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Signification de l'antidérivée
La plupart du temps, tu asbesoin de savoir comment trouver les antidérivées pour le processus d'intégration. Pour approfondir la question de l'intégration, consulte cet article sur les intégrales.
L'antidérivée d'une fonction \N(f\N) est toute fonction \N(F\N) telle que \N[F'(x)=f(x).\N].
Remarque : les antidérivées sont généralement notées en utilisant la version majuscule du nom de la fonction (c'est-à-dire que l'antidérivée de \(f\) est \(F\) comme indiqué dans la définition).
Essentiellement, l'antidérivée est une fonction qui te donne ta fonction actuelle comme dérivée.
Pour trouver une antidérivée, tu dois très bien connaître les règles de différenciation. Pour quelques rappels sur les règles de différenciation courantes, consulte ces articles sur les Règles de différenciation et les Dérivées de fonctions spéciales ou vois le tableau ci-dessous sous "Règles d'antidérivation".
Par exemple, si tu as la fonction \(f(x)=2x\) et que tu dois trouver l'antidérivée, tu dois te demander : "Quelle fonction donnerait ce résultat comme dérivée ?" Tu es probablement assez familier avec la recherche de dérivées pour savoir que \[\frac{d}{dx}(x^2)=2x.\N] Donc, une antidérivée de \(f(x)=2x\N) est \[F(x)=x^2.\N].
Tu peux aussi reconnaître que la fonction \(F(x)=x^2\) n'est pas la seule fonction qui te donnera une dérivée de \(f(x)=2x\). La fonction \(F(x)=x^2+5\), par exemple, te donnera la même dérivée et est également une anti-dérivée. Étant donné que la dérivée de toute constante est \N(0\N), il existe une infinité d'antidérivées de \N(f(x)=x^2\N) de la forme \N[F(x)=x^2+C.\N]\N- La dérivée de toute constante est \N(0\N).
Antidérivée et intégrale
Les antidérivées et les intégrales sont souvent confondues. Et ce n'est pas sans raison. Les antidérivées jouent un rôle important dans l'intégration. Mais il existe quelques différences.
Lesintégrales peuvent être divisées en deux groupes : les intégrales indéfinies et les intégrales définies.
Les intégralesdéfinies ont des bornes appelées bornes d'intégration. Le but d'une intégrale définie est de trouver l'aire sous la courbe pour un domaine spécifique. Ainsi, une intégrale définie sera égale à une seule valeur. La forme générale d'une intégrale définie ressemblera à quelque chose comme \N[\Nint_a^b f(x)dx.\N].
Les variables \(a) et \(b) seront des valeurs de domaine, et tu trouveras l'aire sous la courbe \(f(x)\) entre ces valeurs.
Le graphique ci-dessous montre un exemple d'intégrale définie. La fonction considérée ici est \(f(x)=x^2-2\), et la région ombrée représente l'intégrale définie \(\int_{-1}^{1} x^2-2 dx\).
Fig. 1. Exemple de région ombrée représentée par une intégrale définie.
Les intégralesindéfiniesn'ont pas de bornes et ne sont pas limitées à un intervalle particulier du graphique. Elles doivent également prendre en compte le fait qu'une fonction donnée possède une infinité d'antidérivées en raison de la possibilité d'ajouter ou de soustraire une constante. Pour montrer qu'il existe de nombreuses possibilités pour une antidérivée, on ajoute généralement une variable constante \(C\), comme suit,
\[\Nint f(x)dx=F(x)+C.\N]
Cela te permet de désigner toute la famille des fonctions qui pourraient te donner \(f(x)\) après différenciation et qui pourraient donc être des anti-dérivées.
Pour l'exemple de graphique ci-dessus de la fonction \(f(x)=x^2-2\), toutes les antidérivées possibles sont \(F(x)=\frac{1}{3}x^3-2x+c\). La valeur \(C\) est appelée la constante d'intégration. Tu trouveras ci-dessous quelques fonctions différentes que \(F\) pourrait être en changeant la constante d'intégration.
Fig. 2. Graphiques de quelques anti-dérivées de \(f(x)=x^2-2.\)
Si tu dois aller plus loin et résoudre \(C\) afin de trouver une fonction anti-dérivée spécifique, consulte l'article sur les problèmes de valeur initiale des anti-dérivées.
Formule de l'antidérivée
Si l'on considère à nouveau que la définition d'une antidérivée est toute fonction \(F\) qui te donne ta fonction \(f\) comme résultat de la différenciation, tu peux te rendre compte que cela signifie qu'il n'y aura pas une seule formule pour trouver toutes les antidérivées. À ce stade, tu as appris de nombreuses règles différentes pour différencier de nombreux types de fonctions (fonctions puissance, fonctions trigonométriques, fonctions exponentielles, fonctions logarithmiques, etc.) Par conséquent, si tu dois trouver l'antidérivée de différents types de fonctions, il y aura une variété de règles. Mais l'idée générale pour trouver une antidérivée est d'inverser les étapes de différenciation que tu connais. Tu trouveras dans le tableau ci-dessous, dans la section suivante, des formules spécifiques pour trouver l'antidérivée de fonctions courantes.
Propriétés des antidérivées
Certaines propriétés peuvent faciliter la recherche d'antidérivées pour certaines fonctions. La règle de la somme et la règle de la différence (expliquées dans l'article sur les règles de différenciation) s'appliquent toutes deux aux anti-dérivées comme aux dérivées.
Rappelle que la différenciation est linéaire, ce qui signifie que la dérivée d'une somme de termes est égale à la somme des dérivées des termes individuels, et que la dérivée d'une différence de termes est égale à la différence des dérivées des termes individuels .
L'intégration est également linéaire. L'antidérivée de la somme de termes multiples est égale à la somme des antidérivées des termes individuels, il en va de même pour \[\int f(x) \pm g(x) dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx=F(x)\pm G(x)+C.\N].
La règle du multiple constant s'applique également aux antidérivées. L'antidérivée d'une fonction qui est multipliée par une constante \(k\) est égale à la constante \(k\) multipliée par l'antidérivée de la fonction. Tu peux essentiellement "éliminer" une constante de l'intégrale avant de trouver l'antidérivée, \N[\Nint k\cdot f(x)dx=k\int f(x)dx=kF(x)+C.\N].
Les erreurs à éviter
Comme c'est le cas pour la plupart des choses en mathématiques, les règles qui s'appliquent à l'addition et à la soustraction ne s'appliquent pas dans la même mesure à la multiplication et à la division. Ainsi, il n'existe pas de propriété disant que l'antidérivée du produit ou du quotient de deux fonctions serait la même que le produit ou le quotient des antidérivées des fonctions, [\N-int f(x)\cdot g(x)dx \neq \int f(x)dx \cdot \int g(x)dx.\N-int g(x)dx].
La recherche d'antidérivées pour ce type de fonctions est beaucoup plus complexe. Rappelons que la règle du produit pour la différenciation est la suivante : [\frac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=f(x)\frac{dg}{dx}+g(x)\frac{df}{dx}.\]
Le fait de trouver des antidérivées de fonctions contenant des produits signifie donc que soit une règle de chaîne a été appliquée pendant la différenciation, soit la règle du produit a été utilisée. Pour t'attaquer à ce type d'antidérivées, tu peux consulter les articles sur l' intégration par substitution et l'intégration par parties.
Règles des antidérivées
Les règles pour trouver les antidérivées sont généralement l'inverse des règles pour trouver les dérivées. Tu trouveras ci-dessous un tableau montrant les règles anti-dérivées les plus courantes.
| Règle de différenciation | Règle anti-dérivée associée |
| La règle de la constante. \(\dfrac{d}{dx}(C)=0.\) | \N(\Nint 0dx=C.\N) |
| La règle de puissance. \(\dfrac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}.\) | \(\Nint x^ndx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C, n \Nneq -1.\N) |
| La règle exponentielle (avec \(e\)). \(\dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x.\) | \(\Nint e^xdx=e^x+C.\N) |
| La règle exponentielle (avec n'importe quelle base \(a\)). \(\dfrac{d}{dx}(a^x)=a^x \cdot \ln a.\N-) | \(\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C, a \neq 1.\N-) |
| La règle du logarithme naturel. \(\dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}.\) | \(\int \dfrac{1}{x}dx=\ln |x|+C.\N-) |
| La règle du sinus. \(\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x.\N) | \N(\Nint \Ncos xdx=\sin x + C.\N) |
| La règle du cosinus. \(\dfrac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x.\N- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n-) | \N(\Nint \Nsin xdx=-\Ncos x +C.\N) |
| La règle de la tangente. (\dfrac{d}{dx}(\tan x)= \sec^2 x.\N-sec^2 x.\N-sec^2 x.\N-sec^2 x.\N-sec^2 x.\N) | \N(\Nint \sec^2 xdx=\tan x + C.\N) |
| La règle de la cotangente. \(\dfrac{d}{dx}(\cot x)=-\csc^2 x.\N- \c^2 x.\N- \c^2 x.\N- \c^2 x.\N) | \(\int \csc^2 xdx=-\cot x + C.\N- \c^2 xdx=-\cot x + C.\N- \c^2 xdx) |
| La règle de la sécante. \(\dfrac{d}{dx}(\sec x)=\sec x \tan x.\N) | \(\int \sec x \tan xdx=\sec x + C.\) |
| La règle de la cosécante. \(\dfrac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x \cot x.\N- \c x.\N) | \(\int \csc x \cot x dx =-\csc x + C.\N-) |
Tableau 1. Règles de différenciation et leurs antidérivées.
Exemples d'antidérivées
Voyons quelques exemples qui utilisent les règles énoncées ci-dessus.
Disons qu'on te donne une fonction qui décrit la vitesse d'une particule, \(f(x)=x^3-10x+8\) où \(x\) est le temps en secondes du mouvement de la particule. Trouve toutes les fonctions de position possibles pour la particule.
Solution :
Tout d'abord, rappelle-toi que la vitesse est la dérivée de la position. Ainsi, pour trouver la fonction de position \N(F\N), tu dois trouver les anti-dérivées de la fonction de vitesse \N(f\N) qui t'est donnée, \N[\Nint 3x^2-10x+8dx=F(x).\N]Pour cette anti-dérivée, tu dois trouver la dérivée de la fonction de vitesse \N(f\N).
Pour cette antidérivée, tu peux commencer par utiliser la règle de la somme et la règle du multiple constant pour individualiser les termes. Ensuite, tu peux utiliser la règle de la puissance sur chaque terme pour trouver l'antidérivée de chaque terme individuel,
\N- [\N- Début{align} \int 3x^2-10x+8dx&=3\int x^2dx-10\int xdx+\int 8dx+C.\\\N-&=3\\Nà gauche(\frac{x^3}{3}\droite)-10\Nà gauche(\frac{x^2}{2}\droite)+8x+C.\N-\int 3x^2-10x+8dx&=x^3-5x^2+8x+C.\N-\Nend{align}\N-]
Ainsi, toutes les fonctions de position possibles pour \N(f\N) sont \N[F(x)=x^3-5x^2+8x+C.\N].
Les étapes suivantes dépendent du type de problème que l'on te demande de résoudre. On peut te demander de trouver une fonction de position spécifique en faisant un problème de valeur initiale. On peut aussi te demander de déterminer la distance parcourue par la particule pendant un intervalle de temps spécifique en résolvant un problème d'intégrale définie.
Voyons maintenant un exemple qui montre à quel point il est important de reconnaître les règles de dérivation.
Trouve toutes les anti-dérivées possibles \(F\) pour la fonction \(f(x)=\dfrac{5}{4x}\).
Solution :
Tout d'abord, tu utiliseras la règle du multiple constant pour éliminer les coefficients du numérateur et du dénominateur. Cela permet de nettoyer le problème et de reconnaître plus facilement la règle de dérivation recherchée, \[F(x)=\int \frac{5}{4x}dx=\frac{5}{4} \int \frac{1}{x}dx.\N-].
Si tu ne sais pas immédiatement quelle règle d'antidifférenciation appliquer ici, tu peux essayer d'inverser la règle de la puissance car elle fonctionne souvent lorsque la variable a des exposants négatifs et/ou fractionnaires. Mais tu te heurteras rapidement au problème d'obtenir \(x^0\) après avoir ajouté 1 à la puissance. C'est bien sûr un problème puisque \(x^0=1\) et donc \(x\) disparaîtraient ! Repense donc à tes règles de différenciation pour te rappeler quand tu as obtenu une dérivée de \(\frac{1}{x}\) comme résultat. C'est la dérivée de \(\ln x\). Tu peux donc l'utiliser pour trouver les anti-dérivées,
\N- [\N- Début{align} F(x)&=\frac{5}{4} \Nint \Nfrac{1}{x}dx.\N&=\frac{5}{4} (\ln |x|)+C.\\N-F(x)&=\frac{5}{4} \ln |x| + C \N- ou }\N-, F(x)=\ln |x|^{\frac{5}{4}}+C.\N- [end{align}\N].
Le dernier exemple peut s'avérer délicat. Remarque que le tableau d'antidérivées ci-dessus ne contient pas l'antidérivée de \(\tan x\). On dirait qu'il s'agit d'une antidérivée assez simple à trouver, n'est-ce pas ? Eh bien, ce n'est pas aussi simple que pour les sinus et les cosinus. Il faut connaître les propriétés trigonométriques et l'intégration par substitution.
Trouve l'antidérivée générale de \(f(x)=\tan x\).
Solution :
Comme la tangente n'est le résultat direct d'aucune des règles de différenciation, tu devras essayer quelque chose de différent pour elle. Commence par réécrire la tangente en utilisant les propriétés trigonométriques que tu connais,
\[\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x} dx.\]
Cela s'avère très utile car la dérivée du sinus est le cosinus et la dérivée du cosinus est le sinus négatif. Tu utiliseras ce fait pour effectuer une substitution. Ici, nous choisirons le cosinus pour \(u\),
\N- [\N- u&=\Ncos x.\N- du&=\Nsin xdx.\N- du&\Nsin xdx.\N- -du&\Nsin xdx.\N- \Nend{align}\N].
Maintenant, fais ta substitution, \N[\Nint \Ntan xdx=-\Nint \Nfrac{1}{u}du.\N].
Tu peux voir ici que cela ressemble à la règle de dérivation du logarithme naturel :
\[\N- Début{alignement} \int \tan xdx&=-\int \frac{1}{u}du.\\N- \int \tan xdx&=-\ln |u| + C.\N- \end{align}\N]
Tu peux maintenant remplacer u par u,
\[\Nint \Ntan xdx=-\ln |cos x| +C.\N]
Il s'avère que la tangente est une fonction simple dont l'antidérivée n'est pas si simple.
Antidérivée des fonctions trigonométriques inverses
Les fonctions trigonométriques inverses sont un cas un peu étrange lorsqu'il s'agit de différenciation et d'intégration. Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses n'ont pas vraiment l'air d'être liées aux fonctions trigonométriques inverses elles-mêmes. Tu devrais faire attention aux intégrales résultant des fonctions trigonométriques inverses (explorées ici plus en profondeur). Pour rappel, tu trouveras ci-dessous un tableau présentant les règles de différenciation des fonctions trigonométriques inverses et les anti-dérivées associées :
| Règle de différenciation | Antidérivée associée |
| La règle de l'arcsinus. \(\dfrac{d}{dx}(\sin ^{-1}x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\) | \(\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin^{-1}x+C.\) |
| La règle d'Arccosine. \(\dfrac{d}{dx}(\cos^{-1}x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.\) | \(\int \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\cos^{-1}x+C.\) |
| La règle de l'arctangente. \(\dfrac{d}{dx}(\tan^{-1}x)=\dfrac{1}{1+x^2}.\) | \(\int \dfrac{1}{1+x^2}dx=\tan^{-1}x+C.\) |
| La règle de l'Arcsecant. \(\dfrac{d}{dx}(\sec^{-1}x)=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.\) | \(\int \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}dx=\sec^{-1}x+C.\) |
| La règle d'Arccosecant. \(\dfrac{d}{dx}(\csc^{-1}x)=\dfrac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.\) | \(\int \dfrac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}dx=\csc^{-1}x+C.\) |
| La règle de l'Arccotangente. \(\dfrac{d}{dx}(\cot^{-1}x)=\dfrac{-1}{1+x^2}.\) | \(\int \dfrac{-1}{1+x^2}dx=\cot^{-1}x+C.\) |
Tableau 2. Règles de différenciation pour les fonctions trigonométriques inverses et leurs antidérivées.
Les anti-dérivées des fonctions trigonométriques inverses ont beaucoup de choses à voir (mais elles ont au moins l'air un peu plus liées). Tu trouveras ci-dessous un tableau des antidérivées des fonctions trigonométriques inverses. Elles sont obtenues en utilisant les méthodes d'intégration par parties et d'intégration par substitution :
Tableau 3. Règles de différenciation des fonctions trigonométriques inverses et de leurs antidérivées.
| Fonction trigonométrique inverse | Antidérivées des fonctions trigonométriques inverses |
| Antidérivée de l'arcsinus. | \(\int \sin^{-1}xdx=x\sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2}+C.\) |
| Antidérivée de l'Arccosine. | \(\int \cos^{-1} xdx=x\cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2}+C.\) |
| Arctangente Antidérivée. | \(\int \tan^{-1} xdx=x\tan^{-1} x - \frac{1}{2} \ln |1+x^2|+C.\) |
| Arcsecant Antiderivative. | \(\int \sec^{-1} xdx=x\sec^{-1} x - \ln |x+\sqrt{x^2-1}|+C.\) |
| Antidérivée arccosecente. | \(\int \csc^{-1} xdx=x\csc^{-1} x + \ln |x+\sqrt{x^2-1}|+C.\) |
| Antidérivée de l'arccotangente. | \(\int \cot^{-1} xdx=x\cot^{-1}x + \frac{1}{2} \ln |1+x^2|+C.\) |
Tu te demandes peut-être d'où viennent ces antidérivées pour les fonctions trigonométriques inverses. Ci-dessous, nous allons voir comment trouver l'antidérivée de la fonction arcsinus. Ce processus fait appel à l'intégration par parties et à l'intégration par substitution, alors assure-toi d'abord d'être familier avec ces deux méthodes.
Nous commencerons par l'intégration par parties, ce qui signifie que notre fonction devra être divisée en deux parties, \N[\Nint \sin^{-1} xdx=\Nint \sin^{-1} x \Ncdot 1dx.\N].
Rappelons maintenant que l'intégration par parties \[\int udv=uv-\int vdu\] et que nous devons donc choisir nos parties. Une partie sera attribuée comme \(u\) et l'autre partie comme \(dv\). En utilisant la règle empirique LIATE (décrite dans l'article sur l'intégration par parties), nous choisirons \(u\) comme fonction trigonométrique inverse. Une fois que \(u\) et \(dv\) sont attribués, nous devons également trouver \(du\) et \(v\), comme suit :
| \N-(u=sin^{-1}x.\N) | \N-(v=x.\N) |
| \(du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx.\) | \N(dv=1dx.\N) |
Nous pouvons maintenant substituer chaque partie :
\N- [\N- Début{alignement} \int udv&=uv-\int vdu.\N- \int \sin^{-1}x \cdot 1dx&=x\sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx.\N- \end{align}\N- \cdot 1dx&=x\sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx.\N- \cend{align}\N-]
Nous devons maintenant nous concentrer sur le dernier terme, qui est une nouvelle intégrale. Pour trouver l'antidérivée de la deuxième intégrale, nous devrons utiliser l'intégration par substitution, également connue sous le nom de \(u\)-substitution. Pour cela, nous choisirons que,
\N-[\N-{align} u&=1-x^2.\N-{align} du&=-2xdx.\N-{frac{1}{2}du&=xdx.\N-{end{align}\N].
Ensuite, nous allons reprendre là où nous nous sommes arrêtés, mais en nous concentrant sur l'intégration du dernier terme à l'aide de la substitution \(u\)-choisie ci-dessus,
\N- [\N- Début{align}] \int \sin^{-1}xdx&=x\sin^{-1}x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx.\\N-&=x\sin^{-1}x-\int -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{u}}du.\\&=x\sin^{-1}x+ \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du.\N&=x\sin^{-1}x+\frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}du.\N\end{align}\]
À ce stade, pour intégrer, nous devons utiliser la règle de puissance,
\N- [\N- Début{align} \int \sin^{-1}xdx&=x\sin^{-1}x+\frac{1}{2} \left(\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right)+C.\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=x\sin^{-1}x+u^{\frac{1}{2}}+C.\\ xml-ph-0001@deepl.internal &=x\sin^{-1}x+\sqrt{u}+C.\\ xml-ph-0002@deepl.internal \end{align}\]
Et enfin, substitue \(u\) pour obtenir ton anti-dérivée finale, \[\int \sin^{-1}xdx=x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C.\N].
Les étapes pour trouver les antidérivées des autres fonctions trigonométriques inverses seront similaires, et tu devras employer des stratégies similaires.
Antidérivées - Points clés à retenir
- Une antidérivée de \(f\) est une fonction \(F\) telle que \(F'(x)=f(x).\) C'est une façon de "défaire" la différenciation.
- Il existe une infinité d'antidérivées pour toute fonction donnée, de sorte que la famille des fonctions antidérivées sera souvent écrite sous la forme d'une intégrale indéfinie définie comme \(\int f(x)=F(x)+C\).
- Il n'existe pas de formule unique pour trouver l'antidérivée. Il existe de nombreuses formules de base pour trouver l'antidérivée de fonctions courantes, basées sur des règles de différenciation communes.
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