What is Investigating La règle du trapèze?

Tu as probablement déjà lu notre article sur la formation des sommes de Riemann, qui explique comment nous pouvons les utiliser pour estimer l'aire sous la courbe. Pour te rafraîchir la mémoire, une somme de Riemann divise l'aire sous la courbe en rectangles et additionne l'aire de chaque rectangle pour obtenir une approximation de l'aire sous la courbe. Mais devons-nous toujours utiliser des rectangles lorsque nous faisons une approximation de l'aire ? Bien sûr que non !

La règle du trapèze est une forme de la somme de Riemann. Cependant, la règle trapézoïdale utilise des trapèzesa> plutôt que des rectangles ! Il est intéressant de noter que l'utilisation de sous-régions trapézoïdales pour obtenir une approximation de la surface est généralement plus exacte que l'utilisation de rectangles. Dans cet article, nous allons explorer la dérivation, la formule et l'erreur de la règle trapézoïdale. Enfin, nous appliquerons la règle du trapèze à quelques exemples.

Définition de la règle trapézoïdale et formule de calcul de l'aire

Avant de voir comment cette technique est utilisée en pratique, définissons ce qu'est cette règle !

La règle des trapèzes estime l'aire sous la courbe en divisant la région en sous-régions trapézoïdales - StudySmarter Original

L'aire d'un trapèze est définie comme suit

$\frac{1}{2}\times (\mathrm{distance}\mathrm{between}\mathrm{each}\mathrm{<a\; data-studyset-id="22415639"\; data-summary-id="71933007"\; href="/resumes/mathematiques/mathematiques-pures/base/">base</a>})\times (\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{each}\mathrm{<a\; data-studyset-id="22415639"\; data-summary-id="71933007"\; href="/resumes/mathematiques/mathematiques-pures/base/">base</a>})$

En transposant cette formule à la figure ci-dessus, nous pouvons dire que l'aire du trapèze le plus à gauche est définie comme suit.

$\frac{1}{2}\times (∆x)\times \left(f\right(x_0)+f(x_1\left)\right)=\frac{∆x}{2}\times \left(f\left(x_0\right)+f\left(x_1\right)\right)$

De même, la formule de l'aire du 2e trapèze le plus à gauche est définie comme suit .

$\frac{1}{2}\times \left(∆x\right)\times \left(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right)=\frac{∆x}{2}\times \left(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right)$

La formule de l'aire de chaque trapèze est formulée de la même façon. La règle trapézoïdale stipule que nous pouvons estimer l'aire sous la courbe en additionnant l'aire de chacun de ces trapèzes. La règle trapézoïdale est obtenue en factorisant $\frac{∆x}{2}$ et en additionnant la longueur de chaque base, où $f\left(x_1\right)$ à travers $f\left(x_{n-1}\right)$ sont multipliées par un facteur de deux parce qu'il s'agit de bases partagées par d'autres trapèzes.

Ensuite, pour l'approximation de l'intégrale définie d'une fonction f(x), la règle trapézoïdale s'énonce comme suit

où n est le nombre de trapèzes, $∆x=\frac{b-a}{n}$et $x_i=a+i∆x$.

Surestimation et sous-estimation à l'aide de la règle trapézoïdale

Regarde à nouveau le graphique sous la définition de la règle trapézoïdale. Remarque que certaines sous-régions trapézoïdales restent sous le graphique alors que d'autres sous-régions dépassent le graphique. Lorsque le graphique est "concave vers le haut" (le graphique se courbe vers le haut), les sous-régions ont tendance à surestimer l' aire sous la courbe.

Lorsque le graphique est "concave vers le bas" (le graphique s'incline vers le bas), les sous-régions ont tendance à sous-estimer l'aire sous la courbe. En se basant sur la concavité d'une fonction, on peut utiliser cette observation pour savoir si la règle trapézoïdale surestimera ou sous-estimera l'aire sous la courbe.

Tu trouveras ci-dessous un exemple graphique illustrant la différence entre une surestimation et une sous-estimation.

Remarque que les trapèzes s'étendent au-dessus de la fonction lorsqu'il y a surestimation et se situent en dessous de la fonction lorsqu'il y a sous-estimation - StudySmarter Originals

Limites d'erreur de la règle trapézoïdale

Comme les techniques d'intégration numérique, comme la règle trapézoïdale, sont une estimation, le calcul de l'erreur de cette estimation est incroyablement important.

Erreur relative

En faisant preuve de bon sens, nous calculons l'erreur relative d'un calcul de la règle trapézoïdale (exprimée en pourcentage) à l'aide de la formule de l'erreur relative :

où $T_n$ est l'approximation de l'intégrale par la règle trapézoïdale et ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ est la surface réelle.

Erreur absolue

En plus de l'erreur relative, l'erreur absolue de notre approximation à l'aide de la règle du trapèze peut être calculée à l'aide de la formule de l'erreur absolue :

$\begin{array}{rcl}Absoluteerror& =& \left|approximation-actual\right|\\ & =& \left|T_n-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\right|\end{array}$

Limites d'erreur pour la règle trapézoïdale

Nous pouvons utiliser une formule de limite d'erreur pour nous indiquer la surface maximale possible de notre approximation. Pour la règle trapézoïdale, la formule de limite d'erreur est la suivante

$\left|E_T\right|\le \frac{K{\left(b-a\right)}^3}{12n^2}$ pour $\left|f\text{'}\text{'}\left(x\right)\right|\le K$

où $E_T$ est l'erreur exacte pour la règle trapézoïdale et $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ est la dérivée seconde de f(x). Essentiellement, K est la valeur maximale de la dérivée seconde sur l'intervalle [a, b].

L'utilisation de la limite d'erreur aura plus de sens lorsque nous aurons travaillé sur quelques exemples.

Exemples d'utilisation de la règle du trapèze pour estimer l'intégrale

Exemple 1

Règle trapézoïdale et règle de Simpson

L'estimation des surfaces à l'aide de trapèzes et de rectangles utilise des lignes droites sur le dessus de la forme. En lisant l'article sur la règle de Simpson, tu découvriras que nous remplaçons les lignes droites des trapèzes et des rectangles par une courbe (plus précisément, une courbe parabolique). Tu trouveras plus d'informations à ce sujet dans l'article sur la règle de Simpson !