Relations Implicites

Un cercle centré sur l'origine et de rayon $2$ est un exemple de relation implicite donnée par l'équation :

\[x^2+y^2=4.\N-]

Pour l'écrire sous la forme donnée ci-dessus, laisse \N(f(x,y) = x^2+y^2\) et \N(g(x,y) = 4.\N). Personne n'a dit qu'il devait y avoir un véritable \N(x) ou \N(y) dans \N(f) et \N(g.\N).

L'équation $y-x^2=0$ définit la relation binaire

\[\N-(x,x^2)\N-text{ for }x\in\Nmathbb{R}}.\N]

Remarquez qu'il s'agit en fait d'une fonction puisqu'elle peut être écrite sous la forme $y=x^2$.

En écrivant l'équation comme une relation binaire, \N (y-x^2=0\N) est considérée comme une règle qui te dit si une paire particulière de nombres doit se trouver dans la relation correspondante .

Choisis n'importe quelle paire de nombres réels $(a,b)$. Si $b-a^2=0$, alors il appartient à la relation correspondant à l'équation $y-x^2=0$. Cela ne se produit que si \N(b=a^2). Sinon, \N((a,b)\N) n'appartient pas à la relation.

Regarde la relation définie par l'équation \ (x^2+y^2=1\). Il s'agit d'un cercle centré sur l'origine de rayon $1$. En l'écrivant comme une relation binaire, tu obtiens

\N[\NLa gauche( x,\Npm\Nsqrt{1-x^2}\Ndroite)\Ntext{ for }x\Nin[-1,1]\Ndroite}.\N]

Cette relation binaire n' est donc pas une fonction.

En fait, \(x^2+y^2=1\) est écrit implicitement, alors que tu peux l'écrire explicitement comme $y=\pm \sqrt{1-x^2}$.

La relation correspondant à l'équation $y^2=x^3-x+0,2$ est l'ensemble

\N- [\N- ( x,y) : \N ; y^2=x^3-x+0,2 \N}]

Le graphique correspondant à cette relation ressemble à ceci :

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Il s'agit d'un exemple de courbe elliptique, un type de courbe important en théorie des nombres. Ces types de courbes ont été essentiels à la démonstration du dernier théorème de Fermat par Andrew Wiles, et sont également importants en cryptographie.

Remarque que cette courbe n'est pas une fonction puisqu'elle ne satisfait pas au test de la ligne verticale !

Il s'agit d'une autre courbe elliptique, $y^2=x^3-x+1$. Remarque qu'il ne s'agit pas non plus d'une fonction, mais d'une relation implicite.

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Trouve la dérivée de la relation implicite définie par l'équation $y^2=x^3-x+1$.

Solution :

Commence par différencier les deux côtés de la relation :

$${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}(y^2)={\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}(x^3-x+1).$$

Le côté droit de l'équation peut être différencié comme d'habitude :

$$\begin{array}{rlrl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^3-x+1)& ={\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}(x^3)+{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}(-x)+{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}(1)\text{N}-& =3x^2-1+0\text{N}-& =3x^2-1\end{array}$$

Rappelle-toi que \N(y\N) est une fonction de \N(x\N). En prenant la dérivée du côté gauche de l'équation, tu obtiens donc :

$${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}(y^2)=2y{y}^{\prime }$$

où tu as utilisé la règle de la chaîne.

En les mettant bout à bout, tu obtiens

\N[ 2yy' =3x^2-1 ,\N]

donc

\N- [y' = \Nfrac{3x^2-1 }{2y}.\N]