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Tu as déjà vu une idée similaire appliquée à la recherche de l'aire sous la courbe à l'aide d'une somme de Reimann ou de méthodes d'intégration numérique telles que la règle trapézoïdale ou la règle de Simpson. La courbe est divisée en sous-intervalles et l'aire de chaque sous-intervalle est additionnée pour obtenir l'aire totale sous la courbe. La même idée s'applique pour trouver le volume d'un solide de révolutiona> à l'aide de la méthode du disque!
Définition de la méthode du disque
La méthode du disque est une méthode d'intégration qui découpe un solide de révolution en une série de disques tridimensionnels et additionne le volume de chaque disque pour trouver le volume total du solide.
La méthode du disque est une méthode de calcul du volume d'un solide de révolution qui est utilisée lors de l'intégration le long d'un axe parallèle à l'axe d'intégration. La méthode consiste à diviser le solide en une infinité de disques et à additionner le volume de chaque disque.
La méthode du disque découpe le solide de révolution en une série de disques aplatis. Chaque disque est contenu dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation.
Pour trouver le volume du solide entier, le volume de chaque disque est additionné.
Graphique de la méthode du disque
Pour mieux comprendre l'idée qui sous-tend la méthode du disque, jette un coup d'œil à l'image ci-dessous.
Figure 1. Volume d'un disque perpendiculaire à l'axe \(x-\)obtenu en découpant le solide de révolution.
La section transversale d'un disque est un cercle d'une surface de \(\pi r^{2}\), tu peux donc trouver le volume de chaque disque en multipliant sa surface par son épaisseur, soit
\[V_{{text{disk}}=\pi r^2 \Delta x,\]
où \( \Delta x \) est un petit sous-intervalle de l'intervalle d'intégration.
Pour trouver le volume du solide tourné autour de l'axe \N(x-\N), tu découpes le solide de façon à ce que les tranches soient contenues dans des plans perpendiculaires à l'axe \N(x-\N). Le volume de chaque tranche, ou disque, est additionné, ce qui donne une estimation du volume du solide. Tu obtiens le volume exact du solide en découpant le solide en une infinité de disques et en intégrant à la place.
Si le solide est obtenu par une rotation autour de l'axe \(y-\), alors les disques doivent être dans un plan perpendiculaire à l'axe \(y-\). En général, les tranches sont contenues dans des plans perpendiculaires à l'axe de rotation.
Équation pour la méthode du disque
La section transversale d'un disque est un cercle d'une surface de \(\pi r^{2}\), tu peux donc trouver le volume de chaque disque en multipliant sa surface par son épaisseur, soit
\[V_{{text{disk}}=\pi r^2 \Delta x,\]
où \( \Delta x \) est l'épaisseur du disque, et est la longueur d'un petit sous-intervalle de l'intervalle d'intégration.
Pour obtenir le volume du solide complet, tu dois prendre d'autres éléments en considération.
Le rayon de chaque disque est maintenant donné par la fonction, de sorte que \(r\) devient \(f(x)\).
Le disque devient très fin, donc \N(\NDelta x) devient \N(\Nmathrm{d}x \N).
Au lieu d'additionner tous les disques, tu les intègres, ce qui signifie que la somme, \N(\Nsum \N), devient l'intégration, \N(\Nint\N).
Le volume \N( V \N) d'un solide généré en faisant tourner la région délimitée \N(y=f(x)\Net l'axe \N(x) sur l'intervalle \N([a, b]\Nautour de l'axe \N(x) est alors donné par
\[V=\int_a^b \pi \left[f(x) \right]^2 \, \mathrm{d}x.\N]
Note que dans la formule ci-dessus, les disques sont perpendiculaires à l'axe \N(x) parce que la révolution s'est faite autour de l'axe \N(x-\N).
Si la révolution se fait autour de l'axe \Ny, la formule est adaptée comme suit
\N[V=\int_a^b \Npi \Nà gauche[ f(y) \Nà droite] ^2\N, \Nmathrm{d}y, \N]
où les disques sont perpendiculaires à l'axe \(y\).
Exemples de la méthode des disques
Entraînons-nous à trouver les volumes des solides à l'aide de la méthode du disque en regardant quelques exemples !
Pour la fonction
\Nf(x)=x^2-4x+4,\Ncompte tenu de la région délimitée par la courbe
considère la région délimitée par la courbe \N(y=f(x)\N), \N(x=0\N), \N(x=4\N) et l'axe \N(x\N).
Figure 2. Région délimitée entre \N(x=0,\N) \N(f(x),\N) \N(x=4,\N) et l'axe \N(x-\N)
Trouve le volume du solide obtenu en faisant tourner la région ci-dessus autour de l'axe \(x-\).
Réponse :
Le solide de révolution pour ce cas peut être représenté sur l'image suivante.
Figure 3. Solide obtenu en faisant tourner la région ci-dessus autour de l'axe \(x-\)-.
Les tranches de la région sont perpendiculaires à l'axe \(x-\), tu dois donc utiliser la formule suivante
\[V=\int_a^b \pi [f(x)]^{2}\N,\Nmathrm{d}x.\N]
Puisque tu dois élever la fonction au carré, tu devras faire un peu d'algèbre, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \a gauche( f(x) \a droite)^2 &= (x^2-4x+5)^2 \a gauche( x^2+(-4x+5) \a droite)^2 \a&= x^4+2x^2(-4x+5)+(-4x+5)^2 \a&= x^4-8x^3+10x^2+16x^2-40x+25 \a&= x^4 -8x^3+26x^2-40x+25. \N-{align}\N- [\N-{align}\N]
L'expression ci-dessus peut sembler intimidante, mais son intégrale peut être trouvée en utilisant simplement la règle de la puissance. En introduisant \N(a=0\N), \N(b=4\N) et \N(f(x)=x^{2}-4x+5\N), tu obtiens
\[ \begin{align} V &= \int_0^4 \pi \left( x^2-4x+5 \right)^2 \,\mathrm{d}x \N &= \pi \int_0^4 (x^4-8x^3+26x^2-40x+25)\N,\mathrm{d}x. \N-END{align}\N-]
Commence par trouver l'intégrale indéfinie à l'aide de la règle des puissances, c'est-à-dire
\[ \Nint ( x^4-8x^3+26x^2-40x+25 )\N,\Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{5}x^5-2x^4+\Nfrac{26}{3}x^3-20x^2+25x,\N].
puis utilise le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale définie, ce qui donne
\[ \begin{align} \int_0^4 \left( x^2-4x+5 \right)^2\,\mathrm{d}x &= \left[\frac{4^{5}}{5} - 2(4)^{4} + \frac{26}{3} (4)^{3} - 20(4)^{2} +25(4)\right] \ &- \n-ft[\frac{0^{5}}{5} - 2(0)^{4} + \frac{26}{3}(0)^{3} - 20(0)^{2} + 25(0) \n-right]. \N- [end{align}\N]
Tu peux faire l'arithmétique à l'aide d'une calculatrice et trouver
\N-[\N-int_0^4 \Nà gauche( x^2-4x+5 \Nà droite)^2\N,\Nmathrm{d}x = \Nfrac{412}{15}.\N].
Enfin, multiplie la valeur de l'intégrale définie par \N(\Npi\N) pour obtenir le volume du solide de révolution, c'est-à-dire
\[ V = \frac{412}{15}\pi.\]
Qu'en est-il d'un solide obtenu en faisant tourner une région autour de l'axe \(y-\) ?
Pour la fonction
\N[g(x)=x^2,\N]
considère la région délimitée par la courbe \N(y=g(x)\N), l'axe \N(y\N) et la ligne horizontale \N(y=1\N).
Figure 4. Région délimitée entre \N(y=0,\N) \N(g(x),\N)et \N(y=1,\N)\N(y=0,\N). \N(y=1,\N) et l'axe \N(y-\N)
Trouve le volume du solide obtenu en faisant tourner la région ci-dessus autour de l'axe \(y-\).
Réponse :
Cette fois, le solide de révolution est représenté sur l'image suivante.
Exemple 5. Solide obtenu en faisant tourner la région ci-dessus autour de l'axe \(y-\)
Dans cet exemple, les tranches de la région sont perpendiculaires à l'axe \(y-\)-, tu devras donc utiliser la formule suivante
\N-[V=\int_a^b \Npi \Nà gauche[ x(y) \Nà droite]^2 \N,\Nmathrm{d}y.\N]
Cependant, on te donne \N( y \N) comme fonction de \N(x,\N), tu dois donc réécrire dans le sens inverse, c'est-à-dire que tu dois écrire \N(x) comme fonction de \N(y.\N) Ceci peut être fait avec l'aide de la fonction racine carrée, donc
\N[ y=x^2 \Nrightarrow x=\sqrt{y}.\N]
Pour les limites d'intégration \N(a) et \N(b), note que la zone à faire tourner est limitée entre l'origine et la ligne horizontale \N(y=1,\N), donc \N ( a=0 \N) et \N( b=1.\N) Cela te donne
\[ \begin{align} V &= \int_0^1 \pi [\sqrt{y}]^{2}\N-, \mathrm{d}y \N- &= \pi \int_0^1 y\N-, \mathrm{d}y \N- &= \frac{\pi}{2} \N- gauche( 1^2-0^2\Ndroite) \N&= \Nfrac{\Npi}{2}. \N- [end{align}\N]
La méthode des coquilles et la méthode des disques
La méthode des coques, également connue sous le nom de méthode des coques cylindriques, est une autre méthode utilisée pour calculer le volume d'un solide de révolution. La différence entre la méthode des coquilles et la méthode des disques est laforme du solide de révolution.
Avec la méthode du disque, tu divises le solide en une infinité de disques. En revanche, la méthode des coques découpe le solide en une infinité de cylindres creux . Cette méthode ne sera pas abordée dans cet article.
La méthode du disque - Points clés
- La méthode du disque est une méthode de calcul du volume d'un solide de révolution qui est utilisée lors de l'intégration le long d'un axe parallèle à l'axe de révolution.
- La méthode du disque consiste à diviser le solide en une infinité de disques et à ajouter le volume de chaque disque au moyen de l'intégration.
- L'équation permettant de trouver l'aire d'un solide de révolution à l'aide de la méthode du disque dépend de l'axe autour duquel le solide est tourné.
- Si le solide tourne autour de l'axe \N(x-\N), les disques sont perpendiculaires à l'axe \N(x-\N) et le volume est donné par[V=\int_a^b \Npi [f(x)]^{2}\Nmathrm{d}x.\N].
- Si le solide tourne autour de l'axe \N(y-\N), alors les disques sont perpendiculaires à l'axe \N(y-\N)et le volume est donné par
\[V=\int_a^b \pi [f(y)]^{2}\mathrm{d}y.\r]
Il est important d'écrire la courbe en tant que fonction de \(y\) dans ce cas.
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