minimiser le reste, cette méthode est conçue pour tenir compte de la valeur de place, même si tu n'écris pas tes nombres en base 10.
La division longue polynomiale est tout comme la division longue entière où tu gardes une trace de la valeur de place.
Divise \(2x^2 + 7x + 3\) par \(x + 5\).
Solution : Tu peux écrire le problème comme suit :
\begin{array}{r}\phantom{2x-3)} \\01 x+5{\overline{\smash{\big)}\,2x^2 + 7x + 3\phantom{)}}\end{array}
Le terme sous la ligne est appelé le dividende, et le terme à gauche le diviseur.
Tout d'abord, tu veux te débarrasser du terme \(2x^2\). En oubliant un instant tous les termes autres que le terme \(2x^2\) dans le dividende et le terme \(x\) dans le diviseur, nous pouvons remarquer que \(x(2x) = 2x^2\). Alors, multiplie \N(x+5) par \N(2x), place \N(2x) à l'endroit \N(x) au-dessus de la ligne, et soustrait \N((x+5)(2x) = 2x^2 + 10x) de \N(2x^2 + 7x + 3.\N).
\begin{array}{r}2x\phantom{-3)} \\N-x+5{\overline{\smash{\big)}\,2x^2 + 7x + 3\phantom{)}}\N-\underline{-~\phantom{(}(2x^2 + 10x)\phantom{-b)}\N--3x+3\phantom{)}\end{array}
Maintenant que tu t'es débarrassé du terme \(2x^2\), tu veux te débarrasser du terme \(-3x\). Multiplie donc \N(x+5\N) par \N(-3\N), place \N(-3\N) à la place des unités au-dessus de la ligne, et soustrais \N((x+5)(-3) = -3x - 15\N) de \N(-3x + 3.\N).
\begin{array}{r}2x-3\phantom{)} \\x+5{\overline{\smash{\big)}\,2x^2 + 7x + 3\phantom{)}}}\\N-\underline{-~\phantom{(}(2x^2 + 10x)\phantom{-b)}\N--3x+3\phantom{)}\N-\underline{-~\phantom{()(}(-3x - 15)}\N-\phantom{()}18\phantom{)}\Nend{array}
Puisque \(18\) n'a pas de termes \(x\), \(x + 5\) ne peut pas diviser 18, et tu as terminé. Dans ce cas, \(s(x) = 2x -3\) et le terme restant est \(r(x) = 18\). Tu peux vérifier que
2x^2 + 7x + 3 = (x+5)(2x-3) + 18.
Intégration d'une fonction à l'aide de la méthode de la division longue
Pour intégrer
\[\int \frac{p(x)}{q(x)} dx\]
en utilisant la division longue, utilise la méthode suivante.
Détermine ce que sont \N(p(x)\Net \N(q(x)\N).
En utilisant la division longue, divise \N(p(x)\Npar \N(q(x)\Npour obtenir \N(p(x) = q(x)s(x) + r(x)\Net réécris l'intégrale.
En symboles, \[\int \frac{p(x)}{q(x)} dx = \int s(x) + \frac{r(x)}{q(x)} dx.\]
Parfois, il peut être plus facile de factoriser \(p(x)\) et \(q(x)\) pour rechercher des facteurs communs avant de recourir à la division longue.
Intégrer.
Si l'intégrale est indéfinie, n'oublie pas d'ajouter \(C\) !
Si l'intégrale est définie, évalue l'antidérivée aux points extrêmes.
Pour intégrer l'équation résultante, tu dois souvent utiliser l'intégration par substitution, l'intégration par fractions partielles ou les deux.
Exemples d'intégration d'une fonction à l'aide de la division longue
Prenons quelques exemples d'intégration à l'aide de la division longue.
Évaluons \(\int \frac{x^3 - 3}{x - 2} dx\) en utilisant la division longue.
Étape 1 : La première étape consiste à écrire ce que sont \N(p(x)\Net \N(q(x)\N). Dans ce cas, \N(p(x) = x^3 - 3\N) et \N(q(x) = x-2\N).
Étape 2 : Divise ensuite \(p(x)\) par \(q(x)\). Pour faciliter la division, écris \N(p(x)\N) comme \N(p(x) = x^3 + 0x^2 + 0x - 3.\N).
N'oublie pas cette étape ; c'est une source d'erreur fréquente !
\begin{array}{r}x^2+2x+4\phantom{)} \\\Nx-2{\overline{\smash{\big)}\,x^3 + 0x^2 + 0x - 3\phantom{)}}}\\N-\underline{-(x^3-2x^2)\phantom{-bbbbb)}\N-2x^2+0x-3\phantom{)}\N-\underline{-(2x^2-4x)\phantom{-b)}\N-4x-3\phantom{)}\N-\underline{-(4x-8)}\N-5\phantom{)}\N-\Nend{array}
Ainsi, \N(x^3 - 3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) + 5,\N) et \N(s(x) = x^2 + 2x + 4, \Nr(x) = 5,\N).
Ensuite, réécris l'intégrale :
$$\begin{align}\int \frac{x^3 - 3}{x - 2} dx &= \int \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4) + 5}{x-2} dx\\\\N-&= \int x^2 + 2x + 4 + \frac{5}{x-2} dx.\end{align}$$
Étape 3 : Enfin, intègre :
$$\begin{align}\int \frac{x^3 - 3}{x - 2} dx &= \int x^2 + 2x + 4 + \frac{5}{x-2} dx\\N \N&= \int x^2 + 2x + 4 dx + \int \frac{5}{x-2} dx\N \N&= \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 4x + \int \frac{5}{x-2} dx\\N \N&= \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 4x + 5\ln|x-2|.\Nend{align}$$
Tu peux vérifier en différenciant ou en utilisant l'intégration par substitution que
\[\int \frac{5}{x-2} dx = 5\ln|x-2|.\]
Prenons un exemple un peu plus compliqué.
Évalue
\[\Nint \Nfrac{4x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x - 3} dx.\N]
Solution :
Étape 1 : Identifie d'abord \(p(x)\) et \(q(x)\). Dans ce cas, \N(p(x) = 4x^2 + 3x + 2\N) et \N(q(x) = x^2 + 5x - 3\N). \N- \N(p(x)\N) et \N(q(x)\N) ont tous deux un degré 2, ce qui est tout à fait normal ; tu es toujours autorisé à utiliser la division longue.
Étape 2 : Divise ensuite \(p(x)\) par \(q(x)\).
\begin{array}{r}4\phantom{)} \\N-x^2 + 5x -3{\overline{\smash{\big)}\,4x^2 + 3x + 2\phantom{)}}\N-\underline{-(4x^2+20x - 12)\phantom{-b)}\N--17x + 14\phantom{)}\nend{array}
Ainsi, \(s(x) = 4\) et \(r(x) = -17x + 14\).
Étape 3 : Ensuite, réécris et évalue ton intégrale.
$$\begin{align}\int \frac{4x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x - 3} \ ; dx &= \int \frac{4(x^2 + 5x - 3) + (-17x + 14)}{x^2 + 5x - 3} \ ; dx\\ \N&= \int \frac{4}{x^2 + 5x - 3} \N ; dx + \Nint \Nfrac{-17x + 14}{x^2 + 5x - 3} \N ; dx\N \N&= \Nint \Nfrac{4}{x^2 + 5x - 3} \N ; dx + \Nint \Nfrac{-17x - 85/2 + 117/2}{x^2 + 5x - 3} \N ; dx + \Nint \Nfrac{-17x - 85/2 + 117/2} \Nfrac{-17x - 85/2 + 117/2}{x^2 + 5x - 3} \N ; dx\\\N-&= \Nint \frac{4}{x^2 + 5x - 3} \N ; dx - \Nfrac{17}{2}int \Nfrac{2x+5}{x^2 + 5x - 3} \N ; dx\N- & \Nquad + \Nfrac{1}{2}\Nint \Nfrac{117}{x^2 + 5x - 3} \N ; dx - \N- & \N- & \N- & \N- & \N- \Nquad + \Nfrac{1}{2}\Nint \Nfrac{117}{x^2 + 5x - 3} \N- ; dx\\\N-&= 121\int \frac{1}{x^2 + 5x - 3} \N- dx - \frac{17}{2}int \frac{2x+5}{x^2 + 5x - 3} \N- dx\Nend{align}$$
Pour évaluer l'intégrale avec \(2x + 5\) au numérateur, tu peux utiliser l'intégration par substitution avec \(u = x^2 + 5x - 3\). Pour intégrer l'autre terme, tu peux utiliser l'intégration par fractions partielles :
$$ \begin{align} \Nint \frac{4x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x - 3} \N ; dx &= 121\Nint \frac{1}{x^2 + 5x - 3} \N ; dx - \frac{17}{2}int \frac{2x+5}{x^2 + 5x - 3} \N ; dx\\N- &= 121\Ngauche(\frac{\ln(-2x + \sqrt{37} -5) - \ln(2x + \sqrt{37} + 5)}{\sqrt{37}}\Ndroite)\N- & \nquad -\frac{17}{2} \ln(x^2 + 5x - 3)\\ \\ &= \frac{121}{\sqrt{37}}\ln\left( \frac{ -2x + \sqrt{37} -5 }{2x + \sqrt{37} + 5 } \right) -\frac{17}{2} \ln(x^2 + 5x - 3) . \Nend{align} $$
Prenons un autre exemple.
Évalue \(\int_0^1 \frac{x^2 - 1}{x+1} \ ; dx\).
Solution : Identifie d'abord \(p(x)\) et \(q(x)\). Dans ce cas, \(p(x) = x^2 - 1\) est de degré 2 et \(q(x) = x+1\) est de degré 1, tu peux donc utiliser l'intégration par division longue.
Divise ensuite \(p(x)\) par \(q(x)\). Pour éviter les erreurs de division, réécris \N(p(x)\N) comme \N(p(x) = x^2 + 0x - 1\N).
\begin{array}{r}x-1\phantom{)} \\x+1{\overline{\smash{\big)}\,x^2 + 0x - 1\phantom{)}}}\\N-\underline{-(x^2+x)\phantom{-b)}\N--x - 1\phantom{)}\N-\underline{-\phantom{x^2 d}(-x-1)}\N-0\phantom{)}\n{array}
Ainsi, \(s(x) = x-1\) et \(r(x) = 0\).
Ensuite, réécris ton intégrale et évalue-la :
$$\begin{align}\int_0^1 \frac{x^2 - 1}{x + 1} \N- dx &= \N-int_0^1 \Nfrac{(x-1)(x+1) + 0}{x+1} \N- dx ; \N-&= \Nint_0^1 x - 1 \N- dx ; \N-&= \Nfrac{1}{2}x^2 - x \Nbigg|_0^1\N-&= \Nleft(\Nfrac{1}{2} - 1\Nright) - (0 - 0)\N-&= -\Nfrac{1}{2}.\N- end{align}$$
Remarque qu'au lieu d'utiliser la division longue, tu aurais pu simplement factoriser \(x^2 - 1\) en \((x-1)(x+1)\), diviser et intégrer. En général, même si la division longue (effectuée correctement) fonctionne toujours pour ce type d'intégrales, le fait de vérifier si le numérateur peut être factorisé te fera souvent gagner du temps et de l'énergie.
Intégrer des fonctions à l'aide de la division longue - Principaux points à retenir
- L'intégration par division longue est utilisée pour les intégrales de la forme \(\int \frac{p(x)}{q(x)}\), où p et q sont des polynômes et \(\deg(p(x))\geq \deg(q(x))\).
- L'intégration par division longue est souvent utilisée avec d'autres techniques d'intégration comme l'intégration par substitution et les fractions partielles.
- L'intégration par division longue ne doit être utilisée que lorsqu'il n'existe pas de méthode plus pratique.
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