What is Investigating Problèmes d'optimisation?

AI Summary

Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.

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  • Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.

L'idée première dans le monde des affaires est de maximiser le profit. Cependant, ce n'est pas aussi simple que d'essayer de vendre autant de produits que possible. D'autres facteurs et coûts entrent en jeu dans une entreprise, comme les salaires des employés, le coût de production, le coût des matériaux et le prix de la publicité. Souvent, la solution pour maximiser les profits neconsiste pas simplement à produire et à vendre autant de produits que possible.


L'optimisation mathématique peut aider à trouver la réponse qui maximise le profit en tenant compte des contraintes du monde réel. L' optimisation est l'une des applications les plus intéressantes du calcul dans le monde réel . Cet article définit plus en détail l'optimisation, ses autres applications et une méthode pour résoudre des problèmes d'optimisation simples.


Pour en savoir plus sur les problèmes d'optimisation de type commercial et économique, consulte notre article sur les applications aux affaires et à l'économie.

Signification des problèmes d'optimisation

L'optimisation mathématique est l'étude de la maximisation ou de la minimisation d'une fonction soumise à des contraintes, essentiellement la recherche de la solution la plus efficace et la plus fonctionnelle à un problème.

Les contraintes dans les problèmes d'optimisation représentent les facteurs limitatifs impliqués dans le problème de maximisation/minimisation. Dans notre exemple d'entreprise, les contraintes seraient le coût de la main-d'œuvre, de la production et de la publicité. Ces contraintes doivent être prises en compte dans nos calculs car elles peuvent grandement influencer la solution.


Tu as probablement appris et travaillé sur la recherche des valeurs extrêmes d'une fonction (maximums et minimums). L'optimisation est une application concrète de la recherche et de l'interprétation des valeurs extrêmes. Étant donné une équation qui modélise le coût, nous cherchons à trouver sa valeur minimale, ce qui permet de minimiser le coût. Étant donné une équation qui modélise les bénéfices, nous cherchons à trouver sa valeur maximale, ce qui permet de maximiser les bénéfices.

Applications et types de problèmes d'optimisation

En plus des applications commerciales dont nous avons parlé, l'optimisation est cruciale dans divers autres domaines. L'optimisation peut être aussi simple qu'un voyageur cherchant à minimiser le temps de transport. Nous pouvons également appliquer l'optimisation à la médecine, à l'ingénierie, aux marchés financiers, à la prise de décision rationnelle et à la théorie des jeux, ainsi qu'aux expéditions d'emballages.


L'optimisation est également très discutée en informatique. L'optimisation des programmes, l'optimisation de l'espace et du temps, et l'optimisation des logiciels sont cruciales pour écrire et développer des codes et des logiciels efficaces.


Les problèmes d'optimisation peuvent être très complexes, si l'on considère toutes les contraintes impliquées. Convertir les problèmes du monde réel en modèles mathématiques est l'un des plus grands défis. Au fur et à mesure que tu progresseras dans les cours de mathématiques de niveau supérieur, tu seras confronté à des problèmes d'optimisation plus complexes, avec davantage de contraintes à prendre en compte. En calcul, nous commencerons par des problèmes à plus petite échelle avec moins de contraintes. Cependant, la procédure de base est similaire pour tous les problèmes d'optimisation.

Méthode de résolution des problèmes d'optimisation en calcul

Avant de commencer à travailler sur des exemples d'optimisation, nous allons suivre une méthode générale étape par étape pour résoudre ces problèmes. Plus tard, nous appliquerons ces étapes en travaillant sur des exemples réels.

Étape 1 : Bien comprendre le problème

Les problèmes d'optimisation ont tendance à contenir beaucoup d'informations dans un problème court. La première étape pour travailler sur un problème d'optimisation consiste à lire attentivement le problème, en rassemblant des informations sur les quantités connues et inconnues, ainsi que sur les autres conditions et contraintes. Il peut être utile de mettre en évidence certaines valeurs dans le problème.

Étape 2 : Dessine un diagramme

Pour mieux visualiser le problème, il peut être utile de dessiner un diagramme, y compris les étiquettes des valeurs connues fournies dans le problème.

Étape 3 : Introduire les variables nécessaires

Déclare soigneusement les noms des variables pour les valeurs qui sont maximisées ou minimisées et les autres quantités inconnues.

Étape 4 : Établir le problème en trouvant des relations à l'intérieur du problème.

Utilise les valeurs connues et les variables que tu as déclarées pour créer une fonction. Tu dois définir ta fonction en fonction de ces valeurs et de ces variables sur la base de leur relation les unes avec les autres.

Étape 5 : Trouver les extrema absolus

Il existe plusieurs méthodes pour trouver les extrema absolus dans les problèmes d'optimisation.

La méthode de l'intervalle fermé

Si le domaine de ta fonction est un intervalle fermé, la méthode des intervalles fermés peut être un bon moyen de calculer les extrema absolus.


Cette méthode consiste à trouver toutes les valeurs critiques à l'intérieur de l'intervalle en définissant f'(x)=0 et en résolvant pour x. Chaque point critique, ainsi que les extrémités de l'intervalle, doivent être branchés sur f(x). Les extrema absolus sont la plus grande valeur et la plus petite valeur de f(x) aux points critiques.

Test de la dérivée première

Le test de la dérivée première pour les valeurs extrêmes absolues stipule que pour un point critique c d'une fonction f sur un intervalle :

  • si f'(x)>0 pour tout x<c et f'(x)<0 pour tout x>c, alors f(c) est la valeur maximale absolue de f(x)

  • si f'(x)<0 pour tout x<c et f'(x)>0 pour tout x>calors f(c) est la valeur minimale absolue de f(x)


En d'autres termes, si la fonction passe d'une valeur croissante à une valeur décroissante, il s'agit d'un maximum. Si la fonction passe d'une valeur décroissante à une valeur croissante, il s'agit d'un minimum.

Exemples de problèmes d'optimisation avec contraintes

Examinons un problème courant de maximisation.

Exemple 1

Tu es chargé d'entourer un champ rectangulaire d'une clôture. On te donne 400 pieds de matériel de clôture. Cependant, il y a une grange d'un côté du champ (la clôture n'est donc pas nécessaire d'un côté du champ rectangulaire). Quelles sont les dimensions du champ qui produiront la plus grande surface soumise aux 400 pieds de matériel de clôture ?


Nous allons résoudre ce problème en utilisant la méthode décrite dans l'article.

Étape 1 : Bien comprendre le problème

Tirons les informations importantes du problème.


Nous devons clôturer trois côtés d'un champ rectangulaire de façon à maximiser la superficie du champ. Cependant, nous n'avons que 400 pieds de matériel de clôture à utiliser. Le périmètre du rectangle doit donc être inférieur ou égal à 400 pieds.

Étape 2 : Dessine un diagramme

Il n'est pas nécessaire d'être un artiste pour dessiner un diagramme du problème !


Problèmes d'optimisation diagramme du problème d'optimisation des clôtures StudySmarterLe diagramme du problème de la clôture nous aide à mieux visualiser le problème - StudySmarter Original

Étape 3 : Introduis les variables nécessaires

En regardant le diagramme ci-dessus, nous avons déjà introduit quelques variables. Nous allons laisser la hauteur du rectangle être représentée par h. La largeur du rectangle sera représentée par w.


h=heightw=width


Nous pouvons donc calculer la surface et le périmètre comme suit


Area=h×wPerimeter = h+2w


Étape 4 : Établir le problème en trouvant des relations à l'intérieur du problème

Le problème de la clôture nous demande de maximiser la surface Asous réserve que le périmètre P doit être supérieur ou inférieur à 400 pieds. Intuitivement, nous savons que nous devrions utiliser les 400 pieds de clôture pour maximiser la surface.


Notre problème est donc le suivant :


maximize A=h×wsuch that P=400=h+2w


Puisque nous cherchons à maximiser la surface, nous devons écrire la surface en fonction du périmètre pour obtenir une seule équation. Dans cet exemple, nous écrirons l'équation de la surface en fonction de la largeur, A(w).


Résolvons d'abord la question de la hauteur, h:


400=h+2wh=400-2w


Maintenant, introduis l'aire en fonction de l'équation de la largeur, A(w)


A(w)=(400-2w)(w) =400w-2w2


Dans ce cas, nous avons résolu la variable h pour écrire l'équation de la surface en termes de largeur. En effet, la résolution de h ne donne pas de réponse fractionnaire, ce qui rend le travail plus "facile" pour la plupart des élèves. Il est tout à fait possible de résoudre la largeur et d'écrire l'équation de la surface en termes de hauteur également ! Essaie et vois si tu obtiens la même réponse !

Étape 5 : Trouver les extrema absolus

Maintenant que nous avons une seule équation contenant toutes les informations du problème, nous voulons trouver le maximum absolu de A(w). Nous pouvons définir un intervalle pour w afin d'utiliser la méthode des intervalles fermés.


Pour commencer, nous savons que w ne peut pas être inférieur à 0. Si nous laissons h=0, d'après notre équation du périmètre, nous avons


P=h+2w400 = 2ww=200



Cela nous indique que si h=0, la largeur maximale possible est de 200. Notre intervalle fermé pour w est [0,200].


Pour appliquer la méthode des intervalles fermés :


Trouve d'abord les extrema de A(w) en prenant la dérivée et en la fixant à 0.


A'(w)=400-4w0=400-4w4w=400w=100


Deuxièmement, introduis les valeurs critiques w=0, w=100, and w=200 into A(w) et identifie la plus grande surface.


A(0)=400(0)-2(02) =0


A(100)=400(100)-2(1002) =20000


A(200)=400(200)-2(2002) =0


Ainsi, la plus grande valeur de A se produit à w=100A=20,000 ft2.


Nous pouvons le confirmer en utilisant le test de la première dérivée.


Graphique A'(w)...


Problèmes d'optimisation Premiers dérivés Test graphique StudySmarterNous pouvons appliquer le test de la dérivée première au graphique de la dérivée - StudySmarter Original


A'(w) Il est clair que la dérivée n'est égale à 0 qu'en un seul point, w=100. Pour tout c<100, A'(w) est positif (au-dessus de l'axe des x). Pour tout c>100, A'(w) est négatif (en dessous de l'axe des x). Donc, selon le test de la dérivée première, w=100 est le maximum absolu de A(w).


Insère w=100 à notre équation du périmètre pour trouver ce que devrait être h.


400=h+2(100)h=200


Par conséquent, pour maximiser la surface délimitée par la clôture tout en respectant nos contraintes matérielles, nous devrions utiliser un rectangle d'une largeur de 100 pieds et d'une hauteur de 200 pieds.

Exemple 2

Essayons maintenant de résoudre un problème de minimisation.

Tu es chargé de construire une boîte de conserve qui contient 1 litre de liquide. Pour maximiser le profit, tu dois construire la boîte de manière à minimiser les matériaux utilisés pour la fabriquer. Quelle est la surface minimale requise pour la boîte de conserve ?


Là encore, nous allons résoudre ce problème en utilisant la méthode décrite dans l'article.

Étape 1 : Bien comprendre le problème

Tirons les informations importantes du problème.


Nous devons construire une boîte de conserve qui contient 1 litre de liquide tout en minimisant les matériaux utilisés pour la construire. Essentiellement, cela signifie que nous devons minimiser la surface de la boîte de conserve.

Étape 2 : Dessine un diagramme

Grâce à ce diagramme, nous pouvons mieux comprendre ce que le problème nous demande de faire.


Problèmes d'optimisation diagramme de problème d'optimisation en volume StudySmarterLe diagramme du problème de la boîte de conserve nous aide à mieux visualiser le problème - StudySmarter

Étape 3 : Introduire les variables nécessaires

En regardant le diagramme ci-dessus, nous avons déjà introduit quelques variables. Le rayon de la boîte cylindrique sera représenté par r. La hauteur du cylindre sera représentée par h. Ainsi, le volume du cylindre V est V=πr2h et la surface du cylindre A est A=2πrh+2πr2.

Étape 4 : Établir le problème en trouvant des relations à l'intérieur du problème

Le problème de la canette nous demande de minimiser l'aire de surface A tout en respectant la contrainte selon laquelle la boîte doit contenir au moins 1 litre. Intuitivement, nous savons que pour minimiser la surface, nous devons construire une boîte de conserve pouvant contenir 1 litre de liquide. Cependant, comme nous cherchons une mesure de longueur pour r et hnous devons convertir les litres en centimètres cubes. Ainsi, nous devrions construire une boîte de conserve qui contient 1 000 cm3 de liquide.


Notre problème devient donc :


minimize A=2πrh+2πr2subject to V=1000=πr2h


Puisque nous cherchons à minimiser la surface, nous devons écrire la surface en fonction du volume pour obtenir une seule équation.


Résolvons d'abord h:


1000=πr2hh=1000πr2


Maintenant, introduis l'équation de la surface dans l'équation du volume :


A=2πr1000πr2+2πr2A=2000r+2πr2

Étape 5 : Trouver les extrema absolus

Maintenant que nous avons une seule équation contenant toutes les informations du problème, nous voulons trouver le minimum absolu de A.


Nous savons que r>0. Cependant, nous n'avons pas de limite supérieure pour r.


Tout d'abord, nous allons trouver les extrema de A en prenant la dérivée et en la fixant à 0.


A'=4πr-2000r20=4πr-2000r2

Représentation graphique de la dérivée :


Problèmes d'optimisation Test de dérivée première graphique StudySmarterNous pouvons appliquer le test de la dérivée première au graphique de la dérivée - StudySmarter Original


Nous pouvons voir A'=0 en un point. Nous pouvons confirmer que le point r=5.4192608391249 est un minimum absolu pour A en appliquant le test de la première dérivée. En regardant le graphique, pour tout c<5.4192608391249, A'(r) est négatif (en dessous de l'axe des x). Pour tout c>5.4192608391249, A'(w) est positif (au-dessus de l'axe des x). Donc, selon le test de la dérivée première, r=5.4192608391249 est le maximum absolu de A(r).


Insérons r=5.4192608391249 à notre équation de volume pour trouver ce que devrait être h devrait être.


1000=π(5.4192608391249)2h h=10.8385208518578


Ainsi, pour construire une boîte de conserve d'une contenance d'au moins 1 litre, la surface minimale requise est de


A=2π(5.4192608391249)(10.8385208518578)+2π(5.4192608391249)2 A=553.58 cm2


Problèmes d'optimisation - Principaux enseignements

  • L'optimisation mathématique est l'étude de la maximisation ou de la minimisation d'une fonction soumise à des contraintes, c'est-à-dire la recherche de la solution la plus efficace et la plus fonctionnelle à un problème.
    • L'optimisation est une application concrète de la recherche et de l'interprétation des valeurs extrêmes.
  • La résolution des problèmes d'optimisation peut sembler décourageante au début, mais il est utile de suivre une procédure étape par étape :
    • Étape 1 : Comprends parfaitement le problème
    • Étape 2 : dessiner un diagramme
    • Étape 3 : Introduire les variables nécessaires
    • Étape 4 : Définir le problème en trouvant les relations au sein du problème
    • Étape 5 : Trouver les extrema absolus
  • Pour trouver les extrema absolus, utilise la méthode de l'intervalle fermé ou le test de la première dérivée.



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Gabriel Freitas

AI Engineer at StudySmarter

Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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