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Signification des maxima et minima des fonctions
Une fonction est une règle qui attribue une sortie à chaque entrée donnée dans son domaine. Certains de ces résultats peuvent être supérieurs à d'autres, ce qui nous amène à nous poser les questions suivantes :
Existe-t-il une sortie qui est plus grande que toutes les autres sorties ?
Existe-t-il un résultat inférieur à tous les autres ?
Ces valeurs de sortie élevées et faibles sont connues sous le nom d'extrema. La valeur de sortie la plus élevée est un maximum et la valeur de sortie la plus basse est un minimum. Au pluriel, on les appelle respectivement maxima et minima.
Il existe deux types de maxima et de minima : globaux et locaux. Nous allons explorer ces deux types d'extrema et la façon de les trouver.
Maxima et minima absolus
Le maximum absolu d'une fonction, ou maximum global, est la plus grande sortie de la fonction sur l'ensemble de son domaine.
Le maximum absolu, ou maximum global, d'une fonction est la plus grande sortie de la fonction dans son domaine. Si est le maximum absolu d'une fonction
, alors
pour tout
dans le domaine de la fonction.
Le minimum absolu, ou minimum global, est défini de la même façon comme la plus petite sortie de la fonction sur l'ensemble de son domaine.
Le minimum absolu, ou minimum global, d'une fonction est la plus petite sortie dans le domaine de la fonction. Si est le minimum absolu d'une fonction
, alors
pour tous les
du domaine de la fonction.
Toutes les fonctions n'ont pas un maximum ou un minimum global. Les fonctions peuvent en avoir un, aucun, ou les deux.
Les paraboles sont un bon exemple de fonctions qui ont un maximum ou un minimum global. Examinons le graphique de la fonction :
Fig. 1 : Graphique de la parabole.
Cette parabole a un minimum au sommet,. Elle a donc un minimum global situé à
, et sa valeur est la valeur y du sommet, qui est
.
La parabole est définie pour tous les nombres réels, les sorties continueront donc d'augmenter à mesure que augmente ou diminue. Par conséquent, la fonction n'a pas de maximum global.
Mais que se passe-t-il si la fonction n'est pas définie sur tous les nombres réels? Jetons un coup d'œil à l'exemple suivant.
Considère le graphique suivant :
Fig. 2 : Graphique de la parabole sur un domaine plus petit.
Il s'agit de la même fonction que précédemment, , mais son domaine est maintenant limité à
. Son maximum se trouve au point
. Elle a donc un maximum global à
, et sa valeur est
.
Il est intéressant de noter que la parabole a toujours la même valeur minimale globale de 1.
Certaines fonctions peuvent ne pas avoir de maximum ou de minimum !
Cette fois-ci, nous allons examiner le graphique de la fonction linéaire .
Fig. 3:Graphique de la fonction linéaire.
Cette fonction est définie pour tous les nombres réels. Ses sorties continueront à diminuer vers la gauche et à augmenter vers la droite. Par conséquent, cette fonction n'a pas de maximum ou de minimum global.
Maxima et minima relatifs
Le maximum relatif d'une fonction, ou maximum local, est une sortie qui est plus grande que les sorties directement à côté d'elle. Cela implique que l'on peut trouver un intervalle autour de lui de telle sorte que cette sortie soit plus grande que toutes les autres sorties des valeurs de l'intervalle choisi.
On dit qu'une fonction a un maximum relatif, ou un maximum local, à
s'il existe un intervalle
contenant
tel que
pour tout
dans cet intervalle. La valeur
est un maximum relatif.
Un minimum relatif, ou minimum local, est défini de la même façon comme une sortie inférieure aux sorties directement voisines.
On dit qu'une fonction a un minimum relatif ou un minimum local à
s'il existe un intervalle
contenant
tel que
pour tous les
dans cet intervalle. La valeur
est un minimum relatif.
Mais comment trouver le maximum ou le minimum local ? Jetons un coup d'œil au graphique de la fonction.
Considère le graphique d'une fonction cubique.
Fig. 4 : Graphique d'une fonction cubique avec des extrema relatifs.
Nous pouvons identifier les extrema relatifs comme étant les pics et les vallées du graphique. Nous pouvons voir un pic à , ce qui signifie qu'il s'agit d'un maximum local. Nous pouvons également voir une vallée à
, ce qui signifie qu'il s'agit d'un minimum local.
Note que cette fonction n'a pas de minimum global car ses valeurs continuent de diminuer vers la gauche. De même, elle n'a pas de maximum global car ses valeurs continuent d'augmenter vers la droite.
Il convient également de noter que la fonction passe d'une valeur croissante (pente positive) à une valeur décroissante (pente négative) au niveau d'un maximum local. De même, à un minimum local, la fonction passe de décroissante à croissante. À ces endroits, si le graphique est une courbe lisse, la pente de la fonction est égale à 0. Cette observation est importante car elle nous permet d'utiliser le calcul, en particulier les dérivées, pour trouver des extrema relatifs lorsque nous ne disposons pas d'un graphique.
Utilisation des dérivées pour trouver les maxima et les minima
Dans l'exemple précédent, nous disposions d'un graphique et la recherche des extrema relatifs était une tâche visuelle. Cependant, nous n'aurons pas toujours le graphique d'une fonction. Que pouvons-nous faire dans ce cas ?
Nous pouvons utiliser ce que l'on appelle les tests des dérivées première et seconde. Ces tests sont basés sur le théorème de Fermat concernant les points stationnaires.
Lethéorème de Fermat stipule que, si une fonction a un extremum relatif à
et que la fonction est différentiable à ce point, alors
.
Les points où la dérivée d'une fonction est égale à 0 sont appelés points stationnaires. La pente de la fonction à un point stationnaire est égale à 0.
Si nous reprenons l'exemple de la fonction cubique, nous pouvons observer que le maximum et le minimum relatifs sont également des points où la pente du graphique est égale à 0. Traçons des lignes tangentes aux extrema relatifs !
Fig. 5. Graphique d'une fonction cubique avec des lignes tangentes à ses extrema relatifs.
Il doit y avoir un lien entre les dérivées et les extrema relatifs.
Trouver les points stationnaires est ce que l'on appelle letest de la dérivée première. Un point stationnaire peut être un maximum ou un minimum local, ou n'être ni l'un ni l'autre. Pour le déterminer, nous utilisons ce que l'on appelle le test de la deuxième dérivée.
Le test de la dérivée seconde stipule que si est une fonction avec une dérivée seconde et que
est un point stationnaire, alors :
- Si
, alors
est un maximum local de
.
- Si
, alors
est un minimum local de
.
En d'autres termes, le test de la dérivée seconde nous dit ce qui suit :
- Si la dérivée seconde à un point stationnaire est négative, la fonction a un maximum local à ce point.
- Si la dérivée seconde à un point stationnaire est positive, la fonction a un minimum local à ce point.
Essayons de comprendre ce processus à l'aide d'un exemple.
Trouve les maxima et minima locaux de la fonction, s'il y en a.
Trouve la dérivée de f à l'aide de la règle de puissance.
Évalue-la à un point critique.
Applique le théorème de Fermat
Résous la question de c en la factorisant. Commence par diviser l'équation par 6.
Factorise le côté gauche de l'équation.
d onc et .
Trouve la dérivée seconde de f.
Évalue la dérivée seconde à chaque point critique.
et
Depuis, il existe un maximum local à .
Sa valeur est .
Puisqu'il y a un minimum local à .
Sa valeur est . Jetons un coup d'œil au graphique de la fonction pour voir si cela a un sens.
Fig. 6 : Graphique de la fonction cubique montrant ses extrema relatifs.
Nous avons trouvé les extrema relatifs exacts de la fonction !
Il est important de noter que sile test n'est pas concluant. Cela peut arriver parce que les graphiques ont des points avec une pente de zéro qui ne sont pas des extrema relatifs. Dans ce cas, il peut être intéressant d'inspecter le graphique de la fonction.
Trouve les extrema relatifs de la fonction .
Trouve la dérivée de en utilisant la règle de la puissance.
Évalue à un point critique.
Applique le théorème de Fermat.
Résous la question de c.
Trouve la dérivée seconde de .
Évalue la dérivée seconde au point critique.
Puisque nous ne pouvons rien conclure de ces tests. Jetons maintenant un coup d'œil au graphique de la fonction :
Fig. 7 : Graphique d'une fonction cubique sans extrema relatifs.
Note que cette fonction n'a pas d'extrema relatifs, même lorsque nous avons trouvé que sa dérivée à est égale à zéro. Ce point est toujours critique car la pente de la fonction est égale à 0 à cet endroit. Note que la fonction n'a pas non plus de maximum ou de minimum global !
D'autres informations sur la fonction peuvent être obtenues en trouvant plus de ses dérivées, en supposant qu'elles existent. C'est ce qu'on appelle le test de la dérivée d'ordre supérieur.
Formule des maxima et minima
Malheureusement, il n'existe pas de formule pour trouver les maxima et les minima d'une fonction. La localisation des extrema dépend entièrement du type de fonction et de la forme de son graphique.
Regarder le graphique de la fonction est toujours une bonne première étape ! Par exemple, si la fonction est une parabole s'ouvrant vers le bas, tu peux trouver son maximum global en trouvant son sommet. Si tu dois trouver des maxima et des minima locaux sans graphique, tu peux utiliser les tests de dérivée première et seconde que nous avons explorés plus haut.
Maxima et minima - Points clés à retenir
- Lemaximum absolu ou lemaximum global d'une fonction est la plus grande sortie de sa plage.
- Leminimum absolu ouglobal d'une fonction est la sortie la plus faible de sa plage.
- Un maximum relatif ou unmaximum local d'une fonction est une sortie qui est plus grande que les sorties qui l'entourent.
- Un minimum relatif ou un minimum local d'une fonction est une sortie inférieure aux sorties qui l'entourent.
- Minima est le pluriel de minimum. Maxima est le pluriel de maximum. Collectivement, ils sont connus sous le nom d'extrema.
- Letest de la dérivée première peut être utilisé pour trouver un éventuel maximum ou minimum local. Le test de la dérivéeseconde nous indique si le point est un maximum ou un minimum local.
- Le test de la dérivéeseconde n'est pas concluant si
, auquel cas il serait préférable de jeter un coup d'œil au graphique.
- Le test de la dérivéeseconde n'est pas concluant si
- Il n'existe pas de formule pour trouver les maxima ou les minima. Cela dépend de la fonction que tu étudies.
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