Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Il y a des théorèmes ou des idées en calcul qui peuvent sembler assez évidents. Le théorème de Rolle en fait partie. Imaginons que tu quittes ta maison pour aller te promener. Après ta promenade, tu rentres chez toi. Le théorème de Rolle dit que puisque tu as commencé et terminé au même endroit, tu as dû faire un virage à un moment donné de ta promenade. Bien que ce fait semble évident, le théorème de Rolle est une découverte importante dans le domaine du calcul.
Pour pouvoir utiliser le théorème de Rolle, quelques conditions doivent être remplies. La fonction doit être :
Maintenant que nous avons passé en revue les conditions du théorème de Rolle, voyons ce que dit ce théorème.
Le théorème de Rolle stipule que si une fonction est :
alors il existe au moins un nombre dans tel que .
D'un point de vue géométrique, si une fonction remplit les conditions énumérées ci-dessus, alors il existe un point sur la fonction où la pente de la ligne tangente est 0 (la ligne tangente est horizontale).
Une fonction continue et différentiable f qui a des points a et b tels que f(a) = f(b) a au moins un point c où la pente de la ligne tangente est 0 - StudySmarter Original.
Dans notre exemple de marche, le théorème de Rolle dit que puisque nous avons commencé et terminé au même endroit, il doit y avoir eu un mouvement où nous avons fait un virage (la dérivée est 0).
Rappelle-toi le théorème de la valeur moyenne, qui stipule que si une fonction est :
alors il existe un nombre c tel que et
Le théorème de Rolle est un "cas particulier" du théorème de la valeur moyenne. Le théorème de Rolle dit que si les conditions sont remplies et qu'il existe des points a et b tels que ou , alors il existe un point où . Si nous ajoutons à l'équation du théorème de la valeur moyenne pour , nous obtenons . Le théorème de Rolle est donc le cas du théorème de la valeur moyenne où .
Supposons qu'une fonction f soit continue sur l'intervalle[a, b], différentiable sur l'intervalle et . Les conditions du théorème de Rolle sont donc remplies. Nous devons prouver que la fonction possède un point où . En d'autres termes, le point où est une valeur maximale ou minimale (extrema) sur l'intervalle.
Nous savons que notre fonction aura des extrema selon le théorème des valeurs extrêmes, qui dit que si une fonction est continue, elle est garantie d'avoir une valeur maximale et une valeur minimale sur l'intervalle.
Il y a deux cas :
La fonction est une valeur constante (un segment de droite horizontal).
La fonction n'est pas une valeur constante.
Cette fonction, qui répond aux exigences du théorème de Rolle, a une dérivée égale à 0 partout - StudySmarter Original
Chaque point de la fonction répond aux exigences du théorème de Rolle en tant que partout.
Comme la fonction n'est pas une valeur constante, elle doit changer de direction pour commencer et finir à la même valeur de fonction. Ainsi, quelque part à l'intérieur du graphique, la fonction aura soit un minimum, soit un maximum, soit les deux.
Cette fonction, qui répond aux exigences du théorème de Rolle, a à la fois un minimum et un maximum - StudySmarter Original
Nous devons prouver que le minimum ou le maximum (ou les deux) se produisent lorsque la dérivée est égale à 0.
Les extrema ne peuvent pas se produire lorsque car lorsque la fonction est croissante. À une valeur extrema, la fonction ne peut pas être croissante. À un point maximum, la fonction ne peut pas être croissante car nous sommes déjà à la valeur maximale. À un point minimum, la fonction ne peut pas être croissante parce qu'elle était un peu plus petite à gauche de l'endroit où nous nous trouvons maintenant. Puisque nous sommes à la valeur minimale, la fonction ne peut pas être plus petite que maintenant, ne peut pas être plus petite qu'elle ne l'est maintenant.
L'extremum ne peut pas se produire lorsque car lorsque la fonction est décroissante. À une valeur extrema, la fonction ne peut pas être décroissante. À un point maximum, la fonction ne peut pas être croissante parce que ce qui signifie que était plus grande un peu à gauche de l'endroit où nous nous trouvons maintenant. Puisque nous sommes à la valeur maximale, ne peut pas être plus grande qu'elle ne l'est maintenant. À un point minimum, la fonction ne peut pas être décroissante parce que nous sommes déjà à la valeur minimum.
Puisque n'est ni inférieur à 0 ni supérieur à 0, doit être égale à 0.
Bien qu'aucune formule explicite ne soit associée au théorème de Rolle, il existe une procédure étape par étape pour trouver le point .
1. S'assurer que la fonction satisfait au théorème de Rolle : continue sur l'intervalle fermé et différentiable sur l'intervalle ouvert .
2. Introduis a et b dans la fonction pour garantir que .
3. Si la fonction répond à toutes les exigences du théorème de Rolle, alors nous savons que nous sommes assurés d'avoir au moins un point où .
4. Pour trouver nous pouvons fixer la dérivée première à 0 et résoudre pour .
Montre par le théorème de Rolle que sur a au moins une valeur telle que . Trouve ensuite la valeur maximale ou minimale de la fonction sur l'intervalle.
Par nature, nous savons que la fonction cosinus est continue et différentiable partout.
En introduisant 0 et dans
Par le théorème de Rolle, nous sommes assurés d'avoir au moins un point où . Nous pouvons donc trouver et le fixer à 0.
En utilisant nos connaissances en trigonométrie et sur le cercle unitaire, nous savons que la fonction sinus est égale à 0 lorsque et les multiples de . Cependant, les seuls multiples de dans notre intervalle sont et . Donc, dans notre intervalle, lorsque .
a une valeur maximale de 3 à et une valeur minimale de 1 à
Soit . Le théorème de Rolle garantit-il une valeur où sur l'intervalle ? Explique pourquoi ou pourquoi pas.
Pour vérifier si nous pouvons appliquer le théorème de Rolle, nous devons nous assurer que les conditions requises sont remplies.
Nous savons que est continue sur l'intervalle donné car c'est un polynôme. Nous savons également que est différentiable sur l'intervalle :
Lorsque nous introduisons nous obtenons . Lorsque l'on branche on obtient .
Puisque , est continue sur , différentiable sur et alors le théorème de Rolle nous dit qu'il existe un nombre tel que .
Le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème de la valeur moyenne où
Le théorème de Rolle stipule que si une fonction est :
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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