Qu'est-ce que la règle de Simpson en mathématiques?

La règle de Simpson est une méthode de quadrature numérique pour approximer l'intégrale définie d'une fonction.

Comment utiliser la règle de Simpson?

Pour utiliser la règle de Simpson, on subdivise l'intervalle d'intégration en segments pairs et on applique une formule spécifique en utilisant des valeurs de la fonction à ces points.

Pourquoi utiliser la règle de Simpson?

On utilise la règle de Simpson car elle offre une approximation plus précise de l'intégrale comparée à d'autres méthodes simples comme la méthode des trapèzes.

Quelle est la formule de la règle de Simpson?

La formule de la règle de Simpson est: ∫(a à b) f(x) dx ≈ (b - a)/6 [f(a) + 4f((a + b)/2) + f(b)].

What is Investigating Règle de Simpson?

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Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.

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Alors que le schéma des coefficients de la règle du trapèze est 1, 2, 2, ..., 2, 1, le schéma des coefficients de la règle de Simpson est le suivant.

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La règle de Simpson exige un(n) ____ nombre de n sous-régions

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La règle de Simpson permet de trouver la réponse exacte à quel type d'équations ?

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Gabriel Freitas.

Quality reviewed by Gabriel Freitas.
Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.

Dans l'article La règle des trapèzes, nous avons discuté de la méthode qui consiste à additionner les aires des trapèzes pour obtenir une approximation des aires sous une fonction. Dans la plupart des cas, l'utilisation des trapèzes entraîne moins d'erreurs que l'utilisation des rectangles. Mais existe-t-il une méthode encore plus précise que la règle trapézoïdale ? La réponse est oui ! Comme la règle trapézoïdale, la règle de Simpson est une autre technique d'intégration numérique utilisée pour calculer approximativement une intégrale qui peut être trop difficile à calculer directement. Contrairement à la règle trapézoïdale, la règle de Simpson utilise une approximation polynomiale quadratique, ce qui en fait une technique d'estimation d'intégrale plus précise. Voyons plus en détail ce que nous entendons par là !

Définition de la règle de Simpson et formule pour l'aire

Avant de voir comment cette technique est utilisée dans la pratique, définissons cette règle !

Larègle de Simpson est une technique d'approximation intégrale qui divise l'aire sous la courbe en courbes plus petites. L'aire sous chaque courbe plus petite est additionnée pour obtenir une approximation de l'aire totale sous la courbe.

Dérivation de la règle de Simpson

La règle de Simpson utilise le simple fait que l'on peut construire une équation quadratique à partir de trois points quelconques. Comme la règle trapézoïdale, la règle de Simpson crée n sous-intervalles . Pour chaque paire de sous-intervalles consécutifs $[x_{i - 1}, x_{i}]$ et $[x_{i}, x_{i + 1}]$ la règle de Simpson construit une équation quadratique de la forme $y = a x^{2} + b x + c$ à travers les trois points $(x_{i - 1}, f (x_{i - 1})), (x_{i}, f (x_{i})), (x_{i + 1}, f (x_{i + 1}))$ .

En utilisant l'équation d'une courbe quadratique, nous pouvons trouver l'aire sous la courbe qui passe par les points $(x_{i - 1}, f (x_{i - 1})), (x_{i}, f (x_{i})), (x_{i + 1}, f (x_{i + 1}))$ . En posant $x_{i - 1} = - h, x_{i} = 0,$ et $x_{i + 1} = h$ et en intégrant sur l'intervalle $[- h, h]$ nous avons

$a r e a = \int_{- h}^{h} a x^{2} + b x + c d x = (\frac{a (h^{3})}{3} + \frac{b {(h)}^{2}}{2} + c (h)) - (\frac{a (- h^{3})}{3} + \frac{b {(- h)}^{2}}{2} + c (- h)) = \frac{2 a h^{3}}{3} + 2 c h = \frac{h}{3} (2 a h^{2} + 6 c)$

Dérivation de la règle de Simpson à l'aide d'une courbe parabolique StudySmarter La règle de Simpson construit des sous-intervalles de courbes quadratiques entre trois points - StudySmarter Originals

Puisque les points $x_{i - 1} = - h, x_{i} = 0,$ et $x_{i + 1} = h$ sont tous sur la parabole, on peut dire que

$f (- h) = a h^{2} - b h + c f (0) = c f (h) = a h^{2} + b h + c$

Note que

$2 a h^{2} + 6 c = f (- h) + 4 f (0) + f (h) = a h^{2} - b h + c + 4 c + a h^{2} + b h + c = 2 a h^{2} + 6 c$

On peut donc dire que l'aire sous la parabole est de

$a r e a = \frac{h}{3} (f (- h) + 4 f (0) + f (h))$

Cependant, lorsqu'on applique la règle de Simpson, on utilise généralement plus d'une courbe parabolique. Essentiellement, nous finissons par "intégrer" une fonction quadratique par morceaux. L'équation de l'aire devient donc

$a r e a \approx \frac{∆ x}{3} (f (x_{i - 1}) + 4 f (x_{i}) + f (x_{i + 1})) + \frac{∆ x}{3} (f (x_{i + 2}) + f (x_{i + 3}) + f (x_{i + 4}) + . . . + \frac{∆ x}{3} (f (x_{n - 2}) + f (x_{n - 1}) + f (x_{n}))$

où $∆ x$ est la distance entre chaque point $x_{i}$

Dérivation de la règle de Simpson à l'aide de courbes paraboliques StudySmarter La règle de Simpson construit une parabole à partir d'un groupe de trois points et additionne l'aire sous chaque courbe parabolique pour obtenir une approximation de l'aire totale sous la courbe - StudySmarter Originals

En simplifiant cette équation, on obtient une approximation de l'intégrale définie d'une fonction f(x) appelée règle de Simpson, qui stipule que

$\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{∆ x}{3} [f (x_{0}) + 4 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + 4 f (x_{3}) + 2 f (x_{4}) + . . . + 2 f (x_{n - 2}) + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_{n})]$

où n est le nombre de sous-intervalles, $∆ x = \frac{b - a}{n}$ et $x_{i} = a + i ∆ x$ .

Tout comme dans la règle trapézoïdale, l'augmentation de n augmentera également la précision de l'approximation de l'intégrale.

Erreur dans la règle de Simpson

Contrairement à la règle trapézoïdale, où nous pouvons déterminer si notre approximation est une surestimation ou une sous-estimation en fonction de la concavité de la courbe, il n'y a pas d'indicateurs clairs de surestimation ou de sous-estimation avec la règle de Simpson. Cependant, nous pouvons utiliser les erreurs relatives et absolues pour en savoir plus sur la façon dont notre estimation se compare à la valeur réelle.

Erreur relative

Nous calculons l'erreur d'un calcul de la règle de Simpson en utilisant la formule de l'erreur relative :

$\begin{array}{rcl} R e l a t i v e e r r o r & = & \frac{|a p p r o x i m a t i o n - a c t u a l|}{a c t u a l} \times 100 % \\ = & \frac{|S_{n} - \int_{a}^{b} f (x) d x|}{\int_{a}^{b} f (x) d x} \end{array}$

où $S_{n}$ est l'approximation de la règle de Simpson de l'intégrale.

Erreur absolue

En plus de l'erreur relative, l'erreur absolue de notre approximation à l'aide de la règle de Simpson peut être calculée à l'aide de la formule de l'erreur absolue :

$\begin{array}{rcl} A b s o l u t e e r r o r & = & |a p p r o x i m a t i o n - a c t u a l| \\ = & |S_{n} - \int_{a}^{b} f (x) d x| \end{array}$

Cependant, comme nous l'avons mentionné dans l'article La règle trapézoïdale, l'intégrale ne peut pas toujours être calculée exactement.

Limites d'erreur pour la règle de Simpson

Tout comme la règle trapézoïdale, la règle de Simpson possède une formule de limite d'erreur, qui décrit l'erreur maximale possible de notre approximation. Pour la règle de Simpson, la formule de limite d'erreur est la suivante

$|E_{S}| \leq \frac{K {(b - a)}^{5}}{180 n^{4}}$ pour $|f^{(I V)} (x)| \leq K$

où $E_{S}$ est l'erreur exacte pour la règle de Simpson et $f^{(I V)} (x)$ est la dérivée quatrième de f(x). K est la valeur maximale de la dérivée quatrième sur l'intervalle $[a, b]$ .

L'utilisation de la limite d'erreur prendra tout son sens une fois que nous aurons travaillé sur quelques exemples.

Avantages et limites de la règle de Simpson

Avantages de la règle de Simpson

La règle de Simpson est plus précise que la règle trapézoïdale.
La règle de Simpson est exacte pour les fonctions cubiques (de la forme $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ), les fonctions quadratiques et les fonctions linéaires

Pourquoi la règle de Simpson est-elle exacte pour les fonctions d'ordre 3 et moins ? La dérivée quatrième d'une fonction d'ordre 3 ou moins est 0 !

Limites

Comme il faut trois points pour obtenir une courbe quadratique, la règle de Simpson nécessite un nombre encore plus grand de sous-intervalles ( ). n
La règle de Simpson est peu précise pour les fonctions fortement oscillantes.

Exemples d'utilisation de la règle de Simpson pour estimer l'intégrale

Exemple 1

Utilise la règle de Simpson pour estimer l'intégrale $\int_{1}^{4} \frac{1}{1 + x} d x$ avec n = 6. Trouve ensuite le nombre minimum de sous-intervalles n pour garantir une erreur maximale de 0,001.

Heureusement, le processus de la règle de Simpson est très similaire à celui de la règle trapézoïdale.

Étape 1 : Trouver $∆ x$

Insère notre intervalle donné et le nombre pair de n sous-intervalles :

$∆ x = \frac{4 - 1}{6} = \frac{1}{2}$

Étape 2 : Insérer les valeurs connues dans la règle de Simpson.

Tout ce qu'il nous reste à faire, c'est d'introduire nos valeurs connues dans la formule de la règle de Simpson. Puisque notre intervalle est [1, 4] et que le problème nous demande d'utiliser n = 6 sous-régions, $x_{i} = 0 + i (\frac{1}{2})$ ce qui signifie que chaque sous-région a une largeur de $\frac{1}{2}$ unités.

id="5256599" role="math" $\begin{array}{rcl} \int_{1}^{4} \frac{1}{1 + x} d x & \approx & \frac{\frac{1}{2}}{3} [f (1) + 4 f (1.5) + 2 f (2) + 4 f (2.5) + 2 f (3) + 4 f (3.5) + f (4)] \\ \approx & \frac{1}{6} [\frac{1}{2} + \frac{4}{2.5} + \frac{2}{3} + \frac{4}{3.5} + \frac{2}{4} + \frac{4}{4.5} + \frac{1}{5}] \\ \approx & 0.9164 u n i t s^{2} \end{array}$

Remarque que le schéma des coefficients est 1, 4, 2, 4, 2, ..., 2, 4, 1.

Étape 3 : Considérer la limite d'erreur maximale

Utilisons notre formule de limite d'erreur pour voir exactement à quel point notre approximation est surestimée.

Dans la formule de la limite d'erreur $E_{S}$ notre seule valeur inconnue est K. Cependant, nous pouvons utiliser la dérivée quatrième de f(x) pour trouver K:

\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{1}{1 + x}, \\ f' (x) & = & \frac{- 1}{{(1 + x)}^{2}}, \\ f'' (x) & = & \frac{2}{{(1 + x)}^{3}}, \\ f''' (x) & = & \frac{- 6}{{(1 + x)}^{4}}, \\ f^{(I V)} (x) & = & \frac{24}{{(1 + x)}^{5}} \end{array}

Pour trouver K, nous devons considérer où $|f^{(I V)} (x) = \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}|$ atteindra sa valeur maximale sur l'intervalle [1, 4]. Nous pouvons représenter graphiquement $f^{(I V)} (x)$ pour trouver la valeur maximale sur l'intervalle.

Règle de Simpson 4e dérivée erreur limite calcul exemple StudySmarter La dérivée quatrième de f(x) = 1/(1+x) atteint un maximum à f(1) sur l'intervalle [1, 4] - StudySmarter Original

Nous pouvons voir que la dérivée quatrième atteint sa plus grande valeur à $f^{(I V)} (1) = \frac{24}{{(1 + 1)}^{5}} = \frac{3}{4}$ . Maintenant que toutes les valeurs de $E_{S}$ sont connues, nous pouvons les brancher pour trouver notre limite.

$\begin{array}{rcl} |E_{S}| & \leq & \frac{\frac{3}{4} {(4 - 1)}^{5}}{180 {(6)}^{4}} \\ \leq & \frac{1}{1280} \\ \leq & 0.00078 \end{array}$

Au maximum, l'erreur de notre estimation est de 0,00078.

Étape 5 : Trouve un minimum de n tel que l'erreur soit au plus égale à 0,001.

Il est clair que notre erreur pour n = 6 est inférieure à 0,001. Cependant, trouvons le minimum n nécessaire pour obtenir une erreur d'au plus 0,001.

Nous laissons n être une inconnue dans notre limite d'erreur.

$\begin{array}{rcl} \frac{\frac{3}{4} {(3)}^{5}}{180 n^{4}} & \leq & 0.001 \\ 1012.5 & \leq & n^{4} \\ \sqrt[4]{1012.5} & \leq & n \\ 5.641 & \leq & n o r - 5.641 \geq n \end{array}$

Nous pouvons ignorer la deuxième solution, $- 5.641 \geq n$ dans cette situation, car nous ne pouvons pas avoir un nombre négatif de sous-régions. Ainsi, pour que notre erreur soit au plus égale à 0,001, nous devons utiliser au moins 6 sous-régions.

Si tu te retrouves avec un nombre impair de sous-régions, tu dois arrondir à un nombre pair, comme l'exige la règle de Simpson.

Exemple 2

Utilise la règle de Simpson pour calculer approximativement l'aire sous la courbe de f(x) donnée dans le tableau ci-dessous avec n = 4.

x	-1	0	1	2	3
f(x)	10	8	9	4	1

Étape 1 : Trouve $∆ x$

Insère notre intervalle donné et le nombre pair de n sous-régions :

$∆ x = \frac{3 - (- 1)}{4} = 1$

Étape 2 : Insérer les valeurs connues dans la règle de Simpson

À partir de là, tout ce qu'il nous reste à faire, c'est de brancher nos valeurs connues sur la formule de la règle de Simpson. Puisque notre intervalle est [-1, 3] et que le problème nous demande d'utiliser n = 4 sous-régions, $x_{i} = - 1 + i$ ce qui signifie que chaque sous-région a une largeur de 1 unité.

$\begin{array}{rcl} \int_{- 1}^{3} f (x) d x & \approx & \frac{1}{3} [f (- 1) + 4 f (0) + 2 f (1) + 4 f (2) + f (3)] \\ = & \frac{1}{3} [10 + 32 + 18 + 16 + 1] \\ = & \frac{77}{3} u n i t s^{2} \end{array}$

Règle de Simpson - Principaux enseignements

Larègle de Simpson est une technique d'approximation intégrale qui divise l'aire sous la courbe en petites courbes et additionne l'aire sous chaque petite courbe pour obtenir une approximation de l'aire totale sous la courbe.
Pour l'approximation de l'intégrale définie d'une fonction f(x), la règle de Simpson stipule que

$\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{∆ x}{3} [f (x_{0}) + 4 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + 4 f (x_{3}) + 2 f (x_{4}) + . . . + 2 f (x_{n - 2}) + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_{n})]$

où n est le nombre de sous-intervalles, $∆ x = \frac{b - a}{n}$ et $x_{i} = a + i ∆ x$
La règle de Simpson construit une courbe quadratique à partir de chaque sous-intervalle séquentiel.
Nous pouvons utiliser une formule de limite d'erreur pour connaître l'erreur maximale possible de notre approximation.
- Pour la règle de Simpson, la formule de limite d'erreur est la suivante
  
  $|E_{S}| \leq \frac{K {(b - a)}^{5}}{180 n^{4}}$ pour $|f^{(I V)} (x)| \leq K$
  où $E_{S}$ est l'erreur exacte de la règle de Simpson et $f^{(I V)} (x)$ est la dérivée quatrième de f(x)
Bien que la règle de Simpson soit plus précise que la règle trapézoïdale, la règle de Simpson nécessite un nombre pair de n sous-régions .

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Gabriel Freitas

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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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