Sauter à un chapitre clé
Ton image est transformée par le miroir - plus précisément, elle est reflétée . Des transformations comme celle-ci se produisent tous les jours et tous les matins dans notre monde, ainsi que dans le monde beaucoup moins chaotique et confus du calcul.
Tout au long du calcul, on te demandera de transformer et de traduire des fonctions. Qu'est-ce que cela signifie exactement ? Cela signifie que l'on prend une fonction et que l'on y applique des changements pour créer une nouvelle fonction. C'est ainsi que les graphiques des fonctions peuvent être transformés en différents graphiques pour représenter différentes fonctions !
Dans cet article, tu vas explorer les transformations de fonctions, leurs règles, quelques erreurs courantes, et couvrir de nombreux exemples !
Il serait bon de bien maîtriser les concepts généraux des différents types de fonctions avant de te plonger dans cet article : assure-toi de lire d'abord l'article sur les fonctions !
- Transformations de fonctions : signification
- Transformations de fonctions : règles
- Transformations de fonctions : erreurs courantes
- Transformations de fonctions : ordre des opérations
- Transformations de fonctions : transformations d'un point
- Transformations fonctionnelles : exemples
Transformations de fonctions : Signification
Qu'est-ce qu'une transformation de fonction ? Jusqu'à présent, tu as appris à connaître les fonctions parentes et la façon dont leurs familles de fonctions partagent une forme similaire. Tu peux approfondir tes connaissances en apprenant comment transformer les fonctions.
Lestransformations de fonctions sont les processus utilisés sur une fonction existante et son graphique pour te donner une version modifiée de cette fonction et de son graphique qui a une forme similaire à la fonction d'origine.
Lors de la transformation d'une fonction, tu dois généralement te référer à la fonction mère pour décrire les transformations effectuées. Cependant, selon la situation, tu peux te référer à la fonction originale qui a été donnée pour décrire les changements.
Fig. 1.
Transformations de fonctions : Règles
Comme l'illustre l'image ci-dessus, les transformations de fonctions se présentent sous diverses formes et affectent les graphiques de différentes manières. Cela dit, nous pouvons répartir les transformations en deux grandes catégories:
Transformationshorizontales
Transformationsverticales
Toute fonction peut être transformée, horizontalement et/ou verticalement, par le biais de quatre grands types de transformations:
Décalages (ou translations) horizontaux et verticaux.
Rétrécissements (ou compressions) horizontaux et verticaux
Les étirements horizontaux et verticaux
Réflexions horizontales et verticales
Les transformations horizontales ne modifient que les coordonnées \(x\)des fonctions. Les transformations verticales ne modifient que les coordonnées \(y\) des fonctions.
Transformations de fonctions : Décomposition des règles
Tu peux utiliser un tableau pour résumer les différentes transformations et leurs effets correspondants sur le graphique d'une fonction.
| Transformation de \( f(x) \), où \( c > 0 \) | Effet sur le graphique de \( f(x) \) |
| \n- f(x)+c \n- \n- \n- \n- \n- \c | Décalage vertical vers le haut de \(c\) unités |
| \N( f(x)-c \N) | Décalage vertical vers le bas de \(c\) unités |
| \N( f(x+c) \N) | Décalage horizontal vers la gauche de \(c\) unités |
| \N( f(x-c) \N) | Décalage horizontal vers la droite de \N(c\N) unités |
| \c \c \c gauche( f(x) \c droite) \c) | Etirement vertical de \(c\) unités, si \( c > 1 \)Rétrécissement vertical de \(c\) unités, si \( 0 < c < 1 \) |
| \N- f(cx) \N - \N - \N | Etirement horizontal de \N(c\N) unités, si \N( 0 < c < 1 \N)Rétrécissement horizontal de \N(c\N) unités, si \N( c > 1 \N) |
| \N -f(x) \N | Réflexion verticale (sur l'axe\ (\bf{x}\)) |
| \N- f(-x) \N- réflexion verticale (sur l'axe \N- bf{x}}) | Réflexion horizontale (sur l'axe\(\bf{y}\)) |
Transformations horizontales - Exemple
Les transformationshorizontales sont effectuées lorsque tu agis sur la variable d'entrée d'une fonction (généralement \(x\)). Tu peux
ajouter ou soustraire un nombre à la variable d'entrée de la fonction, ou
multiplier la variable d'entrée de la fonction par un nombre.
Voici un résumé du fonctionnement des transformations horizontales :
Décalage - L'ajout d'un nombre à \(x\) déplace la fonction vers la gauche ; la soustraction la déplace vers la droite.
Rétrécit - Multiplier \(x\) par un nombre dont la magnitude est supérieure à \(1\) rétrécit la fonction horizontalement.
Étire - Multiplier \(x\) par un nombre dont la magnitude est inférieure à \(1\) étire la fonction horizontalement.
Réflexion - La multiplication de \(x\N) par \N(-1\N) réfléchit la fonction horizontalement (sur l'axe \N(y\N)).
Les transformations horizontales, à l'exception de la réflexion, fonctionnent à l'inverse de ce à quoi tu t'attends !
Considère la fonction mère de l'image ci-dessus :
\[f(x) = x^{2}]
Il s'agit de la fonction mère d'une parabole. Maintenant, dis que tu veux transformer cette fonction en :
- en la décalant vers la gauche de \(5\) unités
- En la rétrécissant horizontalement d'un facteur de \(2\)
- En la réfléchissant sur l'axe \(y\)
Comment peux-tu faire cela ?
Solution:
- Trace le graphique de la fonction mère.
Fig. 2. Graphique de la fonction mère d'une parabole.
- Écris la fonction transformée.
- Commence par la fonction mère :
- \N( f_{0}(x) = x^{2}) \)
- Ajoute le décalage vers la gauche de 5 unités en mettant des parenthèses autour de la variable d'entrée, \N(x\N), et en mettant \N(+5\N) entre ces parenthèses après \N(x\N) :
- \N( f_{1}(x) = f_{0}(x+5) = \Nà gauche( x+5 \Nà droite)^{2} \)
- Ensuite, multiplie le \(x) par le \(2) pour le rétrécir horizontalement :
- \N( f_{2}(x) = f_{1}(2x) = \Nà gauche( 2x+5 \Nà droite)^{2} \)
- Enfin, pour réfléchir sur l'axe \(y\), multiplie \(x\) par \(-1\) :
- \N( f_{3}(x) = f_{2}(-x) = \Nà gauche( -2x+5 \Nà droite)^{2} \)
- Ta fonction transformée finale est donc :
- \( \bf{ f(x) } = \bf{ \left( -2x + 5 \right)^{2} } \)
- Commence par la fonction mère :
- Représente graphiquement la fonction transformée et compare-la à la fonction mère pour t'assurer que les transformations ont un sens.
Fig. 3. Les graphiques de la fonction parente d'une parabole (bleu) et de sa transformation (vert).- Ce qu'il faut noter ici :
- La fonction transformée est à droite en raison de la réflexion sur l'axe \(y\) effectuée après le décalage.
- La fonction transformée est décalée de \(2,5\N) au lieu de \N(5\N) en raison du rétrécissement d'un facteur de \N(2\N).
Transformations verticales - Exemple
Les transformationsverticales sont effectuées lorsque tu agis sur l'ensemble de la fonction. Tu peux soit
ajouter ou soustraire un nombre à la fonction entière, ou
multiplier la fonction entière par un nombre.
Contrairement aux transformations horizontales, les transformations verticales fonctionnent comme tu t'y attends (youpi !). Voici un résumé du fonctionnement des transformations verticales :
Décalage - L'ajout d'un nombre à la fonction entière la décale vers le haut ; la soustraction la décale vers le bas.
Rétrécit - Multiplier la fonction entière par un nombre dont la magnitude est inférieure à \(1\) rétrécit la fonction.
Étire - Multiplier la fonction entière par un nombre dont la magnitude est supérieure à \(1\) étire la fonction.
Réflexions - La multiplication de la fonction entière par \(-1\) la reflète verticalement (sur l'axe \(x\)).
Considère à nouveau la fonction mère :
\[f(x) = x^{2}].
Maintenant, disons que tu veux transformer cette fonction en
- En la décalant vers le haut de \(5\) unités
- En la rétrécissant verticalement d'un facteur de \(2\)
- En la réfléchissant sur l'axe \(x\)
Comment peux-tu faire cela ?
Solution:
- Trace le graphique de la fonction mère.
Fig. 4. Graphique de la fonction mère d'une parabole.
- Écris la fonction transformée.
- Commence par la fonction mère :
- \N( f_{0}(x) = x^{2}) \)
- Ajoute le décalage vers le haut de \(5\) unités en mettant \(+5\) après \( x^{2} \) :
- \N- f_{1}(x) = f_{0}(x) + 5 = x^{2} + 5 \)
- Ensuite, multiplie la fonction par \N( \Nfrac{1}{2} \N) pour la comprimer verticalement par un facteur de \N(2\N) :
- \N( f_{2}(x) = \frac{1}{2}) \Nà gauche( f_{1}(x) \Nà droite) = \Nfrac{x^{2}+5}{2} \)
- Enfin, pour réfléchir sur l'axe \N(x), multiplie la fonction par \N(-1) :
- \N( f_{3}(x) = -f_{2}(x) = - \frac{x^{2}+5}{2}) \)
- Ta fonction transformée finale est donc :
- \( \bf{ f(x) } = \bf{ - \frac{x^{2}+5}{2}) } \)
- Commence par la fonction mère :
- Représente graphiquement la fonction transformée et compare-la à la fonction mère pour t'assurer que les transformations ont un sens.
Fig. 5. Graphiques d'une fonction parente d'une parabole (bleu) et de sa transformation (vert).
Transformations de fonctions : Erreurs courantes
Il est tentant de penser que la transformation horizontale qui consiste à ajouter à la variable indépendante, \(x\), déplace le graphique de la fonction vers la droite parce que tu penses que l'ajout est un déplacement vers la droite sur une droite numérique. Mais ce n'est pas le cas.
Rappelle-toi que les transformations horizontales déplacent le graphique dans le sens opposé à celui auquel tu t'attends !
Disons que tu as la fonction, \N( f(x) \N), et sa transformation, \N( f(x+3) \N). Comment la transformation \(+3\) déplace-t-elle le graphique de \( f(x) \) ?
Solution:
- Il s'agit d'une transformation horizontale car l'addition est appliquée à la variable indépendante, \(x).
- Par conséquent, tu sais que le graphique se déplace à l'opposé de ce à quoi tu t'attendais.
- Le graphique de \( f(x) \) est déplacé vers la gauche de 3 unités.
Pourquoi les transformations horizontales sont-elles le contraire de ce qui est attendu ?
Si les transformations horizontales sont encore un peu déroutantes, réfléchis à ceci.
Regarde la fonction, \Nf(x) \Net sa transformation, \Nf(x+3) \Nde nouveau et pense au point du graphique de \Nf(x) \Noù \Nx = 0 \N. Tu as donc \Nf(f(0) \Npour la fonction originale.
- Quelle doit être la valeur de \N(x) dans la fonction transformée pour que \N( f(x+3) = f(0)) ?
- Dans ce cas, \N(x\N) doit être \N(-3\N).
- Tu obtiens donc : \Nf(f(-3+3) = f(0) \N).
- Cela signifie que tu dois décaler le graphique vers la gauche de 3 unités, ce qui est logique si l'on pense à ce que tu vois lorsque tu vois un nombre négatif.
Pour déterminer si une transformation est horizontale ou verticale, garde à l'esprit que les transformations ne sont horizontales que si elles sont appliquées à \(x\) lorsqu'elle a une puissance de \(1\).
Considère les fonctions :
\[g(x) = x^{3} - 4]
et
\N- h(x) = (x-4)^{3} \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Prends une minute pour réfléchir à la façon dont ces deux fonctions, par rapport à leur fonction mère \( f(x) = x^{3} \N-), sont transformées.
Peux-tu comparer et opposer leurs transformations ? À quoi ressemblent leurs graphiques ?
Solution:
- Trace le graphique de la fonction mère.
Fig. 6. Le graphique de la fonction cubique parente.
- Détermine les transformations indiquées par \( g(x) \) et \( h(x) \).
- Pour \N( g(x) \N) :
- Puisque \(4\) est soustrait de la fonction entière, et pas seulement de la variable d'entrée \(x\), le graphique de \( g(x) \) se déplace verticalement vers le bas de \(4\) unités.
- Pour \N( h(x) \N) :
- Puisque \(4\) est soustrait de la variable d'entrée \(x), et non de la fonction entière, le graphique de \( h(x) \) se déplace horizontalement vers la droite de \(4\) unités.
- Pour \N( g(x) \N) :
- Représente les fonctions transformées par la fonction mère et compare-les.
Fig. 7. Le graphique de la fonction cubique mère (bleu) et de deux de ses transformations (vert, rose).
Examinons une autre erreur courante.
En développant l'exemple précédent, considérons maintenant la fonction :
\[ f(x) = \frac{1}{2} \left( x^{3} - 4 \Nright) + 2 \N].
À première vue, on pourrait penser qu'il s'agit d'un décalage horizontal de \(4\) unités par rapport à la fonction mère \( f(x) = x^{3} \).
Ce n'est pas le cas !
Bien que tu puisses être tenté de le penser en raison des parenthèses, l'expression \( \left( x^{3} - 4 \right) \) n'indique pas un décalage horizontal parce que \(x\) a une puissance de \(3\), et non de \(1\). Par conséquent, \N( \Ngauche( x^{3} - 4 \Ndroite) \N) indique un décalage vertical de \N(4 \N) unités vers le bas par rapport à la fonction mère \N( f(x) = x^{3} \).
Pour obtenir les informations complètes sur la traduction, tu dois développer et simplifier :
\N[ \N- Début{alignement}f(x) &= \Nfrac{1}{2} \Nà gauche( x^{3} - 4 \Nà droite) + 2 \N&= \Nfrac{1}{2} x^{3} - 2 + 2 \N-&= \N-frac{1}{2} x^{3}\N- end{align} \]
Ceci t'indique qu'il n'y a, en fait, aucune translation verticale ou horizontale. Il y a seulement une compression verticale d'un facteur de \(2\) !
Comparons cette fonction à une autre qui lui ressemble beaucoup mais qui est transformée de manière très différente.
| \( f(x) = \frac{1}{2} \Nà gauche( x^{3} - 4 \Nà droite) + 2 = \Nfrac{1}{2} x^{3} \) | \N- f(x) = \Nfrac{1}{2} (x - 4)^{3} + 2 \) |
| compression verticale d'un facteur de \(2\) | compression verticale d'un facteur de \(2\) |
| pas de translation horizontale ou verticale | translation horizontale de \(4\) unités vers la droite |
| translation verticale de 2 unités vers le haut |
Fig. 8. Le graphique de la fonction cubique parente (bleu) et deux de ses transformations (vert, rose).
Tu dois t'assurer que le coefficient du terme \(x\) est entièrement pris en compte pour obtenir une analyse précise de la translation horizontale.
Considère la fonction :
\[g(x) = 2(3x + 12)^{2} +1 \N].
À première vue, on pourrait penser que cette fonction est décalée de \(12\) unités vers la gauche par rapport à sa fonction mère, \( f(x) = x^{2}). \).
Ce n'est pas le cas ! Bien que tu puisses être tenté de le penser en raison des parenthèses, la fonction \( (3x + 12)^{2} \N) n'indique pas un décalage vers la gauche de \N(12\N) unités. Tu dois factoriser le coefficient de \(x\) !
\N- g(x) = 2(3(x + 4)^{2}) + 1 \N- g(x) = 2(3(x + 4)^{2}) + 1 \N]
Ici, tu peux voir que la fonction est en fait décalée de \(4\) unités vers la gauche, et non de \(12\), après avoir écrit l'équation sous la forme appropriée. Le graphique ci-dessous permet de le prouver.
Fig. 9. Assure-toi de factoriser complètement le coefficient de \(x\) pour obtenir une analyse précise des transformations horizontales.
Transformations de fonctions : Ordre des opérations
Comme pour la plupart des choses en mathématiques, l'ordre dans lequel les transformations des fonctions sont effectuées a de l'importance. Prenons par exemple la fonction mère d'une parabole,
\N[ f(x) = x^{2} \N]
Si tu appliques un étirement vertical de \N(3\N) puis un décalage vertical de \N(2\N), tu obtiendras un graphique final différent que si tu appliques un décalage vertical de \N(2\N) puis un étirement vertical de \N(3\N). En d'autres termes,
\N-[ \N-{align}2 + 3f(x) &\N-{\N-{\N-{\N} 3(2 + f(x)) \\N-2 + 3(x^{2}) &\N- 3(2 + x^{2})\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- [\N- \N- \N-]. \]
Le tableau ci-dessous permet de visualiser cela.
| Un étirement vertical de \(3\), puis un décalage vertical de \(2\) | Un déplacement vertical de \N(2\N), puis un déplacement vertical de \N(3\N) |
|
|
Transformations de fonctions : Quand l'ordre est-il important ?
Et comme pour la plupart des règles, il y a des exceptions ! Dans certaines situations, l'ordre n'a pas d'importance et le même graphique transformé sera généré quel que soit l'ordre dans lequel les transformations sont appliquées.
L'ordre des transformations est important lorsque
il y a des transformations de la même catégorie (c.-à-d. horizontales ou verticales)
mais ne sont pas du même type (c.-à-d. décalages, rétrécissements, étirements, compressions).
Qu'est-ce que cela signifie ? Regarde à nouveau l'exemple ci-dessus.
As-tu remarqué que la transformation (en vert) de la fonction parentale (en bleu) semble très différente entre les deux images ?
C'est parce que les transformations de la fonction parente étaient de la même catégorie (c'est-à-dire une transformation verticale ), mais étaient d'un type différent (c'est-à-dire un étirement et un décalage). Si tu changes l'ordre dans lequel tu effectues ces transformations, tu obtiens un résultat différent !
Alors, pour généraliser ce concept :
Disons que tu veux effectuer \N( 2 \N) différentes transformations horizontales sur une fonction :
Quels que soient les types de transformations horizontales que tu choisis, s'il ne s'agit pas des mêmes (par exemple, des décalages horizontaux), l'ordre dans lequel tu appliques ces transformations a de l'importance.
Disons que tu veux effectuer \N( 2 \N) différentes transformations verticales sur une autre fonction :
Peu importe les types de transformations verticales que tu choisis, s'ils ne sont pas les mêmes (par exemple, des décalages verticaux), l'ordre dans lequel tu appliques ces transformations a de l'importance.
Les transformations de fonctions de la même catégorie, mais de types différents , ne s'interpénètrent pas (c'est-à-dire que l'ordre est important).
Disons que tu as une fonction, \Nf_{0}(x) \Net des constantes \Na \Net \Nb \N.
Regarder les transformations horizontales :
- Disons que tu veux appliquer un décalage horizontal et un étirement (ou rétrécissement) horizontal à une fonction générale. Si tu appliques d'abord l'étirement (ou le rétrécissement) horizontal, tu obtiens :\N[ \N-{align}f_{1}(x) &= f_{0}(ax) \N-{align}f_{2}(x) &= f_{1}(x+b) = f_{0} \n- gauche( a(x+b) \n-droit)\n- fin{align} \]
- Maintenant, si tu appliques d'abord le décalage horizontal, tu obtiens :\[ \begin{align}g_{1}(x) &= f_{0}(x+b) \\N-g_{2}(x) &= g_{1}(ax) = f_{0}(ax+b)\end{align} \]
- When you compare these two results, you see that:\[ \begin{align}f_{2}(x) &\neq g_{2}(x) \\f_{0} \left( a(x+b) \right) &\neq f_{0}(ax+b)\end{align} \]
Regarder les transformations verticales :
- Disons que tu veux appliquer un décalage vertical et un étirement vertical (ou un rétrécissement) à une fonction générale. Then, if you apply the vertical stretch (or shrink) first, you get:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= af_{0}(x) \\f_{2}(x) &= b+f_{1}(x) = b+af_{0}(x)\end{align} \]
- Now, if you apply the vertical shift first, you get:\[ \begin{align}g_{1}(x) &= b+f_{0}(x) \\g_{2}(x) &= ag_{1}(x) = a \left( b+f_{0}(x) \right)\end{align} \]
- When you compare these two results, you see that:\[ \begin{align}f_{2}(x) &\neq g_{2}(x) \\b+af_{0}(x) &\neq a \left( b+f_{0}(x) \right)\end{align} \]
L'ordre des transformations n'a pas d'importance lorsque
- il y a des transformations de la même catégorie et du même type, ou
- il y a des transformations qui appartiennent à des catégories différentes.
Qu'est-ce que cela signifie ?
Si tu as une fonction à laquelle tu veux appliquer plusieurs transformations de la même catégorie et du même type, l'ordre n'a pas d'importance.
Tu peux appliquer des étirements/rétrécissements horizontaux dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Tu peux appliquer des décalages horizontaux dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Tu peux appliquer des réflexions horizontales dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Tu peux appliquer des étirements/rétrécissements verticaux dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Tu peux appliquer des décalages verticaux dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Tu peux appliquer des réflexions verticales dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Si tu as une fonction à laquelle tu veux appliquer des transformations de différentes catégories, l'ordre n'a pas d'importance.
Tu peux appliquer une transformation horizontale et une transformation verticale dans n'importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Les transformations de fonctions de la même catégorie et du même type sont commutées (c'est-à-dire que l'ordre n'a pas d'importance).
Disons que tu as une fonction, \N( f_{0}(x) \N), et des constantes \N( a \N) et \N( b \N).
- Si tu veux appliquer plusieurs étirements/rétrécissements horizontaux, tu obtiens :\N[ \Nbegin{align}f_{1}(x) &= f_{0}(ax) \Nf_{2}(x) &= f_{1}(bx) \N&= f_{0}(abx)\Nend{align} \]
- Le produit \(ab\) est commutatif, donc l'ordre des deux étirements/rétrécissements horizontaux n'a pas d'importance.
- If you want to apply multiple horizontal shifts, you get:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= f_{0}(a+x) \\f_{2}(x) &= f_{1}(b+x) \\&= f_{0}(a+b+x)\end{align} \]
- La somme \(a+b\) est commutative, l'ordre des deux étirements horizontaux n'a donc pas d'importance.
- If you want to apply multiple vertical stretches/shrinks, you get:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= af_{0}(x) \\f_{2}(x) &= bf_{1}(x) \\&= abf_{0}(x)\end{align} \]
- Le produit \(ab\) est commutatif, donc l'ordre des deux étirements/rétrécissements verticaux n'a pas d'importance.
- If you want to apply multiple vertical shifts, you get:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= a + f_{0}(x) \\f_{2}(x) &= b + f_{1}(x) \\&= a + b + f_{0}(x)\end{align} \]
- La somme \(a+b\) est commutative, l'ordre des deux décalages verticaux n'a donc pas d'importance.
Prenons un autre exemple.
Les transformations de fonctions qui sont de catégories différentes sont commutatives (c'est-à-dire que l'ordre n'a pas d'importance).
Disons que tu as une fonction, \N( f_{0}(x) \N), et des constantes \N( a \N) et \N( b \N).
- If you want to combine a horizontal stretch/shrink and a vertical stretch/shrink, you get:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= f_{0}(ax) \\f_{2}(x) &= bf_{1}(x) \\&= bf_{0}(ax)\end{align} \]
- Maintenant, si tu inverses l'ordre dans lequel ces deux transformations sont appliquées, tu obtiens :\[ \begin{align}g_{1}(x) &= bf_{0}(x) \\N-g_{2}(x) &= g_{1}(ax) \N-&= bf_{0}(ax)\n- end{align}] \]
- When you compare these two results, you see that:\[ \begin{align}f_{2}(x) &= g_{2}(x) \\bf_{0}(ax) &= bf_{0}(ax)\end{align} \]
Alors, y a-t-il un ordre correct des opérations lorsque l'on applique des transformations à des fonctions ?
La réponse courte est non, tu peux appliquer des transformations aux fonctions dans l'ordre que tu souhaites. Comme tu l'as vu dans la section sur les erreurs courantes, l'astuce consiste à apprendre à savoir quelles transformations ont été effectuées, et dans quel ordre, lorsque l'on passe d'une fonction (généralement une fonction parente) à une autre.
Transformations de fonctions : Transformations des points
Tu es maintenant prêt à transformer quelques fonctions ! Pour commencer, tu vas essayer de transformer un point d'une fonction. Ce que tu vas faire, c'est déplacer un point spécifique en fonction de certaines transformations données.
Si le point \N( (2, -4)) est sur la fonction \N( y = f(x)), alors quel est le point correspondant sur \N( y = 2f(x-1)-3) ?
Solution:
Tu sais jusqu'à présent que le point \N(2, -4) \Nest sur le graphique de \N( y = f(x) \N). Tu peux donc dire que :
\[ f(2) = -4 \]
Ce que tu dois trouver, c'est le point correspondant qui se trouve sur \( y = 2f(x-1)-3 \N). Pour cela, tu dois examiner les transformations données par cette nouvelle fonction. En parcourant ces transformations, tu obtiens :
- Commence par les parenthèses.
- Ici, tu as \N( (x-1) \N). → Cela signifie que tu décales le graphique vers la droite de \(1\) unité.
- Comme c'est la seule transformation appliquée à l'entrée, tu sais qu'il n'y a pas d'autres transformations horizontales sur le point.
- Tu sais donc que le point transformé a une coordonnée \(x\) de \(3\).
- Applique la multiplication.
- Ici, tu as \N( 2f(x-1) \N). → Le \(2\) signifie que tu as un étirement vertical d'un facteur de \(2\), donc ta coordonnée \(y\) double pour atteindre \(-8\).
- Mais tu n'as pas encore terminé ! Il te reste encore une transformation verticale.
- Applique l'addition/soustraction.
- Ici, tu as appliqué le \(-3\) à l'ensemble de la fonction. → Cela signifie que tu as un décalage vers le bas, donc tu soustrais \(3\) de ta coordonnée \(y\).
- Tu sais donc que le point transformé a une coordonnée \(y\) de \(-11\).
- Ici, tu as appliqué le \(-3\) à l'ensemble de la fonction. → Cela signifie que tu as un décalage vers le bas, donc tu soustrais \(3\) de ta coordonnée \(y\).
Donc, avec ces transformations effectuées sur la fonction, quelle qu'elle soit, le point correspondant à \( (2, -4) \N) est le point transformé \( \bf{ (3, -11) }). \).
Pour généraliser cet exemple, disons qu'on te donne la fonction \N( f(x)), le point \N( (x_0, f(x_0)) et la fonction transformée\N[ g(y) = af(x = by+c)+d,\N]Quel est le point correspondant ?
Tout d'abord, tu dois définir ce qu'est le point correspondant :
C'est le point du graphique de la fonction transformée tel que les coordonnées \(x\) du point original et du point transformé sont reliées par la transformation horizontale.
Tu dois donc trouver le point \((y_0, g(y_0))\) tel que
\N- x_0 = by_0+c\N]
Pour trouver le point \N(y_0), isole-le de l'équation ci-dessus :
\N[y_0 = \Nfrac{x_0-c}{b}\N].
Pour trouver \N(g(y_0)\N), ajoute \N(g\N) :
\N[g(y_0) = af(x = by_0+c)+d = af(x_0)+d\N].
Conclusion: pour trouver la composante \(x\)du point transformé, résous la transformation horizontale inversée; pour trouver la composante \(y\)du point transformé, résous la transformation verticale.
Transformations de fonctions : Exemples
Voyons maintenant quelques exemples avec différents types de fonctions !
Transformations de la fonction exponentielle
L'équation générale d'une fonction exponentielle transformée est :
\[ f(x) = a(b)^{k(x-d)}+c \]
Où ,
\[ a = \begin{cases}\mbox{étirement vertical si } a > 1, \\N\mbox{rétrécissement vertical si } 0 < a < 1, \\N-\N-{réflexion sur } l'axe des x si } a \N-{ est négatif}\N-{end{cases} \]
\[ b = \mbox{la base de la fonction exponentielle} \]
\[ c = \begin{cases}\mbox{décalage vertical vers le haut si } c \mbox{ est positif}, \\\N\mbox{décalage vertical vers le bas si } c \mbox{ est négatif}\end{cases} \]
\[ d = \begin{cases}\mbox{décalage horizontal vers la gauche si } +d \mbox{ est entre parenthèses}, \\\N\mbox{horizontal shift right if } -d \mbox{ est entre parenthèses}\end{cases} \]
\[ k = \begin{cases}\mbox{étirement horizontal si } 0 < k < 1, \\N-\N-{rétrécissement horizontal si } k > 1, \N-\N-{réflexion sur } y-\N-{axe si } k \N-{est négatif}\N-{end{cases} \]
Transformons la fonction exponentielle naturelle mère, \( f(x) = e^{x} \), en traçant le graphique de la fonction exponentielle naturelle :
\[ f(x) = -e^{2(x-1)}+3. \]
Solution:
- Trace le graphique de la fonction mère.
Fig. 12. Graphique de la fonction \(e^x\).
- Détermine les transformations.
Commence par les parenthèses (décalages horizontaux).
Ici, tu as \(f(x) = e^{(x-1)}\), donc le graphique se déplace vers la droite de \(1\) unité.
Fig. 13. Graphique de la fonction \(e^x\) et sa transformation.
Applique la multiplication (étire et/ou rétrécit)
Ici, tu as \( f(x) = e^{2(x-1)} \), donc le graphique se rétrécit horizontalement d'un facteur de \(2\).
Fig. 14. Le graphique de la fonction exponentielle naturelle parente (bleu) et les deux premières étapes de la transformation (jaune, violet).
Applique les négations (réflexions)
Ici, tu as \( f(x) = -e^{2(x-1)} \), donc le graphique est réfléchi sur l'axe \(x\).
Fig. 15. Le graphique de la fonction exponentielle naturelle parente (bleu) et les trois premières étapes de la transformation (jaune, violet, rose).
Applique l'addition/soustraction (décalages verticaux)
Ici, tu as \( f(x) = -e^{2(x-1)} + 3 \), donc le graphique est décalé vers le haut de \(3\) unités.
Fig. 16. Le graphique de la fonction exponentielle naturelle parente (bleu) et les étapes pour obtenir la transformation (jaune, violet, rose, vert).
Trace le graphique de la fonction transformée finale.
Fig. 17. Les graphiques de la fonction exponentielle naturelle parente (bleu) et de sa transformation (vert).
Transformations des fonctions logarithmiques
L'équation générale d'une fonction logarithmique transformée est :
\[ f(x) = a\mbox{log}_{b}(kx+d)+c. \]
Où ,
\[ a = \begin{cases}\mbox{étirement vertical si } a > 1, \\N\mbox{rétrécissement vertical si } 0 < a < 1, \\N-\N-{réflexion sur } l'axe des x si } a \N-{ est négatif}\N-{end{cases} \]
\[ b = \mbox{la base de la fonction logarithmique} \]
\[ c = \begin{cases}\mbox{décalage vertical vers le haut si } c \mbox{ est positif}, \\\N\mbox{décalage vertical vers le bas si } c \mbox{ est négatif}\end{cases} \]
\[ d = \begin{cases}\mbox{décalage horizontal vers la gauche si } +d \mbox{ est entre parenthèses}, \\\N\mbox{horizontal shift right if } -d \mbox{ est entre parenthèses}\end{cases} \]
\[ k = \begin{cases}\mbox{étirement horizontal si } 0 < k < 1, \\N-\N-{rétrécissement horizontal si } k > 1, \N-\N-{réflexion sur } y-\N-{axe si } k \N-{est négatif}\N-{end{cases} \]
Transformons la fonction logarithme naturel mère, \( f(x) = \text{log}_{e}(x) = \text{ln}(x) \) en traçant le graphique de la fonction :
\[ f(x) = -2\text{ln}(x+2)-3. \]
Solution:
- Trace le graphique de la fonction mère.
Fig. 18. Le graphique de la fonction logarithme naturel mère.
- Détermine les transformations.
Commence par les parenthèses (décalages horizontaux).
Ici, tu as \( f(x) = \text{ln}(x+2) \), donc le graphique se déplace vers la gauche de \(2\) unités.
Fig. 19. Graphiques de la fonction logarithme naturel mère (bleu) et de la première étape de la transformation (vert).
Applique la multiplication (étire et/ou rétrécit)
Ici, tu as \( f(x) = 2\text{ln}(x+2) \), donc le graphique s'étire verticalement d'un facteur de \(2\).
Fig. 20. Graphiques de la fonction logarithme naturel mère (bleu) et des deux premières étapes de la transformation (vert, rose).
Applique les négations (réflexions)
Ici, tu as \( f(x) = -2\text{ln}(x+2) \), donc le graphique se reflète sur l'axe \(x\).
Fig. 21. Les graphiques de la fonction logarithme naturel mère (bleu) et des trois premières étapes de la transformation (vert, violet, rose).
Applique l'addition/soustraction (décalages verticaux)
Ici, tu as \N( f(x) = -2\text{ln}(x+2)-3\N), donc le graphique se décale vers le bas de \N(3\N) unités.
Fig. 22. Les graphiques de la fonction logarithme naturel mère (bleu) et les étapes pour obtenir la transformation (jaune, violet, rose, vert).
- Trace le graphique de la fonction transformée finale.
Fig. 23. Les graphiques de la fonction logarithmenaturel mère (bleu) et de sa transformation (vert, violet, rose, vert).
Transformations des fonctions rationnelles
L'équation générale d'une fonction rationnelle est la suivante :
\[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} ,\]
où
\[ P(x) \mbox{ et } Q(x) \mbox{ sont des fonctions polynomiales, et } Q(x) \neq 0. \]
Puisqu'une fonction rationnelle est composée de fonctions polynomiales, l'équation générale d'une fonction polynomiale transformée s'applique au numérateur et au dénominateur d'une fonction rationnelle. L'équation générale d'une fonction polynomiale transformée est la suivante :
\N[ f(x) = a \Ngauche( f(k(x-d)) + c \Ndroite), \N]
où ,
\[ a = \begin{cases}\mbox{étirement vertical si } a > 1, \\N\mbox{rétrécissement vertical si } 0 < a < 1, \N\Nmbox{réflexion sur } x-\Nmbox{axe si } a \Nmbox{ est négatif}\Nend{cases} \]
\[ c = \begin{cases}\mbox{déplacement vertical vers le haut si } c \mbox{ est positif}, \\N\mbox{déplacement vertical vers le bas si } c \mbox{ est négatif}\Nend{cases} \]
\[ d = \begin{cases}\mbox{décalage horizontal vers la gauche si } +d \mbox{ est entre parenthèses}, \\\N-\mbox{horizontal shift right if } -d \mbox{ est entre parenthèses}\end{cases} \]
\[ k = \begin{cases}\mbox{étirement horizontal si } 0 < k < 1, \\N-\N-{rétrécissement horizontal si } k > 1, \N-\N-{réflexion sur } y-\N-{axe si } k \N-{est négatif}\N-{end{cases} \]
Transformons la fonction réciproque parente, \( f(x) = \frac{1}{x}) \) en traçant le graphique de la fonction :
\[ f(x) = - \frac{2}{2x-6}+3. \]
Solution:
- Trace le graphique de la fonction mère.
Fig. 24. Le graphique de la fonction rationnelle parente.
- Détermine les transformations.
Commence par les parenthèses (décalages horizontaux)
- Pour trouver les déplacements horizontaux de cette fonction, tu dois avoir le dénominateur sous forme standard (c'est-à-dire que tu dois factoriser le coefficient de \(x\)).
- La fonction transformée devient donc :\N[ \Nbegin{align}f(x) &= - \frac{2}{2x-6}+3 \N&= - \frac{2}{2(x-3)}+3\Nend{align} \]
- Maintenant, tu as \Nf(x) = \frac{1}{x-3} \N- Tu sais donc que le graphique se déplace vers la droite de \N(3\N) unités.
Applique la multiplication (étire et/ou rétrécit) C'est une étape délicate.
Ici, tu as un rétrécissement horizontal d'un facteur de \(2\N) (à partir de \N(2\N) au dénominateur) et un étirement vertical d'un facteur de \N(2 \N) (à partir de \N(2\N) au numérateur).
Ici, tu as \( f(x) = \frac{2}{2(x-3)} \), ce qui te donne le même graphique que \( f(x) = \frac{1}{x-3} \).
Les graphiques de la fonction rationnelle parente (bleu) et de la première étape de la transformation (fucsia).
Fig. 25.
Applique les négations (réflexions)
Ici, tu as \( f(x) = - \frac{2}{2(x-3)} \), donc le graphique se reflète sur l'axe \(x\).
Les graphiques de la fonction rationnelle mère (bleu) et des trois premières étapes de la transformation (jaune, violet, rose).
Fig. 26.
Applique l'addition/soustraction (décalages verticaux)
Ici, tu as \( f(x) = - \frac{2}{2(x-3)} + 3 \), donc le graphique se déplace vers le haut de \(3\) unités.
Fig. 27. Les graphiques de la fonction rationnelle mère (bleu) et les étapes pour obtenir la transformation (jaune, violet, rose, vert).
- Trace le graphique de la fonction transformée finale.
- La fonction transformée finale est \( f(x) = - \frac{2}{2(x-3)} + 3 = - \frac{2}{2x-6} + 3 \).
Fig. 28. Les graphiques de la fonction rationnelle mère (bleu) et de sa transformation (vert).
Transformations de fonctions - Points clés
- Lestransformations de fonctions sont les processus utilisés sur une fonction existante et son graphique pour nous donner une version modifiée de cette fonction et de son graphique qui a une forme similaire à la fonction d'origine.
- Les transformations de fonctions se répartissent en deux grandes catégories:
Les transformations horizontales
- Les transformations horizontales sont effectuées lorsque nous ajoutons/soustrayons un nombre à la variable d'entrée d'une fonction (généralement x) ou lorsque nous la multiplions par un nombre. Les transformations horizontales , à l'exception de la réflexion, fonctionnent de la manière opposée à celle à laquelle on s'attendrait.
- Les transformations horizontales ne modifient que les coordonnées x des fonctions.
Transformations verticales
Les transformations verticales sont effectuées lorsque nous ajoutons/soustrayons un nombre à la fonction entière, ou lorsque nous multiplions la fonction entière par un nombre. Contrairement aux transformations horizontales, les transformations verticales fonctionnent comme on s'y attend.
- Les transformations verticales ne modifient que les coordonnées y des fonctions.
Toute fonction peut être transformée, horizontalement et/ou verticalement, par le biais de quatre principaux types de transformations:
Décalages (ou translations) horizontaux et verticaux
Rétrécissements horizontaux et verticaux (ou compressions)
Les étirements horizontaux et verticaux
Réflexions horizontales et verticales
- Pour déterminer si une transformation est horizontale ou verticale, garde à l'esprit que les transformations ne sont horizontales que si elles sont appliquées à x lorsqu'il a une puissance de 1.
Apprends plus vite avec les 9 fiches sur Transformations de Fonction
Inscris-toi gratuitement pour accéder à toutes nos fiches.
Questions fréquemment posées en Transformations de Fonction
À propos de StudySmarter
StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.
En savoir plus