Série géométrique

Formule pour une série géométrique

Il est pratique de regarder la notation de la somme d'une série géométrique. La série gé ométrique obtenue à partir d'une suite géométrique se présente comme suit

$\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}$

où $a$ et id="5257552" role="math" $r\ne 0$ sont des nombres réels constants. Tout comme pour une suite géométrique, $r$ est appelé le rapport commun.

Sommes partielles d'une série géométrique

Si tu contractes un prêt, tu n'as certainement pas envie d'effectuer un nombre infini de paiements ! Il peut donc être utile d'avoir une formule pour les sommes partielles d'une série géométrique. La ^nième somme partielle est

$s_n=a+\hspace{0.17em}ar+a{r}^2+\dots +a{r}^{n-1}$.

Remarque qu'il s'agit essentiellement d'un polynôme de (n-1^)ème degré où $r$ est la variable.

Que se passe-t-il si tu multiplies les deux côtés par $r$? Tu obtiens alors

$r{s}_n=ar+\hspace{0.17em}a{r}^2+a{r}^3+\dots +a{r}^n$.

Si tu soustrais les deux équations, tu obtiens

$\begin{array}{ccc}{s}_n-r{s}_n& =& \left(a+r+r^2+\dots +\hspace{0.17em}a{r}^{n-1}\right)-\left(ar+a{r}^2+\dots +a{r}^n\right)\\ s_n-r{s}_n& =& a-a{r}^n\end{array}$

ce qui est très bien, car tu peux alors facilement résoudre la question suivante $s_n$ tant que $r\ne 1$ pour obtenir

$s_n=\frac{a-a{r}^n}{1-r}=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$.

Convergence d'une série géométrique

Une fois que tu as une belle formule pour les sommes partielles d'une série, tu peux regarder la limite pour voir quand elle converge. Examinons donc quelques valeurs de $r$ pour voir quand

$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$

existe. Fais un peu d'algèbre,

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r} \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{a}{1-r}-\frac{a{r}^n}{1-r}\right]. \end{gathered}$$

La première partie de la limite ne dépend pas de $n$mais tu dois certainement t'assurer que $r\ne 1$ afin de ne pas diviser par zéro. En factorisant les constantes de la deuxième partie, tu obtiens

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{a}{1-r}-\frac{a{r}^n}{1-r}\right]=\frac{a}{1-r}-\frac{a}{1-r}\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n \\ =\left(\frac{a}{1-r}\right)\left[1-\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n\right]. \end{gathered}$$

Tu peux donc voir que si

$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n$

existe, alors la limite de la série existera également.

Cette limite existe lorsque $r$ se situe entre $-1$ et $1$. Mais il faut quand même faire un peu attention, car ce n'est pas une suite géométrique si $r=0$et tu ne peux pas utiliser $r=1$ (parce que cela te donnerait une division par zéro) ou $r=-1$ (parce que la suite avec $r=-1$ ne converge pas).

Somme d'une série géométrique

Les séries géométriques sont particulièrement intéressantes parce que tu peux dire quand elles convergent et vers quoi elles convergent exactement. D'après la discussion précédente, une série géométrique converge lorsque $-1<r<1$ et diverge dans le cas contraire. Lorsque la série géométrique converge, le fait de prendre la limite des sommes partielles te donne.. :

$\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}=\frac{a}{1-r}$.

Exemples avec les séries géométriques

Examinons quelques exemples et voyons ce que les séries géométriques peuvent te dire.