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Tests de convergence en calcul
Il existe plusieurs types de tests de convergence pour les séries. En calcul, tu t'intéresses à ceux qui sont à la fois relativement simples à appliquer et à ceux qui sont fréquemment utilisés. Certains tests donnent un résultat qui t'indique quand une série converge et quand elle diverge. D'autres sont spécifiquement bons pour vérifier la divergence. Tu verras ici quelques-uns de ceux qui consistent à comparer une série à une autre série.
Certains types de séries sont très utiles lorsque tu fais des tests de comparaison. Vois les séries arithmétiques, les séries géométriques, les séries alternées et les séries P pour plus de détails sur ces séries spécifiques et sur les cas où elles convergent ou divergent.
Tests de convergence des séries
Suppose que tu veuilles savoir si la série \[\sum_{n=1}^{\infty}a_n\] converge ou diverge. Si tu as des connaissances sur une autre série, tu peux parfois comparer celle que tu as à celle dont tu as des connaissances.
Lestests de ce type sont appelés tests de comparaison. Tu verras ici deux des tests les plus courants, le test de comparaison directe et le test de comparaison des limites, et dans la section suivante de cet article, tu trouveras des exemples montrant comment les utiliser.
Nous commençons par le test de comparaison directe.
Test de comparaison directe
Soit \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n\] une série à termes non négatifs.
1. La série \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n\] converge s'il existe une série convergente\[\sum_{n=1}^{\infty} c_n\] avec \(a_n\leq c_n\) pour tout \(n>N\) pour un certain \(N\in\mathbb{N}.\).
2. La série \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n\] diverge s'il existe une série divergente
\N[\Nsum_{n=1}^{\Nfty} d_n\N] de termes non négatifs avec \N(a_n\geq d_n\N) pour tout \N (n>N\N) pour tout \N(N\Nmathbb{N}\N ).
Dans l'énoncé du test de comparaison directe, il faut que la série
\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n\]
ait des termes non négatifs. Il s'avère que c'est très important.
Par exemple, si ta série est
\[\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n},\]
qui est la série harmonique alternée, et tu as essayé d'utiliser le test de comparaison directe avec la série harmonique négative
\[\sum_{n=1}^{\infty}d_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-1}{n}\]
qui diverge (voir Série P pour plus d'informations sur la série harmonique), tu trouverais que \(a_n\geq d_n\), ce qui t'amènerait à conclure que la série harmonique alternée diverge parce que la série harmonique le fait. En fait, la série harmonique alternée converge (voir Séries alternées pour plus de détails), alors que la série harmonique négative ne converge pas. Il est donc très important de s'assurer que les séries avec lesquelles tu travailles ont les bonnes propriétés avant d'appliquer le test de comparaison directe.
Nous passons maintenant au test de comparaison des limites.
Test de comparaison des limites
Supposons que \(a_n>0\) et \(b_n>0\) pour tout \ (n>N\) pour un certain \(N\ dans \mathbb{N}.\).
1. Si \[\limites_{n\à \infty}\frac{a_n}{b_n}=c\] où \(0<c<\infty\), alors soit les deux séries divergent, soit les deux séries convergent.
2. Si \[\limites_{n\à \infty}\frac{a_n}{b_n}=0,\N] et \[\sum_{n=1}^{\infty} b_n\N] convergent, alors \[\sum_{n=1}^{\infty}a_n\N] converge.
3. Si \[\limite_{n\à \infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty\] et \[\sum_{n=1}^{\infty} b_n\] diverge, alors \[\sum_{n=1} ^{\infty} a_n\] diverge.
Avec le test de comparaison directe, tu avais besoin queta série ait des termes non négatifs. Le test de comparaison des limites est plus strict en ce sens qu'il exige que ta série ait des termes positifs. Le test de comparaison des limites ne peut donc pas non plus être utilisé pour les séries alternées.
Peux-tu toujours appliquer le test de comparaison des limites à une série dont les termes sont positifs ?
Examinons deux séries, la série harmonique et la série P avec \(p=2\). Tu sais déjà que la série harmonique diverge et que la série P converge lorsque \(p=2\).
Si tu essaies d'utiliser la première partie du test de comparaison des limites,
\N[\Nlimites_{n\Nà \Nfty}] \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}= \lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^2}{n}=\infty,\]
et
\N-[\Nlimites_{n\Nà \Nfty}] = \Nlimites_{n\Nà \Nfty} \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}}=\limites_{n\Nà \infty} \frac{1}{n}=0,\N]
Tu ne peux donc pas utiliser la première partie du test de comparaison des limites.
Et si tu essaies d'appliquer la deuxième partie du test de comparaison des limites ? Lorsque la limite est zéro, la série harmonique prend la place de la série
\[\sum_{n=1}^{\infty} b_n.\N]
Mais cette série diverge, et pour la deuxième partie du test de comparaison des limites, tu as besoin qu'elle converge. Cela signifie que tu ne peux pas utiliser la deuxième partie du test de comparaison des limites.
Qu'en est-il de la troisième partie du test de comparaison des limites ? Dans ce cas, la limite est l'infini, donc la série P avec \(p=2\) prend la place de la série
\[\sum_{n=1}^{\infty} b_n.\N]
Mais tu as besoin que cette série diverge, et tu sais qu'elle converge en fait, donc tu ne peux pas non plus appliquer cette partie du test de comparaison des limites.
En fait, ce n'est pas parce que deux séries ont des termes positifs que le test de comparaison des limites t'aidera à déterminer la convergence.
Exemples de tests de convergence
Voyons quelques exemples d'utilisation du test de comparaison directe et du test de comparaison des limites.
Dans les cas où tu ne peux pas appliquer l'un ou l'autre type de test de comparaison, tu peux utiliser le test de la racine ou le test du ratio. Pour plus de détails sur ces deux types de tests, voir Test de la racine et Test du ratio.
Si possible, décide si la série
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+n}\]
converge ou diverge
Solution
Tout d'abord, note que chaque terme de la série est donné par
\[a_n=\frac{1}{3^n+n},\]
et que \(a_n>0\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Cela signifie qu'il n'y a aucun risque à essayer d'appliquer le test de comparaison directe ou le test de comparaison des limites.
Si ce \(n\N) supplémentaire n'était pas dans le dénominateur, il s'agirait d'une série géométrique, et ce serait donc un bon candidat pour voir si le test de comparaison directe peut être appliqué. Essaie
\[\sum_{n=1}^{\infty} c_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}.\]
Tu sais que cette série converge puisqu'il s'agit d'une série géométrique dont le rapport commun est inférieur à \(1\). En vérifiant les termes des deux séries, puisque \N(3^n+n>3\N), tu as que
\[a_n=\frac{1}{3^n+n}<\frac{1}{3^n}=c_n.\]
Cela signifie qu'en utilisant la première partie du test de comparaison directe, tu sais que
\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n\]
converge parce que
\sum_{n=1}^{\infty} c_n\]
converge.
Si possible, décide si la série
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n-n}\]
converge ou diverge.
Solution
Cet exemple est presque le même que le précédent, à l'exception de la soustraction dans le dénominateur au lieu de l'addition. Ici
\[a_n=\frac{1}{3^n-n}.\]
Tu peux essayer de faire le test de comparaison directe avec la même série géométrique
\[\sum_{n=1}^{\infty} c_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n},\]
mais \(3^n-n<3^n\), ce qui signifie \(a_n>c_n\), et l'inégalité va dans la direction opposée à ce que tu veux. Pour ce problème, tu devras donc essayer le test de comparaison des limites.
Lorsque tu utilises la première partie du test de comparaison des limites, tu peux en fait inverser les rôles des séries, car si tu sais qu'une série converge et que la limite existe et est positive, alors les deux convergent. Si tu essaies de prendre la limite dans un sens et que ça ne marche pas, essaie d'intervertir les rôles des séries. Essaie donc de prendre la limite dans le premier sens,
\N- [\N- Début{align} \\N- Limites_{n\Nà \Nfty} \frac{a_n}{c_n}&=\lim\limits_{n\nto \infty}\dfrac{\dfrac{1}{3^n-n}}{\dfrac{1}{3^n}}\ &=\lim\limits_{n\nto \infty} \frac{3^n}{3^n-n}, \end{align}\]
ce qui n'a pas l'air très amusant à évaluer. Et si tu inversais les rôles dans la série ? Tu verrais alors
\[\begin{align}\lim\limits_{n\to \infty}\frac{c_n}{a_n}&=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\dfrac{1}{3^n}}{\dfrac{1}{3^n-n}}\\ &==\\limites_{n\à \infty}\frac{3^n-n}{3^n}\&=\limites_{n\nà \infty} \left[1-\frac{n}{3^n}\right].\end{align}\]
Cette limite semble beaucoup plus accessible. Tu devras utiliser la règle de L'Hôpital sur la deuxième partie de la limite pour l'évaluer, et tu obtiendras
\\N-[\N-{align}\Nlimites_{n\Nà \Nfty}] \frac{c_n}{a_n}&=\lim\limites_{n\à \infty} \left[1-\frac{n}{3^n}\right]\\&=1-\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{3^n\ln{(3)}}\\&=1-0\\&=1.\end{align}\]
Puisque la limite existe et qu'elle est positive, selon la première partie du test de comparaison des limites, si l'une des séries converge, alors les deux convergent. Puisque tu sais que la série géométrique converge, d'après le test de comparaison des limites, c'est aussi le cas de la série suivante
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n-n}.\]
Pour un rappel sur la façon de faire des limites avec des formes indéterminées, voir la règle de L'Hôpital.
Si possible, décide si la série
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln{n}}{n}\]
converge ou diverge.
Solution
C'est un peu comme la série harmonique, sauf qu'il y a un logarithme naturel dans le numérateur. Puisque \(n\geq 1\), tu sais que
\[a_n=\frac{\ln{n}}{n}\geq 0,\]
donc la série en question a des termes non négatifs. Puisqu'elle ressemble à la série harmonique, c'est une bonne série à laquelle il faut essayer de la comparer en premier. Tu sais que \(\ln{(n)}>1\) pour \(n>3\), donc
\[\frac{\ln{(n)}{n}>\frac{1}{n}\quad \text{for}\nquad n>3.\N-]
N'oubliez pas que \N(\Nn{e}=1\N), et que \N(e\N) est inférieur à 3, donc prendre \N(n>3\N) signifie \N(\Nln{(n)}>1\N).
En prenant \N(N=3\N) dans l'énoncé du test de comparaison directe, et
\[\sum_{n=1}^{\infty}d_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},\]
puisque la série harmonique diverge selon le test de comparaison directe, il en est de même pour
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln{(n)}}{n}.\] xml-ph-0000@deepl.internal
Prenons un autre exemple.
Si possible, décide si la série
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n3^n}\]
converge ou diverge.
Solution
Dans cet exemple,
\[a_n=\frac{1}{n3^n}\]
ce qui est certainement positif. La question est de savoir si tu utilises le test de comparaison des limites avec la série géométrique \[\sum_{n=1}^{\infty}c_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}\]
ou la série harmonique
\[\sum_{n=1}^{\infty}d_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\]
Si tu peux utiliser la série harmonique et le test de comparaison des limites, alors tu peux montrer que la série originale diverge. En revanche, si tu peux utiliser la série géométrique et le test de comparaison des limites, tu pourras montrer que la série originale converge. Si tu n'as pas l'intuition de ce qu'il faut essayer, la réponse est d'en essayer un, et si cela ne t'aide pas, d'utiliser l'autre.
Essayons d'abord la série harmonique. Alors
\N- [\N- Début{align}] \\\N-{limites_{n\Nà \Nfrac{a_n}{d_n}&=\N-{limites_{n\Nà \Nfrac{a_n}{d_n}&=\Nfrac{a_nfrac{a_frac{a_n}{d_n}} \frac{\frac{1}{n3^n}}{\frac{1}{n}}\\&=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n3^n}.n\\&=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{3^n}\\&=0.\end{align}\]
Cela ne sert à rien, car si la limite est zéro, il faut que la deuxième série converge, et tu sais déjà que la série harmonique diverge. La série harmonique n'est donc pas utile avec le test de comparaison des limites pour montrer que la série qui t'intéresse diverge.
Essaie plutôt la série géométrique. Prends cette limite,
\[\begin{align}\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{c_n}&=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n3^n}}{\frac{1}{3^n}}\\&=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n3^n}.3^n\\&=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n}\\&=0.\end{align}\]
C'est en fait utile, car tu sais que la série géométrique converge. Cela signifie que la deuxième partie du test de comparaison des limites te donne que
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n3^n}\]
converge puisque la série géométrique converge.
Test de convergence intégrale
Tu peux déterminer si une série converge ou diverge si tu peux trouver une intégrale à laquelle la comparer. Pour une explication et des détails sur la façon de procéder, ainsi que des exemples, voir Test d'intégrale.
Tests de convergence des suites
Bien que le fait de savoir quand une suite converge ou diverge puisse t'aider à étudier les séries, la convergence des séries est abordée ici. Pour les tests de convergence de suites, voir Limite d'une suite.
Tests de convergence - Points clés à retenir
Test de comparaison directe
Soit
\[\sum_{n=1}^{\infty}a_n\] une série à termes non négatifs.
1. La série \[\sum_{n=1}^{\infty}a_n\] converge s'il existe une série convergente \[\sum_{n=1}^{\infty} c_n\] avec \(a_n\leq c_n\) pour tout \(n>N\) pour un certain \(N\in\mathbb{N}.\N).
2. La série \[\sum_{n=1}^{\infty}a_n\] diverge s'il existe une série divergente \[\sum_{n=1}^{\infty}d_n\] de termes non négatifs avec \(a_n\geq d_n\) pour tout \ (n>N\) pour un certain \ (N\in \mathbb{N}\).
Test de comparaison des limites
Supposons que \(a_n>0\) et \(b_n>0\) pour tout \ (n>N\) pour un certain \(N\in\mathbb{N}\).
1. Si \[\limites_{n\à \infty} \frac{a_n}{b_n}=c\] où \(0<c<\infty\) alors soit les deux séries divergent, soit les deux séries convergent.
2. Si \[\limites_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=0 \N] et \[\sum_{n=1}^{\infty}b_n\N] convergent, alors \[\sum_{n=1}^{\infty}a_n\N]
converge.
3. Si \[\limites_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty\] et \[\sum_{n=1}^{\infty}b_n\] divergent, alors \[\sum_{n=1}^{\infty}a_n\]
diverge.
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