Théorème de la moyenne pour les intégrales

Pour la fonction $f\left(x\right)=x^2+3x$ sur l'intervalle [1, 4], trouve la valeur c ( la valeur x où f(x) prend sa valeur moyenne).

Étape 1 : Vérifie que f(x) est continue sur l'intervalle fermé

Puisque f(x) est un polynôme, nous savons qu'il est continu sur l'intervalle [1, 4].

Étape 2 : Évaluer l'intégrale de f(x) sur l'intervalle donné.

$\begin{array}{rcl}{\int }_1^4{x}^2+3xdx& =& \left(\frac{{\left(4\right)}^3}{3}+\frac{3{\left(4\right)}^2}{2}\right)-\left(\frac{{\left(1\right)}^3}{3}+\frac{3{\left(1\right)}^2}{2}\right)\\ & =& 43.5\end{array}$

Étape 3 : Applique le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales afin de trouver la valeur moyenne de f(x) sur l'intervalle.

$\begin{array}{rcl}f\left(c\right)& =& \frac{1}{4-1}{\int }_1^4{x}^2+3xdx\\ & =& \frac{1}{3}\left(43.5\right)\\ & =& 14.5\end{array}$

Ainsi, la valeur moyenne que prend f(x) est 14,5.

À l'étape 2, nous avons trouvé que l'aire sous la courbe est $43.5unit{s}^2$. Pour trouver l'aire du rectangle, nous multiplions la largeur par la hauteur.

$(4-1)\left(14.5\right)=43.5unit{s}^2$

Ainsi, le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales s'applique.

Étape 4 : Trouve la valeur xde f(c)

Puisque $f\left(c\right)=14.5$ et que nous voulons trouver c, nous pouvons fixer f(x) à 14,5.

$$\begin{gathered} 14.5=x^2+3x \\ 0=x^2+3x-14.5 \end{gathered}$$

Pour trouver la valeur x, nous appliquons la formule quadratique.

$\begin{array}{rcl}x& =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x& =& \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\left(1\right)(-14.5)}}{2\left(1\right)}\\ x& =& \frac{-3+\sqrt{67}}{2}\approx 2.59and\\ x& =& \frac{-3-\sqrt{67}}{2}\approx -5.59\end{array}$

Puisque $-5.59$ est en dehors de l'intervalle, $c\approx 2.59$.

Pour la fonction $f\left(x\right)=x+\sin \left(2x\right)$trouve la valeur x où f(x) prend la valeur moyenne sur l'intervalle. $[0,2\mathrm{\pi }]$

Étape 1 : Assure-toi que f(x) est continue sur l'intervalle ouvert.

La fonction sin(x) est continue partout.

Étape 2 : Évalue l'intégrale de f(x) sur l'intervalle donné

$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}x+\sin \left(2x\right)dx& =& \left(\frac{{\left(2\mathrm{\pi }\right)}^2}{2}-\frac{\cos \left(4\mathrm{\pi }\right)}{2}\right)-\left(\frac{{\left(0\right)}^2}{2}-\frac{\cos \left(0\right)}{2}\right)\\ & =& \frac{4{\mathrm{\pi }}^2}{2}-\frac{1}{2}-\left(0-\frac{1}{2}\right)\\ & =& 2{\mathrm{\pi }}^2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ & =& 2{\mathrm{\pi }}^2\end{array}$

Étape 3 : Applique le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales afin de trouver la valeur moyenne de f(x) sur l'intervalle.

$\begin{array}{rcl}f\left(c\right)& =& \frac{1}{2\mathrm{\pi }-0}{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}x+\sin \left(2x\right)dx\\ & =& \frac{1}{2\mathrm{\pi }}\left(2{\mathrm{\pi }}^2\right)\\ & =& \mathrm{\pi }\end{array}$

Ainsi, la valeur moyenne que prend f(x) est $\mathrm{\pi }$.

À l'étape 2, nous avons trouvé que l'aire sous la courbe est de $2{\mathrm{\pi }}^2$^unités2. Pour trouver l'aire du rectangle, nous multiplions la largeur par la hauteur.

$(2\mathrm{\pi }-0)\left(\mathrm{\pi }\right)=2{\mathrm{\pi }}^2$^unités2

Ainsi, le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales s'applique.

Étape 4 : Trouve la valeur xde f(c)

Puisque $f\left(c\right)=\mathrm{\pi }$ et que nous voulons trouver c, nous pouvons fixer f(x) à $\mathrm{\pi }$.

$\mathrm{\pi }=\mathrm{x}+\sin \left(2\mathrm{x}\right)$

En résolvant cette équation graphiquement, nous trouvons que $x=\mathrm{\pi }$.