Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
Get started for freeNous pouvons répartir les transformations en deux grandes catégories:
Toute fonction peut être transformée, vrai ou faux ?
Il existe quatre grands types de transformations:
Les transformations horizontales ne modifient que les _coordonnées des fonctions
Les transformations verticales ne modifient que les _coordonnées des fonctions.
Les transformations horizontales sont effectuées lorsque nous ajoutons/soustrayons un nombre de ___ ou que nous le multiplions par un nombre.
Les transformations horizontales, à l'exception de ___, fonctionnent de la manière opposée à celle à laquelle on s'attendrait.
Les transformations verticales sont effectuées lorsque nous ajoutons/soustrayons un nombre de ___, ou que nous le multiplions par un nombre.
Lestransformations verticales fonctionnent comme nous l'attendons, vrai ou faux ?
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Published: 18.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Tu te réveilles le matin, tu te diriges paresseusement vers la salle de bains et, encore à moitié endormie, tu commences à te peigner - après tout, le style d'abord. De l'autre côté du miroir, ton image, qui a l'air tout aussi fatiguée que toi, fait la même chose - mais elle tient le peigne dans l'autre main. Qu'est-ce qui se passe ?
Ton image est transformée par le miroir - plus précisément, elle est reflétée . Des transformations comme celle-ci se produisent tous les jours et tous les matins dans notre monde, ainsi que dans le monde beaucoup moins chaotique et confus du calcul.
Tout au long du calcul, on te demandera de transformer et de traduire des fonctions. Qu'est-ce que cela signifie exactement ? Cela signifie que l'on prend une fonction et que l'on y applique des changements pour créer une nouvelle fonction. C'est ainsi que les graphiques des fonctions peuvent être transformés en différents graphiques pour représenter différentes fonctions !
Dans cet article, tu vas explorer les transformations de fonctions, leurs règles, quelques erreurs courantes, et couvrir de nombreux exemples !
Il serait bon de bien maîtriser les concepts généraux des différents types de fonctions avant de te plonger dans cet article : assure-toi de lire d'abord l'article sur les fonctions !
Qu'est-ce qu'une transformation de fonction ? Jusqu'à présent, tu as appris à connaître les fonctions parentes et la façon dont leurs familles de fonctions partagent une forme similaire. Tu peux approfondir tes connaissances en apprenant comment transformer les fonctions.
Lestransformations de fonctions sont les processus utilisés sur une fonction existante et son graphique pour te donner une version modifiée de cette fonction et de son graphique qui a une forme similaire à la fonction d'origine.
Lors de la transformation d'une fonction, tu dois généralement te référer à la fonction mère pour décrire les transformations effectuées. Cependant, selon la situation, tu peux te référer à la fonction originale qui a été donnée pour décrire les changements.
Fig. 1.
Comme l'illustre l'image ci-dessus, les transformations de fonctions se présentent sous diverses formes et affectent les graphiques de différentes manières. Cela dit, nous pouvons répartir les transformations en deux grandes catégories:
Transformationshorizontales
Transformationsverticales
Toute fonction peut être transformée, horizontalement et/ou verticalement, par le biais de quatre grands types de transformations:
Décalages (ou translations) horizontaux et verticaux.
Rétrécissements (ou compressions) horizontaux et verticaux
Les étirements horizontaux et verticaux
Réflexions horizontales et verticales
Les transformations horizontales ne modifient que les coordonnées \(x\)des fonctions. Les transformations verticales ne modifient que les coordonnées \(y\) des fonctions.
Tu peux utiliser un tableau pour résumer les différentes transformations et leurs effets correspondants sur le graphique d'une fonction.
| Transformation de \( f(x) \), où \( c > 0 \) | Effet sur le graphique de \( f(x) \) |
| \n- f(x)+c \n- \n- \n- \n- \n- \c | Décalage vertical vers le haut de \(c\) unités |
| \N( f(x)-c \N) | Décalage vertical vers le bas de \(c\) unités |
| \N( f(x+c) \N) | Décalage horizontal vers la gauche de \(c\) unités |
| \N( f(x-c) \N) | Décalage horizontal vers la droite de \N(c\N) unités |
| \c \c \c gauche( f(x) \c droite) \c) | Etirement vertical de \(c\) unités, si \( c > 1 \) Rétrécissement vertical de \(c\) unités, si \( 0 < c < 1 \) |
| \N- f(cx) \N - \N - \N | Etirement horizontal de \N(c\N) unités, si \N( 0 < c < 1 \N) Rétrécissement horizontal de \N(c\N) unités, si \N( c > 1 \N) |
| \N -f(x) \N | Réflexion verticale (sur l'axe\ (\bf{x}\)) |
| \N- f(-x) \N- réflexion verticale (sur l'axe \N- bf{x}}) | Réflexion horizontale (sur l'axe\(\bf{y}\)) |
Les transformationshorizontales sont effectuées lorsque tu agis sur la variable d'entrée d'une fonction (généralement \(x\)). Tu peux
ajouter ou soustraire un nombre à la variable d'entrée de la fonction, ou
multiplier la variable d'entrée de la fonction par un nombre.
Voici un résumé du fonctionnement des transformations horizontales :
Décalage - L'ajout d'un nombre à \(x\) déplace la fonction vers la gauche ; la soustraction la déplace vers la droite.
Rétrécit - Multiplier \(x\) par un nombre dont la magnitude est supérieure à \(1\) rétrécit la fonction horizontalement.
Étire - Multiplier \(x\) par un nombre dont la magnitude est inférieure à \(1\) étire la fonction horizontalement.
Réflexion - La multiplication de \(x\N) par \N(-1\N) réfléchit la fonction horizontalement (sur l'axe \N(y\N)).
Les transformations horizontales, à l'exception de la réflexion, fonctionnent à l'inverse de ce à quoi tu t'attends !
Considère la fonction mère de l'image ci-dessus :
\[f(x) = x^{2}]
Il s'agit de la fonction mère d'une parabole. Maintenant, dis que tu veux transformer cette fonction en :
Comment peux-tu faire cela ?
Solution:
Fig. 2. 
Fig. 3. Les transformationsverticales sont effectuées lorsque tu agis sur l'ensemble de la fonction. Tu peux soit
ajouter ou soustraire un nombre à la fonction entière, ou
multiplier la fonction entière par un nombre.
Contrairement aux transformations horizontales, les transformations verticales fonctionnent comme tu t'y attends (youpi !). Voici un résumé du fonctionnement des transformations verticales :
Décalage - L'ajout d'un nombre à la fonction entière la décale vers le haut ; la soustraction la décale vers le bas.
Rétrécit - Multiplier la fonction entière par un nombre dont la magnitude est inférieure à \(1\) rétrécit la fonction.
Étire - Multiplier la fonction entière par un nombre dont la magnitude est supérieure à \(1\) étire la fonction.
Réflexions - La multiplication de la fonction entière par \(-1\) la reflète verticalement (sur l'axe \(x\)).
Considère à nouveau la fonction mère :
\[f(x) = x^{2}].
Maintenant, disons que tu veux transformer cette fonction en
Comment peux-tu faire cela ?
Solution:
Fig. 4. 
Fig. 5. Il est tentant de penser que la transformation horizontale qui consiste à ajouter à la variable indépendante, \(x\), déplace le graphique de la fonction vers la droite parce que tu penses que l'ajout est un déplacement vers la droite sur une droite numérique. Mais ce n'est pas le cas.
Rappelle-toi que les transformations horizontales déplacent le graphique dans le sens opposé à celui auquel tu t'attends !
Disons que tu as la fonction, \N( f(x) \N), et sa transformation, \N( f(x+3) \N). Comment la transformation \(+3\) déplace-t-elle le graphique de \( f(x) \) ?
Solution:
Si les transformations horizontales sont encore un peu déroutantes, réfléchis à ceci.
Regarde la fonction, \Nf(x) \Net sa transformation, \Nf(x+3) \Nde nouveau et pense au point du graphique de \Nf(x) \Noù \Nx = 0 \N. Tu as donc \Nf(f(0) \Npour la fonction originale.
Pour déterminer si une transformation est horizontale ou verticale, garde à l'esprit que les transformations ne sont horizontales que si elles sont appliquées à \(x\) lorsqu'elle a une puissance de \(1\).
Considère les fonctions :
\[g(x) = x^{3} - 4]
et
\N- h(x) = (x-4)^{3} \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Prends une minute pour réfléchir à la façon dont ces deux fonctions, par rapport à leur fonction mère \( f(x) = x^{3} \N-), sont transformées.
Peux-tu comparer et opposer leurs transformations ? À quoi ressemblent leurs graphiques ?
Solution:
Fig. 6. 
Fig. 7. Le graphique de Examinons une autre erreur courante.
En développant l'exemple précédent, considérons maintenant la fonction :
\[ f(x) = \frac{1}{2} \left( x^{3} - 4 \Nright) + 2 \N].
À première vue, on pourrait penser qu'il s'agit d'un décalage horizontal de \(4\) unités par rapport à la fonction mère \( f(x) = x^{3} \).
Ce n'est pas le cas !
Bien que tu puisses être tenté de le penser en raison des parenthèses, l'expression \( \left( x^{3} - 4 \right) \) n'indique pas un décalage horizontal parce que \(x\) a une puissance de \(3\), et non de \(1\). Par conséquent, \N( \Ngauche( x^{3} - 4 \Ndroite) \N) indique un décalage vertical de \N(4 \N) unités vers le bas par rapport à la fonction mère \N( f(x) = x^{3} \).
Pour obtenir les informations complètes sur la traduction, tu dois développer et simplifier :
\N[ \N- Début{alignement}
f(x) &= \Nfrac{1}{2} \Nà gauche( x^{3} - 4 \Nà droite) + 2 \N
&= \Nfrac{1}{2} x^{3} - 2 + 2 \N-
&= \N-frac{1}{2} x^{3}
\N- end{align} \]
Ceci t'indique qu'il n'y a, en fait, aucune translation verticale ou horizontale. Il y a seulement une compression verticale d'un facteur de \(2\) !
Comparons cette fonction à une autre qui lui ressemble beaucoup mais qui est transformée de manière très différente.
| \( f(x) = \frac{1}{2} \Nà gauche( x^{3} - 4 \Nà droite) + 2 = \Nfrac{1}{2} x^{3} \) | \N- f(x) = \Nfrac{1}{2} (x - 4)^{3} + 2 \) |
| compression verticale d'un facteur de \(2\) | compression verticale d'un facteur de \(2\) |
| pas de translation horizontale ou verticale | translation horizontale de \(4\) unités vers la droite |
| translation verticale de 2 unités vers le haut |
Fig. 8. Le graphique de la fonction cubique parente (bleu) et deux de ses transformations (vert, rose).
Tu dois t'assurer que le coefficient du terme \(x\) est entièrement pris en compte pour obtenir une analyse précise de la translation horizontale.
Considère la fonction :
\[g(x) = 2(3x + 12)^{2} +1 \N].
À première vue, on pourrait penser que cette fonction est décalée de \(12\) unités vers la gauche par rapport à sa fonction mère, \( f(x) = x^{2}). \).
Ce n'est pas le cas ! Bien que tu puisses être tenté de le penser en raison des parenthèses, la fonction \( (3x + 12)^{2} \N) n'indique pas un décalage vers la gauche de \N(12\N) unités. Tu dois factoriser le coefficient de \(x\) !
\N- g(x) = 2(3(x + 4)^{2}) + 1 \N- g(x) = 2(3(x + 4)^{2}) + 1 \N]
Ici, tu peux voir que la fonction est en fait décalée de \(4\) unités vers la gauche, et non de \(12\), après avoir écrit l'équation sous la forme appropriée. Le graphique ci-dessous permet de le prouver.
Fig. 9. Assure-toi de factoriser complètement le coefficient de \(x\) pour obtenir une analyse précise des transformations horizontales.
Comme pour la plupart des choses en mathématiques, l'ordre dans lequel les transformations des fonctions sont effectuées a de l'importance. Prenons par exemple la fonction mère d'une parabole,
\N[ f(x) = x^{2} \N]
Si tu appliques un étirement vertical de \N(3\N) puis un décalage vertical de \N(2\N), tu obtiendras un graphique final différent que si tu appliques un décalage vertical de \N(2\N) puis un étirement vertical de \N(3\N). En d'autres termes,
\N-[ \N-{align}
2 + 3f(x) &\N-{\N-{\N-{\N} 3(2 + f(x)) \\N-
2 + 3(x^{2}) &\N- 3(2 + x^{2})
\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- [\N- \N- \N-]. \]
Le tableau ci-dessous permet de visualiser cela.
| Un étirement vertical de \(3\), puis un décalage vertical de \(2\) | Un déplacement vertical de \N(2\N), puis un déplacement vertical de \N(3\N) |
|
|
Et comme pour la plupart des règles, il y a des exceptions ! Dans certaines situations, l'ordre n'a pas d'importance et le même graphique transformé sera généré quel que soit l'ordre dans lequel les transformations sont appliquées.
L'ordre des transformations est important lorsque
il y a des transformations de la même catégorie (c.-à-d. horizontales ou verticales)
mais ne sont pas du même type (c.-à-d. décalages, rétrécissements, étirements, compressions).
Qu'est-ce que cela signifie ? Regarde à nouveau l'exemple ci-dessus.
As-tu remarqué que la transformation (en vert) de la fonction parentale (en bleu) semble très différente entre les deux images ?
C'est parce que les transformations de la fonction parente étaient de la même catégorie (c'est-à-dire une transformation verticale ), mais étaient d'un type différent (c'est-à-dire un étirement et un décalage). Si tu changes l'ordre dans lequel tu effectues ces transformations, tu obtiens un résultat différent !
Alors, pour généraliser ce concept :
Disons que tu veux effectuer \N( 2 \N) différentes transformations horizontales sur une fonction :
Quels que soient les types de transformations horizontales que tu choisis, s'il ne s'agit pas des mêmes (par exemple, des décalages horizontaux), l'ordre dans lequel tu appliques ces transformations a de l'importance.
Disons que tu veux effectuer \N( 2 \N) différentes transformations verticales sur une autre fonction :
Peu importe les types de transformations verticales que tu choisis, s'ils ne sont pas les mêmes (par exemple, des décalages verticaux), l'ordre dans lequel tu appliques ces transformations a de l'importance.
Les transformations de fonctions de la même catégorie, mais de types différents , ne s'interpénètrent pas (c'est-à-dire que l'ordre est important).
Disons que tu as une fonction, \Nf_{0}(x) \Net des constantes \Na \Net \Nb \N.
Regarder les transformations horizontales :
Regarder les transformations verticales :
L'ordre des transformations n'a pas d'importance lorsque
Qu'est-ce que cela signifie ?
Si tu as une fonction à laquelle tu veux appliquer plusieurs transformations de la même catégorie et du même type, l'ordre n'a pas d'importance.
Tu peux appliquer des étirements/rétrécissements horizontaux dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Tu peux appliquer des décalages horizontaux dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Tu peux appliquer des réflexions horizontales dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Tu peux appliquer des étirements/rétrécissements verticaux dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Tu peux appliquer des décalages verticaux dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Tu peux appliquer des réflexions verticales dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Si tu as une fonction à laquelle tu veux appliquer des transformations de différentes catégories, l'ordre n'a pas d'importance.
Tu peux appliquer une transformation horizontale et une transformation verticale dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Les transformations de fonctions de la même catégorie et du même type sont commutées (c'est-à-dire que l'ordre n'a pas d'importance).
Disons que tu as une fonction, \N( f_{0}(x) \N), et des constantes \N( a \N) et \N( b \N).
Prenons un autre exemple.
Les transformations de fonctions qui sont de catégories différentes sont commutatives (c'est-à-dire que l'ordre n'a pas d'importance).
Disons que tu as une fonction, \N( f_{0}(x) \N), et des constantes \N( a \N) et \N( b \N).
Alors, y a-t-il un ordre correct des opérations lorsque l'on applique des transformations à des fonctions ?
La réponse courte est non, tu peux appliquer des transformations aux fonctions dans l'ordre que tu souhaites. Comme tu l'as vu dans la section sur les erreurs courantes, l'astuce consiste à apprendre à savoir quelles transformations ont été effectuées, et dans quel ordre, lorsque l'on passe d'une fonction (généralement une fonction parente) à une autre.
Tu es maintenant prêt à transformer quelques fonctions ! Pour commencer, tu vas essayer de transformer un point d'une fonction. Ce que tu vas faire, c'est déplacer un point spécifique en fonction de certaines transformations données.
Si le point \N( (2, -4)) est sur la fonction \N( y = f(x)), alors quel est le point correspondant sur \N( y = 2f(x-1)-3) ?
Solution:
Tu sais jusqu'à présent que le point \N(2, -4) \Nest sur le graphique de \N( y = f(x) \N). Tu peux donc dire que :
\[ f(2) = -4 \]
Ce que tu dois trouver, c'est le point correspondant qui se trouve sur \( y = 2f(x-1)-3 \N). Pour cela, tu dois examiner les transformations données par cette nouvelle fonction. En parcourant ces transformations, tu obtiens :
Donc, avec ces transformations effectuées sur la fonction, quelle qu'elle soit, le point correspondant à \( (2, -4) \N) est le point transformé \( \bf{ (3, -11) }). \).
Pour généraliser cet exemple, disons qu'on te donne la fonction \N( f(x)), le point \N( (x_0, f(x_0)) et la fonction transformée
\N[ g(y) = af(x = by+c)+d,\N]
Quel est le point correspondant ?
Tout d'abord, tu dois définir ce qu'est le point correspondant :
C'est le point du graphique de la fonction transformée tel que les coordonnées \(x\) du point original et du point transformé sont reliées par la transformation horizontale.
Tu dois donc trouver le point \((y_0, g(y_0))\) tel que
\N- x_0 = by_0+c\N]
Pour trouver le point \N(y_0), isole-le de l'équation ci-dessus :
\N[y_0 = \Nfrac{x_0-c}{b}\N].
Pour trouver \N(g(y_0)\N), ajoute \N(g\N) :
\N[g(y_0) = af(x = by_0+c)+d = af(x_0)+d\N].
Conclusion: pour trouver la composante \(x\)du point transformé, résous la transformation horizontale inversée; pour trouver la composante \(y\)du point transformé, résous la transformation verticale.
Voyons maintenant quelques exemples avec différents types de fonctions !
L'équation générale d'une fonction exponentielle transformée est :
\[ f(x) = a(b)^{k(x-d)}+c \]
Où ,
\[ a = \begin{cases}
\mbox{étirement vertical si } a > 1, \\N
\mbox{rétrécissement vertical si } 0 < a < 1, \\N-
\N-{réflexion sur } l'axe des x si } a \N-{ est négatif}
\N-{end{cases} \]
\[ b = \mbox{la base de la fonction exponentielle} \]
\[ c = \begin{cases}
\mbox{décalage vertical vers le haut si } c \mbox{ est positif}, \\\N
\mbox{décalage vertical vers le bas si } c \mbox{ est négatif}
\end{cases} \]
\[ d = \begin{cases}
\mbox{décalage horizontal vers la gauche si } +d \mbox{ est entre parenthèses}, \\\N
\mbox{horizontal shift right if } -d \mbox{ est entre parenthèses}
\end{cases} \]
\[ k = \begin{cases}
\mbox{étirement horizontal si } 0 < k < 1, \\N-
\N-{rétrécissement horizontal si } k > 1, \N-
\N-{réflexion sur } y-\N-{axe si } k \N-{est négatif}
\N-{end{cases} \]
Transformons la fonction exponentielle naturelle mère, \( f(x) = e^{x} \), en traçant le graphique de la fonction exponentielle naturelle :
\[ f(x) = -e^{2(x-1)}+3. \]
Solution:
Fig. 12. Graphique de la fonction \(e^x\).Commence par les parenthèses (décalages horizontaux).
Ici, tu as \(f(x) = e^{(x-1)}\), donc le graphique se déplace vers la droite de \(1\) unité.
Fig. 13. Graphique de la fonction \(e^x\) et sa transformation.Applique la multiplication (étire et/ou rétrécit)
Ici, tu as \( f(x) = e^{2(x-1)} \), donc le graphique se rétrécit horizontalement d'un facteur de \(2\).
Fig. 14. Applique les négations (réflexions)
Ici, tu as \( f(x) = -e^{2(x-1)} \), donc le graphique est réfléchi sur l'axe \(x\).
Applique l'addition/soustraction (décalages verticaux)
Ici, tu as \( f(x) = -e^{2(x-1)} + 3 \), donc le graphique est décalé vers le haut de \(3\) unités.
Fig. 16. Trace le graphique de la fonction transformée finale.
Fig. 17. L'équation générale d'une fonction logarithmique transformée est :
\[ f(x) = a\mbox{log}_{b}(kx+d)+c. \]
Où ,
\[ a = \begin{cases}
\mbox{étirement vertical si } a > 1, \\N
\mbox{rétrécissement vertical si } 0 < a < 1, \\N-
\N-{réflexion sur } l'axe des x si } a \N-{ est négatif}
\N-{end{cases} \]
\[ b = \mbox{la base de la fonction logarithmique} \]
\[ c = \begin{cases}
\mbox{décalage vertical vers le haut si } c \mbox{ est positif}, \\\N
\mbox{décalage vertical vers le bas si } c \mbox{ est négatif}
\end{cases} \]
\[ d = \begin{cases}
\mbox{décalage horizontal vers la gauche si } +d \mbox{ est entre parenthèses}, \\\N
\mbox{horizontal shift right if } -d \mbox{ est entre parenthèses}
\end{cases} \]
\[ k = \begin{cases}
\mbox{étirement horizontal si } 0 < k < 1, \\N-
\N-{rétrécissement horizontal si } k > 1, \N-
\N-{réflexion sur } y-\N-{axe si } k \N-{est négatif}
\N-{end{cases} \]
Transformons la fonction logarithme naturel mère, \( f(x) = \text{log}_{e}(x) = \text{ln}(x) \) en traçant le graphique de la fonction :
\[ f(x) = -2\text{ln}(x+2)-3. \]
Solution:
Fig. 18. Commence par les parenthèses (décalages horizontaux).
Ici, tu as \( f(x) = \text{ln}(x+2) \), donc le graphique se déplace vers la gauche de \(2\) unités.
Fig. 19. Applique la multiplication (étire et/ou rétrécit)
Ici, tu as \( f(x) = 2\text{ln}(x+2) \), donc le graphique s'étire verticalement d'un facteur de \(2\).
Fig. 20. Applique les négations (réflexions)
Ici, tu as \( f(x) = -2\text{ln}(x+2) \), donc le graphique se reflète sur l'axe \(x\).
Fig. 21. Applique l'addition/soustraction (décalages verticaux)
Ici, tu as \N( f(x) = -2\text{ln}(x+2)-3\N), donc le graphique se décale vers le bas de \N(3\N) unités.
Fig. 22. 
L'équation générale d'une fonction rationnelle est la suivante :
\[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} ,\]
où
\[ P(x) \mbox{ et } Q(x) \mbox{ sont des fonctions polynomiales, et } Q(x) \neq 0. \]
Puisqu'une fonction rationnelle est composée de fonctions polynomiales, l'équation générale d'une fonction polynomiale transformée s'applique au numérateur et au dénominateur d'une fonction rationnelle. L'équation générale d'une fonction polynomiale transformée est la suivante :
\N[ f(x) = a \Ngauche( f(k(x-d)) + c \Ndroite), \N]
où ,
\[ a = \begin{cases}
\mbox{étirement vertical si } a > 1, \\N
\mbox{rétrécissement vertical si } 0 < a < 1, \N
\Nmbox{réflexion sur } x-\Nmbox{axe si } a \Nmbox{ est négatif}
\Nend{cases} \]
\[ c = \begin{cases}
\mbox{déplacement vertical vers le haut si } c \mbox{ est positif}, \\N
\mbox{déplacement vertical vers le bas si } c \mbox{ est négatif}
\Nend{cases} \]
\[ d = \begin{cases}
\mbox{décalage horizontal vers la gauche si } +d \mbox{ est entre parenthèses}, \\\N-
\mbox{horizontal shift right if } -d \mbox{ est entre parenthèses}
\end{cases} \]
\[ k = \begin{cases}
\mbox{étirement horizontal si } 0 < k < 1, \\N-
\N-{rétrécissement horizontal si } k > 1, \N-
\N-{réflexion sur } y-\N-{axe si } k \N-{est négatif}
\N-{end{cases} \]
Transformons la fonction réciproque parente, \( f(x) = \frac{1}{x}) \) en traçant le graphique de la fonction :
\[ f(x) = - \frac{2}{2x-6}+3. \]
Solution:
Fig. 24. Le graphique de la fonction rationnelle parente.Commence par les parenthèses (décalages horizontaux)
Applique la multiplication (étire et/ou rétrécit) C'est une étape délicate.
Ici, tu as un rétrécissement horizontal d'un facteur de \(2\N) (à partir de \N(2\N) au dénominateur) et un étirement vertical d'un facteur de \N(2 \N) (à partir de \N(2\N) au numérateur).
Ici, tu as \( f(x) = \frac{2}{2(x-3)} \), ce qui te donne le même graphique que \( f(x) = \frac{1}{x-3} \).
Fig. 25.
Applique les négations (réflexions)
Ici, tu as \( f(x) = - \frac{2}{2(x-3)} \), donc le graphique se reflète sur l'axe \(x\).
Fig. 26.
Applique l'addition/soustraction (décalages verticaux)
Ici, tu as \( f(x) = - \frac{2}{2(x-3)} + 3 \), donc le graphique se déplace vers le haut de \(3\) unités.
Fig. 27. 
Fig. 28. Les transformations horizontales
Transformations verticales
Les transformations verticales sont effectuées lorsque nous ajoutons/soustrayons un nombre à la fonction entière, ou lorsque nous multiplions la fonction entière par un nombre. Contrairement aux transformations horizontales, les transformations verticales fonctionnent comme on s'y attend.
Toute fonction peut être transformée, horizontalement et/ou verticalement, par le biais de quatre principaux types de transformations:
Décalages (ou translations) horizontaux et verticaux
Rétrécissements horizontaux et verticaux (ou compressions)
Les étirements horizontaux et verticaux
Réflexions horizontales et verticales
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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