Méthode d'Euler

La formule de la méthode d'Euler

Révision de l'approximation linéaire

La formule qui sous-tend la méthode d'Euler devrait t'être familière. Rappelle-toi la formule d'approximation linéaire (que tu trouveras dans l'article Approximations linéaires et différentielles) pour f(x):

$f\left(x\right)\approx f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)(x-a)$

où f(x) est la valeur de la fonction f au point x et a est un point de valeur initiale connu.

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Formule de la méthode d'Euler

De même, la formule générale de la méthode d'Euler pour une équation différentielle de la forme $y\text{'}=f(x,y)$. La seule différence entre la méthode d'Euler et l'approximation linéaire est que la méthode d'Euler utilise plusieurs itérations d'approximation pour trouver une valeur plus exacte. Avec la méthode d'Euler, nous utilisons _x0 et _y0, qui sont généralement donnés comme valeurs initiales, pour estimer la pente de la tangente à _x1. Voici à quoi cela ressemble :

$y_{i+1}\approx y_i+hf(x_i,y_i)$

où$y_{i+1}$est l'approximation de la valeur de la solution suivante,$y_i$est la valeur actuelle,$h$est l'intervalle entre les étapes, et $f(x_i,y_i)$ est la valeur de l'équation différentielle évaluée à $(x_i,y_i)$.

Décomposons cette formule plus en détail.

Dérivation de la méthode d'Euler

Considère l'image ci-dessous.

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Avec un point initial $(x_0,y_0)$on peut trouver une ligne tangente avec une pente de $f(x_0,y_0)$. Nous pouvons utiliser ces valeurs pour approximer le point $(x_1,y_1)$ où $x_1=x_0+h$ et$y_1\approx y_0+hf(x_0,y_0)$ selon les principes de base de la géométrie des coordonnées. Cette opération peut être effectuée autant de fois que nécessaire. Cependant, il est important de mentionner que l'utilisation d'une taille de pas h plus petite produira une approximation plus précise. Un pas plus grand h produira une approximation moins précise.

Importance de la méthode d'Euler

Les équations différentielles sont couramment utilisées pour décrire les phénomènes du monde naturel avec des applications allant, en toute simplicité, du mouvement d'une voiture aux modèles de trajectoires de vaisseaux spatiaux. Malheureusement, ces équations ne peuvent pas être résolues directement étant donné leur complexité. C'est là qu'interviennent la méthode d'Euler et d'autres algorithmes d'approximation d'équations différentielles. Nous pouvons utiliser des algorithmes d'approximation d'équations différentielles, comme la méthode d'Euler, pour trouver une solution approximative. Une solution approximative est bien meilleure que pas de solution du tout !

Limites de la méthode d'Euler

Bien que la méthode d'Euler soit un algorithme simple et direct, elle est moins précise que beaucoup d'autres algorithmes similaires. Comme nous l'avons déjà mentionné, l'utilisation d'un pas plus petit h peut augmenter la précision, mais cela nécessite plus d'itérations et donc un temps de calcul déraisonnablement plus important. C'est pourquoi la méthode d'Euler est rarement utilisée dans la pratique. Cependant, la méthode d'Euler constitue une base pour des algorithmes d'approximation plus précis et plus utiles.

Exemples de la méthode d'Euler

Une méthode pas à pas

Heureusement pour nous, tous les problèmes de la méthode d'Euler suivent le même algorithme simple.