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Théorème de la moyenne pour les intégrales

Q: Qu'est-ce que le théorème de la moyenne pour les intégrales?

Le théorème de la moyenne pour les intégrales stipule que pour une fonction continue sur un intervalle fermé, il existe un point où la fonction prend une valeur égale à la moyenne de ses valeurs sur cet intervalle.

Q: Comment appliquer le théorème de la moyenne pour les intégrales?

Pour appliquer le théorème, trouvez une fonction continue sur l'intervalle [a, b]. Calculer la moyenne de l'intégrale de cette fonction. Il existe alors un c dans [a, b] où f(c) équivaut à cette moyenne.

Q: Quels sont les prérequis pour utiliser le théorème de la moyenne pour les intégrales?

La fonction doit être continue sur l'intervalle fermé [a, b]. Ce sont les principales conditions pour appliquer ce théorème.

Q: Pourquoi le théorème de la moyenne pour les intégrales est-il important?

Ce théorème est important car il relie la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle à une valeur particulière de la fonction dans cet intervalle, simplifiant l'analyse et la compréhension des intégrales.

Lors de nos discussions sur les dérivés, tu as appris l'existence du théorème de la valeur moyenne - un théorème important qui affirme qu'une fonction prendra au moins une fois sa valeur moyenne sur un intervalle. Le théorème de la valeur moyenne a également une application pour les intégrales qui est une conséquence du théorème de la valeur moyenne et du théorème fondamental du calcul.

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Dernière mise à jour: 01.01.1970
Temps de lecture: 6 min

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Formule et signification du théorème de la valeur moyenne pour les intégrales

Le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales stipule que si une fonction f est continue sur l'intervalle fermé[a, b], alors il existe un nombre c tel que

$\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) (b - a)$

Il est clair que le côté gauche de l'équation est l'aire sous la courbe de f sur l'intervalle(a, b). Le côté droit peut être considéré comme l'aire d'un rectangle. Le théorème stipule donc que l'aire sous la courbe est égale à l'aire d'un rectangle dont la largeur est l'intervalle(b - a) et dont la hauteur est égale à la valeur moyenne de la fonction f. En réarrangeant cette équation pour résoudre f(c), la valeur moyenne, nous obtenons : f(c), la valeur moyenne.

$f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Visualisons le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales de façon géométrique.

Théorème de la valeur moyenne pour les intégrales explication géométrique aire sous la courbe égale à rectangle StudySmarter L'aire sous la courbe d'une fonction f sur l'intervalle [a, b] est égale à un rectangle d'une largeur de b - a et d'une hauteur de la valeur moyenne de f, f(c) - StudySmarter Original

Preuve du théorème de la valeur moyenne pour les intégrales

Considère la définition d'une anti-dérivée où

$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$

Par le théorème fondamental du calcul

$F' (x) = f (x)$ et $F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Puisque F est continue sur l'intervalle fermé[a, b] et différentiable sur l'intervalle ouvert(a, b), nous pouvons appliquer le théorème de la valeur moyenne, qui dit qu'il existe un nombre c tel que $a < c < b$ et

$f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

En utilisant les résultats du théorème fondamental du calcul

$f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Exemples du théorème de la valeur moyenne pour les intégrales

Exemple 1

Pour la fonction $f (x) = x^{2} + 3 x$ sur l'intervalle [1, 4], trouve la valeur c ( la valeur x où f(x) prend sa valeur moyenne).

Étape 1 : Vérifie que f(x) est continue sur l'intervalle fermé

Puisque f(x) est un polynôme, nous savons qu'il est continu sur l'intervalle [1, 4].

Étape 2 : Évaluer l'intégrale de f(x) sur l'intervalle donné.

$\begin{array}{rcl} \int_{1}^{4} x^{2} + 3 x d x & = & (\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(4)}^{2}}{2}) - (\frac{{(1)}^{3}}{3} + \frac{3 {(1)}^{2}}{2}) \\ = & 43.5 \end{array}$

Étape 3 : Applique le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales afin de trouver la valeur moyenne de f(x) sur l'intervalle.

$\begin{array}{rcl} f (c) & = & \frac{1}{4 - 1} \int_{1}^{4} x^{2} + 3 x d x \\ = & \frac{1}{3} (43.5) \\ = & 14.5 \end{array}$

Ainsi, la valeur moyenne que prend f(x) est 14,5.

Théorème de la valeur moyenne pour les intégrales aire du rectangle égale à l'aire sous la courbe StudySmarter

À l'étape 2, nous avons trouvé que l'aire sous la courbe est $43.5 u n i t s^{2}$ . Pour trouver l'aire du rectangle, nous multiplions la largeur par la hauteur.

$(4 - 1) (14.5) = 43.5 u n i t s^{2}$

Ainsi, le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales s'applique.

Étape 4 : Trouve la valeur xde f(c)

Puisque $f (c) = 14.5$ et que nous voulons trouver c, nous pouvons fixer f(x) à 14,5.

$14.5 = x^{2} + 3 x 0 = x^{2} + 3 x - 14.5$

Pour trouver la valeur x, nous appliquons la formule quadratique.

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 (1) (- 14.5)}}{2 (1)} \\ x & = & \frac{- 3 + \sqrt{67}}{2} \approx 2.59 a n d \\ x & = & \frac{- 3 - \sqrt{67}}{2} \approx - 5.59 \end{array}$

Puisque $- 5.59$ est en dehors de l'intervalle, $c \approx 2.59$ .

Exemple 2

Pour la fonction $f (x) = x + \sin (2 x)$ trouve la valeur x où f(x) prend la valeur moyenne sur l'intervalle. $[0, 2 π]$

Étape 1 : Assure-toi que f(x) est continue sur l'intervalle ouvert.

La fonction sin(x) est continue partout.

Étape 2 : Évalue l'intégrale de f(x) sur l'intervalle donné

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{2 π} x + \sin (2 x) d x & = & (\frac{{(2 π)}^{2}}{2} - \frac{\cos (4 π)}{2}) - (\frac{{(0)}^{2}}{2} - \frac{\cos (0)}{2}) \\ = & \frac{4 π^{2}}{2} - \frac{1}{2} - (0 - \frac{1}{2}) \\ = & 2 π^{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ = & 2 π^{2} \end{array}$

Utilise tes connaissances sur le cercle unitaire pour résoudre les équations trigonométriques ! Rappelle-toi , $4 π$ est juste un multiple de $2 π$ .

Étape 3 : Applique le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales afin de trouver la valeur moyenne de f(x) sur l'intervalle.

$\begin{array}{rcl} f (c) & = & \frac{1}{2 π - 0} \int_{0}^{2 π} x + \sin (2 x) d x \\ = & \frac{1}{2 π} (2 π^{2}) \\ = & π \end{array}$

Ainsi, la valeur moyenne que prend f(x) est $π$ .

Théorème de la valeur moyenne pour les intégrales aire du rectangle égale à l'aire sous la courbe StudySmarter

À l'étape 2, nous avons trouvé que l'aire sous la courbe est de $2 π^{2}$ ^unités2. Pour trouver l'aire du rectangle, nous multiplions la largeur par la hauteur.

$(2 π - 0) (π) = 2 π^{2}$ ^unités2

Ainsi, le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales s'applique.

Étape 4 : Trouve la valeur xde f(c)

Puisque $f (c) = π$ et que nous voulons trouver c, nous pouvons fixer f(x) à $π$ .

$π = x + \sin (2 x)$

En résolvant cette équation graphiquement, nous trouvons que $x = π$ .

Théorème de la valeur moyenne pour le calcul des intégrales

Pour mémoire

$\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) (b - a)$

Théorème de la valeur moyenne des intégrales - Principaux enseignements

Le théorème de la valeur moyenne des intégrales stipule que si une fonction f est continue sur l'intervalle fermé[a, b], alors il existe un nombre c tel que
$\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) (b - a)$
- Géométriquement parlant, l'aire sous la courbe est égale à l'aire d'un rectangle ayant une largeur de b - a et une hauteur de la valeur moyenne de f(x), f(c).
Le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales est une conséquence du théorème de la valeur moyenne pour les dérivées et du théorème fondamental du calcul.

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Questions fréquemment posées en Théorème de la moyenne pour les intégrales

Qu'est-ce que le théorème de la moyenne pour les intégrales?

Le théorème de la moyenne pour les intégrales stipule que pour une fonction continue sur un intervalle fermé, il existe un point où la fonction prend une valeur égale à la moyenne de ses valeurs sur cet intervalle.

Comment appliquer le théorème de la moyenne pour les intégrales?

Pour appliquer le théorème, trouvez une fonction continue sur l'intervalle [a, b]. Calculer la moyenne de l'intégrale de cette fonction. Il existe alors un c dans [a, b] où f(c) équivaut à cette moyenne.

Quels sont les prérequis pour utiliser le théorème de la moyenne pour les intégrales?

La fonction doit être continue sur l'intervalle fermé [a, b]. Ce sont les principales conditions pour appliquer ce théorème.

Pourquoi le théorème de la moyenne pour les intégrales est-il important?

Ce théorème est important car il relie la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle à une valeur particulière de la fonction dans cet intervalle, simplifiant l'analyse et la compréhension des intégrales.

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