Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
Get started for freeIl n'y a aucune différence entre un raisonnement par l'absurde et un contre-exemple.
Quelle est la contraposée de « si \(n\) est pair, alors il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k\) » ?
Un raisonnement par l'absurde doit forcément contenir une contradiction.
Si une proposition est vraie, alors sa contraposée est vraie.
Si la contraposée d'une proposition est vraie, la proposition peut être vraie ou fausse.
Dans une démonstration par l'absurde, il est nécessaire de supposer le contraire de ce que nous souhaitons démontrer.
Laquelle des expressions suivantes exprime la propriété d'hérédité ?
Une proposition peut être fausse même si elle est héréditaire.
Quelle phrase pourrait conclure une démonstration par récurrence ?
Pour quelle proposition serait-il mieux d'appliquer un raisonnement par récurrence ?
Pour quelle proposition serait-il mieux d'appliquer un raisonnement par récurrence ?
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Published: 14.10.2022. Last updated: 14.10.2022.
Une démonstration est un argument structuré qui suit un ensemble d'étapes logiques. Elle vise à démontrer qu'un énoncé mathématique ou une conjecture est vrai en utilisant des faits mathématiques ou des théorèmes. Une fois qu'une conjecture a été démontrée, elle devient un théorème. Un exemple de théorème est que le carré d'un nombre pair est aussi pair.
Les théorèmes sont basés sur des axiomes. Un axiome est un énoncé qui est accepté comme vrai sans qu'il soit nécessaire de le prouver. Voici quelques exemples d'axiomes :
Tous les multiples de 2 sont pairs.
L'addition est commutative : \(a + b = b + a\)
La multiplication est commutative : \(a \times b = b \times a\)
Les éléments clés pour rédiger une démonstration complète sont les suivants :
Indique toute information que tu utilises.
Veille à ce que chaque étape s'enchaîne logiquement avec l'étape précédente.
Assure-toi que tous les cas possibles sont abordés, par exemple, si on te demande de démontrer pour tous les nombres et que tu n'as démontré que les nombres impairs, tu dois également démontrer les nombres pairs.
Termine la démonstration par une déclaration.
Les différents types de démonstrations sont définis en fonction de la méthode utilisée pour réaliser la démonstration. Les principales méthodes que l'on peut trouver sont :
Raisonnement par contre-exemple
Raisonnement par disjonction de cas
Raisonnement par l'absurde
Le raisonnement par récurrence est un outil puissant qui peut être utilisé pour prouver des énoncés mathématiques ou définir une fonction ou une suite en fonction d'elle-même. En général, elle se compose de trois étapes :
Initialisation : C'est le point de départ où nous définissons les premiers termes de la séquence (le rang \(0\))
Hérédité : C'est la partie où nous définissons comment chaque terme suivant est lié aux termes précédents. Autrement dit, si la propriété est vraie pour un certain rang \(k\), alors la propriété est vraie pour le rang suivant \(k+1\).
Conclusion : Comme la propriété est vraie pour le rang \(0\), \(k\) et \(k+1\), nous pouvons conclure par récurrence que la propriété est vraie pour tous les entiers \(n\).
Nous allons maintenant parcourir chacune de ces étapes à l'aide d'un exemple simple.
Démontrons que la somme des \(n\) premiers nombres impairs est \(n^2\).
Initialisation : On commence par montrer que l'énoncé est vrai pour le premier nombre impair, \(1\). En effet, \(1^2 = 1\)
Hérédité : Supposons maintenant que l’affirmation est vraie pour un nombre impair arbitraire \(m = 2k - 1\). \(n\) est le k-ième nombre impair, donc la somme de tous les nombres impairs jusqu’à \(m\) compris est \(k^2\). Il faut donc utiliser cette hypothèse pour démontrer que la somme des \(k+1\) premiers nombres impairs est \((k+1)^2\). Autrement dit, il faut démontrer que \(1 + 3 +\) … \(+ 2k + 1\) \(=(k+1)^2\). Or, nous avons supposé que \(1 + 3 +\) … \(+2k-1=k^2\). Donc, \(1 + 3 +\) … \(+ 2k -1 + 2k + 1 \) \(=k^2+2k+1\). Il s’agit d’une identité remarquable qui nous permet de déduire que \(1 + 3 +\) … \(+ 2k -1 + 2k + 1\) \(=(k+1)^2\).
Conclusion : Par récurrence, nous pouvons maintenant conclure que la somme des \(n\) premiers nombres impairs est \(n^2\) pour tous les nombres impairs.
Cette démonstration est un exemple classique de la manière dont la récurrence peut être utilisée pour prouver des énoncés mathématiques, mais elle peut aussi démontrer des propriétés plus complexes avec des fonctions et des suites par exemple.
Le raisonnement déductif est la méthode de démonstration la plus souvent utilisée. Elle consiste à commencer par des faits ou des théorèmes connus, puis à suivre une séquence logique d'étapes montrant le raisonnement qui permet d'atteindre une conclusion qui démontre la conjecture initiale.
L'équation \(kx^2 - 2kx + 4 = 0\) n'a pas de racines réelles. Démontre que \(k\) satisfait à l'inégalité \(0 \leq k < 4\)
Cela va impliquer l'utilisation du discriminant.
Quand une équation du second degré (\(ax^2+bx+c=0\)) n'a pas de racines réelles, \(b^2 - 4ac < 0\)
Remplaçons donc les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\).
\(a=k, b=-2k, c=4\)
\((-2k)^2 - 4(k)(4) = 4k^2 - 16k\)
Comme il n'y a pas de racines réelles, la valeur du discriminant doit être inférieure à 0. Donc, \(4k^2 - 16k < 0\)
\(k(4k-16)<0\)
Alors, si on fait un croquis, on obtient :
Fig. 1 - Exemple de raisonnement déductif
Tu peux voir sur le graphique que \(k(4k - 16) < 0\) lorsque la courbe est en dessous de l'axe des x. Cela se produit lorsque \(0 < k < 4\)
Cependant, lorsque \(k = 0\), la formule du discriminant n'est plus valable.
Si nous substituons \(k = 0\) dans l'équation originale
\(kx^2 - 2kx + 4 = 0\)
\((0)x^2 - 2(0)x + 4 = 0\)
\(4 = 0\)
Ce n'est pas possible, donc il n'y a pas de racines réelles.
Par conséquent, \(0 \leq k < 4\) comme requis.
Une identité est une expression mathématique qui est toujours vraie. Il s'agit d'une déclaration montrant que les deux côtés de l'expression sont identiques. Pour démontrer une identité, il suffit de manipuler algébriquement un côté de l'expression jusqu'à ce qu'il corresponde à l'autre côté. Un symbole que tu trouveras avec les identités est ≡, qui signifie " est toujours égal à ". Voici quelques exemples :
Démontre que \((2x + 3)(x + 4)(x -1 )\) ≡ \(2x^3 + 9x^2 + x - 12\)
Distribue les parenthèses du côté gauche de l'identité et combine les termes semblables
\((2x + 3)(x + 4)(x - 1) = (2x + 3)(x^2 - x + 4x - 4)\)
\(= (2x + 3)(x^2 + 3x - 4)\)
\(= 2x^3 + 6x^2 - 8x + 3x^2 + 9x - 12\)
\(= 2x^3 + 9x^2 + x - 12\)
Par conséquent, nous pouvons dire que \((2x + 3)(x + 4)\) ≡ \(2x^3 + 9x^2 + x - 12\)
On peut également te demander de démontrer des identités trigonométriques :
Démontre que \(sin^2\theta + cos^2\theta\)
Considère le diagramme ci-dessous :
Fig. 2 - Démonstration d'une identité trigonométrique
Si nous écrivons des expressions trigonométriques pour a et b :
\(a = csin\theta\)
\(b = ccos\theta\)
Par le théorème de Pythagore \(a^2 + b^2 = c^2\)
Donc, en substituant les expressions pour \(a\) et \(b\) :
\((csin\theta)^2 + (ccos\theta)^2\) ≡ \(c^2sin^2\theta + c^2cos^2\theta\)
\(c^2(sin^2\theta + c^2(cos^2\theta)\) ≡ \(c^2\)
Factorisation de \(c^2\):
\(c^2(sin^2\theta + cos^2\theta)\) ≡ \(c^2\)
Divise les deux côtés par \(c^2\) (Nous pouvons le faire car \(c \neq 0 \))
Par conséquent, \(sin^2\theta + cos^2\theta = 1\)
Une affirmation mathématique peut être réfutée en trouvant un contre-exemple. Un contre-exemple est un exemple pour lequel une affirmation n'est pas vraie. Examinons l'exemple ci-dessous :
Démontre que l'affirmation ci-dessous n'est pas vraie.
La somme de deux nombres carrés est toujours un nombre carré.
Nous pouvons le démontrer par un contre-exemple, en trouvant un seul exemple qui démontre que l'affirmation est fausse. Nous devons donc trouver deux nombres carrés qui, lorsqu'ils sont additionnés, ne sont pas des nombres carrés. Essayons 4 et 9.
4 est un nombre carré ( \(2^2\) )
9 est un nombre carré ( \(3^2\) )
9 + 4 = 13
13 n'est pas un nombre carré.
L'affirmation n'est donc pas vraie.
Le raisonnement par disjonction de cas se fait en considérant tous les exemples possibles et en vérifiant chaque cas séparément.
Démontre que la somme de deux nombres carrés consécutifs compris entre 1 et 81 est un nombre impair.
4, 9, 16, 25, 36, 49 et 64.
Tous ces nombres sont impairs, donc l'affirmation est démontrée.
Le raisonnement par l'absurde fonctionne de manière légèrement différente. Dans ce cas, pour démontrer qu'un énoncé mathématique est vrai, tu supposeras que le contraire de l'énoncé doit être faux, et tu démontreras qu'il est effectivement faux.
Démontre qu'il n'existe pas d'entiers a et b pour lesquels \(5a + 10b = 1\)
Une démonstration est une séquence d'étapes logiques utilisées pour démontrer un énoncé mathématique ou une conjecture.
Le raisonnement par récurrence est un outil puissant qui peut être utilisé pour prouver des énoncés mathématiques ou définir une fonction ou une suite en fonction d'elle-même. Elle se compose de trois étapes : Initialisation, Hérédité et Conclusion.
Le raisonnement déductif est la méthode de démonstration la plus souvent utilisée. Elle consiste à commencer par des faits ou des théorèmes connus, puis à suivre une séquence logique d'étapes pour parvenir à une conclusion qui démontre la conjecture initiale.
Pour démontrer les identités, on manipule algébriquement un côté de l'expression jusqu'à ce qu'il corresponde à l'autre côté.
Le raisonnement par contre-exemple consiste à utiliser un contre-exemple pour démontrer qu'une affirmation n'est pas vraie.
Le raisonnement par disjonction de cas se fait en considérant tous les cas possibles et en démontrant chaque cas séparément.
Le raisonnement par l'absurde permet de démontrer qu'un énoncé mathématique est vrai, en supposant que le contraire de l'énoncé doit être faux, et en démontrant qu'il est effectivement faux.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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