Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Tu as peut-être entendu parler de certaines techniques d'intégration, comme l'intégration par substitution, l'intégration par parties et la substitution trigonométrique. Ces techniques nous permettent de nous attaquer à l'intégration, qui n'est pas une opération simple.
La méthode de substitution trigonométriquea> fait appel à des substitutions astucieuses et à des identités trigonométriquesa>, mais le choix de la bonne substitution n'est pas toujours évident. Heureusement, nous pouvons profiter des dérivées des fonctions trigonométriques inversesa> pour identifier les antidérivées de certaines fonctionsa>. Nous allons parler ici de l'intégration à l'aide des fonctions trigonométriques inversesa>.
Pour intégrer à l'aide des fonctions trigonométriques inverses, nous devons savoir comment les différencier. Faisons un petit rappel à ce sujet.
Nous allons examiner ici la dérivée de la fonction sinus inverse et la façon dont nous pouvons l'utiliser dans l'intégration.
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin{\frac{x}{a}}=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$
Considérons maintenant l'intégrale suivante :
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$
L'intégrale ci-dessus peut être réalisée à l'aide de la substitution trigonométrique. Ici, nous devrions faire \(u=a\sin{x}\) et utiliser l'identité trigonométrique de Pythagore \(\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\). Au lieu de cela, nous utiliserons notre rappel sur la dérivée de la fonction sinus inverse.
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{a}}+C$$
Cela devient beaucoup plus facile si nous avons une table d'intégration sous la main !
Qu'en est-il des autres fonctions trigonométriques inverses ? Jetons un coup d'œil à la fonction cosinus inverse et à sa dérivée.
C'est au tour de la dérivée de la fonction cosinus inverse.
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos{\frac{x}{a}}=\text{-}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$
Tu as remarqué quelque chose ? C'est le négatif de la dérivée de la fonction sinus inverse. Considère maintenant l'intégrale suivante.
$$\int\text{-}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$
Nous pouvons utiliser la fonction cosinus inverse, mais nous pouvons également éliminer le signe négatif de l'intégrale et utiliser la fonction sinus inverse.
$$\int\text{-}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{-}\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$
De cette façon, il y a une formule de moins à mémoriser.
$$\int\text{-}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{-}\arcsin{\frac{x}{a}}+C$$
Il existe six fonctions trigonométriques inverses, mais nous n'en utilisons généralement que trois, car les trois autres sont les mêmes expressions, avec simplement un signe négatif. Voyons quelles fonctions trigonométriques inverses sont utilisées dans l'intégration.
Les dérivées des principales fonctions trigonométriques inverses utilisées pour l'intégration sont les suivantes :
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin{\frac{x}{a}}=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan{\frac{x}{a}}=\frac{a}{a^2+x^2}$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsec}{\frac{x}{a}}=\frac{a}{x\sqrt{x^2-a^2}}$$
Les expressions ci-dessus sont utilisées pour trouver l'antidérivée de certaines fonctions rationnelles.
Les principales antidérivées liées aux fonctions trigonométriques inverses sont les suivantes :
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{a}}+C$$
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C$$
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a}\mathrm{arcsec}{\frac{x}{a}}+C$$
Les signes sont importants ! Si la variable est soustraite, tu devras probablement utiliser la fonction sinus inverse. Si la constante est soustraite, alors la sécante inverse est plus appropriée. Enfin, si la variable et la constante sont ajoutées, il est temps d'utiliser la tangente inverse.
Voyons un exemple utilisant l'une des formules ci-dessus.
Évalue l'intégrale suivante :
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{9+x^2}$$
Lorsque nous évaluons ce type d'intégrales, nous devons identifier la valeur de \(a\) ; de cette façon, nous pouvons utiliser la formule correspondante pour trouver l'antidérivée de la fonction demandée.
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{9+x^2}=\int\frac{\mathrm{d}x}{3^2+x^2}$$
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{9+x^2}=\frac{1}{3}\arctan{\frac{x}{3}}+C$$
C'est assez simple, non ? Parfois, nous n'aurons pas un carré parfait, alors il faut être astucieux.
Evalue l'intégrale suivante :
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{5-x^2}}$$
Même si \(5\) n'est pas un carré parfait, c'est toujours le carré de \(\sqrt{5}\).
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{5-x^2}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(\sqrt{5})^2-x^2}}$$
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{5-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{\sqrt{5}}}+C$$
N'oublie pas que ces formules peuvent être combinées avec d'autres techniques d'intégration. Comme d'habitude, n'oublie pas d'ajouter la constante d'intégration à la fin !
Nous avons vu des intégrales où les fonctions trigonométriques inverses interviennent dans la réponse. Mais que se passe-t-il si nous voulons intégrer une fonction trigonométrique inverse elle-même ? Nous allons maintenant voir comment.
Les antidérivées des fonctions trigonométriques inverses sont données comme suit :
$$\int\arcsin{x}\,\mathrm{d}x=x\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+C$$
$$\int\arccos{x}\,\mathrm{d}x=x\arccos{x}-\sqrt{1-x^2}+C$$
$$\int\mathrm{arctan}{\,x}\,\mathrm{d}x=x\,\mathrm{arctan}{\,x}-\frac{1}{2}\ln{(x^2+1)}+C$$
$$\int\mathrm{arccot}{\,x}\,\mathrm{d}x=x\,\mathrm{arccot}{\,x}+\frac{1}{2}\ln{(x^2+1)}+C$$
$$\int\mathrm{arcsec}{\,x}\,\mathrm{d}x=x\,\mathrm{arcsec}{\,x}-\ln{\big(x+\sqrt{x^2-1}\big)}+C$$
$$\int\mathrm{arccsc}{\,x}\,\mathrm{d}x=x\,\mathrm{arccsc}{\,x}+\ln{\big(x+\sqrt{x^2-1}\big)}+C$$
Comment prouver les formules d'intégration des fonctions trigonométriques inverses ? Si tu regardes de plus près les formules, tu remarqueras quelque chose de commun entre elles : chaque formule commence par \( x\) multipliant la fonction trigonométrique inverse correspondante. Comment y parvient-on ? En utilisant l'intégration par parties, bien sûr ! Voyons comment nous procédons pour la fonction sinus inverse.
$$\int\arcsin{x}\\nbsp;\mathrm{d}x$$$
Ici, nous laisserons \(u=\arcsin{x}\) et \(\mathrm{d}v=\mathrm{d}x\). Nous trouvons \(\mathrm{d}u\) en différenciant la fonction sinus inverse.
$$u=\arcsin{x} \rightarrow \mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$$
N'oublie pas que l'intégrale de \(\mathrm{d}x\) est juste \(x\).
$$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x \rightarrow v=x $$
Nous pouvons maintenant utiliser la formule d'intégration par parties \N(\Nint u\N,\Nmathrm{d}v=uv-\Nint v\N,\Nmathrm{d}u\N).
$$\int\arcsin{x}\,\mathrm{d}x=x\,\arcsin{x}-\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$$
L'intégrale résultante peut être évaluée à l'aide de l'intégration par substitution. Ici, nous laisserons \(b=1-x^2\) (nous utilisons \(b\) pour éviter toute confusion) de sorte que \(\mathrm{d}x=\text{-}\frac{1}{2}\mathrm{d}b\).
$$\int\arcsin{x}\,\mathrm{d}x=x\,\arcsin{x}+\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}b}{\sqrt{b}}$$
Nous évaluons la dernière intégrale à l'aide de la règle de puissance.
$$\int\arcsin{x}\,\mathrm{d}x=x\,\arcsin{x}+\sqrt{b}+C$$
Et enfin, nous remplaçons \(b=1-x^2\).
$$\int\arcsin{x}\,\mathrm{d}x=x\,\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+C$$
Des étapes similaires sont utilisées pour prouver le reste des antidérivées des fonctions trigonométriques inverses.
Nous allons maintenant examiner quelques exemples d'intégrales qui impliquent des fonctions trigonométriques inverses d'une manière ou d'une autre.
Évalue l'intégrale suivante :
$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}$$
Puisque la variable est soustraite, nous utiliserons la fonction sinus inverse. Ensuite, nous remarquons que nous pouvons réécrire \(x^4=(x^2)^2\).
$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-(x^2)^2}}$$
Cela suggère d'utiliser l'intégration par substitution avec \(u=x^2\).
$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2x \rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{d}u=x\,\mathrm{d}x$$
$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}}$$
$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{2}\arcsin{u}+C$$
$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{2}\arcsin{x^2}+C$$
Voyons un exemple impliquant la fonction sécante inverse.
Évalue l'intégrale suivante :
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}$$
Commence par noter que \(x^6=(x^3)^2\).
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{(x^3)^2-4}}$$
Cette fois-ci, nous utiliserons la fonction sécante inverse puisqu'une constante est soustraite de la variable, mais nous devons d'abord effectuer la substitution suivante :
$$u=x^3 \rightarrow \mathrm{d}u=3x^2\,\mathrm{d}x$$$.
Nous devons avoir \(3x^2\) au numérateur, pour que cette substitution puisse fonctionner. Nous allons donc multiplier par 1 à l'intérieur de l'intégrale.
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{3}\int\frac{3x^2\,\mathrm{d}x}{x^2\,x\sqrt{(x^3)^2-4}}$$
Ici, nous avons multiplié par \(3x^2\) au numérateur et au dénominateur et factorisé \(\frac{1}{3}\) de l'intégrale. Cette expression peut maintenant être simplifiée comme suit :
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{3}\int\frac{3x^2\,\mathrm{d}x}{x^3\sqrt{(x^3)^2-4}}$$
En substituant \(u=x^3\) nous obtenons :
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{3}\int\frac{\mathrm{d}u}{u\sqrt{u^2-4}}$$
Nous pouvons maintenant intégrer à l'aide de la fonction sécante inverse.
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\mathrm{arcsec}{\frac{u}{2}}+C$$
Enfin, nous remplaçons \(u=x^3\). Nous simplifions également les fractions.
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{6}\mathrm{arcsec}{\frac{x^3}{2}}+C$$
Il est temps de donner un exemple d'intégrale d'une fonction trigonométrique inverse.
Évalue l'intégrale suivante :
$$\int \mathrm{arctan}{\, 3x} \, \mathrm{d}x.$$
Cette intégrale ressemble presque à l'intégrale de la fonction tangente inverse. Il suffit de faire une substitution pour la résoudre.
$$u=3x \rightarrow \mathrm{d}u=3\mathrm{d}x$$$
$$\mathrm{d}u=3\mathrm{d}x \rightarrow \mathrm{d}x=\frac{1}{3}\mathrm{d}u$$
$$\begin{align} \int \mathrm{arctan}{\c}, 3x} \, \mathrm{d}x &= \int \mathrm{arctan}{\, u}\left( \frac{1}{3} \mathrm{d}u \right) \\ &= \frac{1}{3}\int \mathrm{arctan}{\, u} \, \mathrm{d} u \end{align}$$
$$\int \mathrm{arctan}{\c}, 3x} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3} u\,\mathrm{arctan}{\,u}-\frac{1}{2}\ln{(u^2+1)} $$.
$$\begin{align} \int \mathrm{arctan}{\c, 3x} \N- \N, \Nmathrm{d}x &= \frac{1}{3} \N- gauche(3x \N,\Nmathrm{arctan}{\N,(3x)}-\Nfrac{1}{2}\Nln{((3x)^2+1)}\Ndroite) \N &= x\N,\Nmathrm{arctan}{\N, 3x} - \frac{1}{6}\ln{\left( 9x^2+1\right)} + C \end{align}$$.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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