What is Investigating Méthode d'Euler?

AI Summary

Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.

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  • Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.

Étant donné la nature complexe des équations différentielles, ces équations ne peuvent souvent pas être résolues exactement. Cependant, il existe de nombreux algorithmes d'approximation pour résoudre les équations différentielles. L'un de ces algorithmes est connu sous le nom de méthode d'Euler. La méthode d'Euler repose sur une approximation linéaire car elle utilise quelques petites lignes tangentes dérivées d'une valeur initiale donnée.

Katherine Johnson, l'une des premières femmes afro-américaines à travailler comme scientifique pour la NASA, a utilisé la méthode d'Euler en 1961 pour permettre le premier vol spatial humain aux États-Unis. La méthode d'Euler a permis à Johnson d'estimer le moment où le vaisseau spatial devait ralentir pour commencer sa descente dans l'atmosphère, ce qui s'est traduit par un vol et un atterrissage réussis !

La formule de la méthode d'Euler

Révision de l'approximation linéaire

La formule qui sous-tend la méthode d'Euler devrait t'être familière. Rappelle-toi la formule d'approximation linéaire (que tu trouveras dans l'article Approximations linéaires et différentielles) pour f(x):


f(x)f(a)+f'(a)(x-a)


f(x) est la valeur de la fonction f au point x et a est un point de valeur initiale connu.


Méthode d'Euler approximation linéaire ligne tangente visualisation StudySmarterLa ligne tangente est formée à partir d'un point initial (a, f(a)) puis la pente de la ligne tangente est utilisée pour approximer la valeur de f(y) ; ici, le point (x, y) est l'approximation tandis que le point (x, f(y)) est la valeur réelle - StudySmarter Original


Formule de la méthode d'Euler

De même, la formule générale de la méthode d'Euler pour une équation différentielle de la forme y'=f(x, y). La seule différence entre la méthode d'Euler et l'approximation linéaire est que la méthode d'Euler utilise plusieurs itérations d'approximation pour trouver une valeur plus exacte. Avec la méthode d'Euler, nous utilisons x0 et y0, qui sont généralement donnés comme valeurs initiales, pour estimer la pente de la tangente à x1. Voici à quoi cela ressemble :


yi+1yi+hf(xi, yi)


yi+1est l'approximation de la valeur de la solution suivante,yiest la valeur actuelle,hest l'intervalle entre les étapes, et f(xi, yi) est la valeur de l'équation différentielle évaluée à (xi, yi).


Décomposons cette formule plus en détail.

Dérivation de la méthode d'Euler

Considère l'image ci-dessous.



Graphique d'approximation de la méthode d'Euler StudySmarterMéthode d'Euler Formule générale Intuition - StudySmarter Original

Avec un point initial (x0, y0)on peut trouver une ligne tangente avec une pente de f(x0, y0). Nous pouvons utiliser ces valeurs pour approximer le point (x1, y1)x1=x0+h ety1y0+hf(x0, y0) selon les principes de base de la géométrie des coordonnées. Cette opération peut être effectuée autant de fois que nécessaire. Cependant, il est important de mentionner que l'utilisation d'une taille de pas h plus petite produira une approximation plus précise. Un pas plus grand h produira une approximation moins précise.


Si y1 est une bonne approximation, l'utilisation de la méthode d'Euler nous donnera une bonne estimation de la solution réelle. Cependant, si y1 n'est pas une bonne approximation, la solution obtenue à l'aide de cette méthode sera également erronée !

Importance de la méthode d'Euler


Les équations différentielles sont couramment utilisées pour décrire les phénomènes du monde naturel avec des applications allant, en toute simplicité, du mouvement d'une voiture aux modèles de trajectoires de vaisseaux spatiaux. Malheureusement, ces équations ne peuvent pas être résolues directement étant donné leur complexité. C'est là qu'interviennent la méthode d'Euler et d'autres algorithmes d'approximation d'équations différentielles. Nous pouvons utiliser des algorithmes d'approximation d'équations différentielles, comme la méthode d'Euler, pour trouver une solution approximative. Une solution approximative est bien meilleure que pas de solution du tout !

Limites de la méthode d'Euler

Bien que la méthode d'Euler soit un algorithme simple et direct, elle est moins précise que beaucoup d'autres algorithmes similaires. Comme nous l'avons déjà mentionné, l'utilisation d'un pas plus petit h peut augmenter la précision, mais cela nécessite plus d'itérations et donc un temps de calcul déraisonnablement plus important. C'est pourquoi la méthode d'Euler est rarement utilisée dans la pratique. Cependant, la méthode d'Euler constitue une base pour des algorithmes d'approximation plus précis et plus utiles.

Exemples de la méthode d'Euler

Une méthode pas à pas

Considère l'équation différentielle dydx=6-2yx avec une valeur initiale dey(3)=1. Utilise h=0.2 pour obtenir une approximation de y(4).

Étape 1 : Trouve la pente de la ligne tangente au point initial.

Pour trouver la pente de la ligne tangente au point (3, 1)il suffit de l'introduire dans l'équation différentielle pour obtenir


dydx=6-213=163

Étape 2 : Trouver notre nouvelle valeur x

Pour trouver notre prochaine valeur x, nous ajoutons h à la valeur x initiale pour obtenir


x1=3+15=165

Étape 3 : Insère nos valeurs dans l'équation différentielle pour obtenir notre nouvelle approximation de la valeur y.

Nous avons donc :

  • Taille de l'étape, h=0.2=15
  • Valeur y initiale, y0 = 1
  • La pente de la ligne tangente à la valeur initiale, f(x0,y0) = 163

En branchant toutes nos valeurs, nous obtenons



y1y0+h·f(x0, y0)y11+151631+16153115


Ainsi, l'approximation de la solution à x = 3 + 0.2 = 3.2 est 3115 ou


y(3.2)3115


Étape 4 : Répète l'algorithme autant de fois que nécessaire pour obtenir y(4).

Étant donné que notre taille de pas est de 0,2, nous devrons répéter l'algorithme 4 fois de plus :

  • En utilisant 165, 3115: f165, 3115=6-23115165=11324, x2=175, y23115+1511324=361120
  • Utilisation 175, 361120: f175, 361120=6-2361120175=863204, x3=185, y3361120+15863204=2621680
  • En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant f185, 2621680: f185, 2621680=6-22621680185=47231224, x4=195, y42621680+1547231224=3539765
  • Utilisation f195, 3539765: f195, 3539765=6-23539765195=103642907, x5=4, y53539765+15103642907=913171


Enfin, nous avons obtenu notre approximation à y(4)9131715.339!

Lorsque tu résous plusieurs itérations de la méthode d'Euler, il peut être utile de construire un tableau pour chacune de tes valeurs ! Dans les problèmes itératifs comme celui-ci, les tableaux peuvent t'aider à organiser tes chiffres.

Pour ce problème, un tableau pourrait ressembler à ce qui suit :


(xi, yi)dy/dxh = 0.2xi+1yi+1
(3,1)163
1653115
165,311511324
175361120
175,361120863204
1852621680
185,262168047231224
1953539765
195,3539765103642907
4913171

Étape 5 : Vérifier l'erreur

Comme cet exemple spécifique peut être résolu directement, nous pouvons vérifier l'erreur globale de notre réponse.

La solution directe de l'équation différentielle est y=-45x2+2x. En introduisant x = 4, nous obtenons


y=-4516+8=8316=5.1875


Pour vérifier le pourcentage d'erreur, il suffit de calculer


% error =|exact-approximation|exact×100%=8316-9131718316×1002.92%


Notre erreur est relativement faible !

Nous utilisons des valeurs absolues dans le calcul du pourcentage d'erreur parce que nous ne nous soucions pas de savoir si notre approximation est supérieure ou inférieure à la valeur réelle, nous voulons simplement savoir à quelle distance elle se trouve !

Heureusement pour nous, tous les problèmes de la méthode d'Euler suivent le même algorithme simple.


Méthode d'Euler - Principaux enseignements

  • La méthode d'Euler est un outil d'approximation pour la résolution d'équations différentielles basé sur l'approximation linéaire.
  • La formule générale de la méthode d'Euler est la suivante yi+1yi+h·f(xi, yi)
    • yi+1est l'approximation de la valeur de la solution suivante,
    • yiest la valeur actuelle,
    • hest l'intervalle entre les étapes, et
    • f(xi, yi)est la valeur de l'équation différentielle évaluée à (xi, yi)
  • La méthode d'Euler est rarement utilisée dans les applications réelles car l'algorithme a tendance à être peu précis et nécessite un temps de calcul important.

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Gabriel Freitas

AI Engineer at StudySmarter

Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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