Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Étant donné la nature complexe des équations différentielles, ces équations ne peuvent souvent pas être résolues exactement. Cependant, il existe de nombreux algorithmes d'approximation pour résoudre les équations différentielles. L'un de ces algorithmes est connu sous le nom de méthode d'Euler. La méthode d'Euler repose sur une approximation linéaire car elle utilise quelques petites lignes tangentes dérivées d'une valeur initiale donnée.
Katherine Johnson, l'une des premières femmes afro-américaines à travailler comme scientifique pour la NASA, a utilisé la méthode d'Euler en 1961 pour permettre le premier vol spatial humain aux États-Unis. La méthode d'Euler a permis à Johnson d'estimer le moment où le vaisseau spatial devait ralentir pour commencer sa descente dans l'atmosphère, ce qui s'est traduit par un vol et un atterrissage réussis !
La formule qui sous-tend la méthode d'Euler devrait t'être familière. Rappelle-toi la formule d'approximation linéaire (que tu trouveras dans l'article Approximations linéaires et différentielles) pour f(x):
où f(x) est la valeur de la fonction f au point x et a est un point de valeur initiale connu.
La ligne tangente est formée à partir d'un point initial (a, f(a)) puis la pente de la ligne tangente est utilisée pour approximer la valeur de f(y) ; ici, le point (x, y) est l'approximation tandis que le point (x, f(y)) est la valeur réelle - StudySmarter Original
De même, la formule générale de la méthode d'Euler pour une équation différentielle de la forme . La seule différence entre la méthode d'Euler et l'approximation linéaire est que la méthode d'Euler utilise plusieurs itérations d'approximation pour trouver une valeur plus exacte. Avec la méthode d'Euler, nous utilisons x0 et y0, qui sont généralement donnés comme valeurs initiales, pour estimer la pente de la tangente à x1. Voici à quoi cela ressemble :
oùest l'approximation de la valeur de la solution suivante,est la valeur actuelle,est l'intervalle entre les étapes, et est la valeur de l'équation différentielle évaluée à .
Décomposons cette formule plus en détail.
Considère l'image ci-dessous.
Méthode d'Euler Formule générale Intuition - StudySmarter Original
Avec un point initial on peut trouver une ligne tangente avec une pente de . Nous pouvons utiliser ces valeurs pour approximer le point où et selon les principes de base de la géométrie des coordonnées. Cette opération peut être effectuée autant de fois que nécessaire. Cependant, il est important de mentionner que l'utilisation d'une taille de pas h plus petite produira une approximation plus précise. Un pas plus grand h produira une approximation moins précise.
Si y1 est une bonne approximation, l'utilisation de la méthode d'Euler nous donnera une bonne estimation de la solution réelle. Cependant, si y1 n'est pas une bonne approximation, la solution obtenue à l'aide de cette méthode sera également erronée !
Les équations différentielles sont couramment utilisées pour décrire les phénomènes du monde naturel avec des applications allant, en toute simplicité, du mouvement d'une voiture aux modèles de trajectoires de vaisseaux spatiaux. Malheureusement, ces équations ne peuvent pas être résolues directement étant donné leur complexité. C'est là qu'interviennent la méthode d'Euler et d'autres algorithmes d'approximation d'équations différentielles. Nous pouvons utiliser des algorithmes d'approximation d'équations différentielles, comme la méthode d'Euler, pour trouver une solution approximative. Une solution approximative est bien meilleure que pas de solution du tout !
Bien que la méthode d'Euler soit un algorithme simple et direct, elle est moins précise que beaucoup d'autres algorithmes similaires. Comme nous l'avons déjà mentionné, l'utilisation d'un pas plus petit h peut augmenter la précision, mais cela nécessite plus d'itérations et donc un temps de calcul déraisonnablement plus important. C'est pourquoi la méthode d'Euler est rarement utilisée dans la pratique. Cependant, la méthode d'Euler constitue une base pour des algorithmes d'approximation plus précis et plus utiles.
Considère l'équation différentielle avec une valeur initiale de. Utilise pour obtenir une approximation de .
Pour trouver la pente de la ligne tangente au point il suffit de l'introduire dans l'équation différentielle pour obtenir
Pour trouver notre prochaine valeur x, nous ajoutons h à la valeur x initiale pour obtenir
Nous avons donc :
En branchant toutes nos valeurs, nous obtenons
Ainsi, l'approximation de la solution à est ou
Étant donné que notre taille de pas est de 0,2, nous devrons répéter l'algorithme 4 fois de plus :
Enfin, nous avons obtenu notre approximation à !
Lorsque tu résous plusieurs itérations de la méthode d'Euler, il peut être utile de construire un tableau pour chacune de tes valeurs ! Dans les problèmes itératifs comme celui-ci, les tableaux peuvent t'aider à organiser tes chiffres.
Pour ce problème, un tableau pourrait ressembler à ce qui suit :
(xi, yi) | dy/dx | h = 0.2 | xi+1 | yi+1 |
Comme cet exemple spécifique peut être résolu directement, nous pouvons vérifier l'erreur globale de notre réponse.
La solution directe de l'équation différentielle est . En introduisant x = 4, nous obtenons
Pour vérifier le pourcentage d'erreur, il suffit de calculer
Notre erreur est relativement faible !
Nous utilisons des valeurs absolues dans le calcul du pourcentage d'erreur parce que nous ne nous soucions pas de savoir si notre approximation est supérieure ou inférieure à la valeur réelle, nous voulons simplement savoir à quelle distance elle se trouve !
Heureusement pour nous, tous les problèmes de la méthode d'Euler suivent le même algorithme simple.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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