Addition de vecteurs

Définition de l'addition de vecteurs

Le vecteur formé par l'addition de vecteurs s'appelle le vecteur résultant, généralement désigné par $\stackrel{\rightharpoonup }{r}$. La façon d'additionner ces vecteurs peut varier selon qu'ils sont donnés sous forme de points ou sous forme de représentation géométrique. Bien que l'addition puisse être effectuée avec les mathématiques pour les points, il est pratique d'utiliser la loi du parallélogramme lorsqu'ils sont représentés géométriquement.

Formule d'addition des vecteurs

Disons que A et B sont des points dans le plan dont les coordonnées sont $A=(a_1,a_2)$ et $B=(b_1,b_2)$ respectivement. La formule d'addition vectorielle pour $\stackrel{\rightharpoonup }{A}+\stackrel{\rightharpoonup }{B}$ peut s'écrire comme suit :

$\stackrel{\rightharpoonup }{A}+\stackrel{\rightharpoonup }{B}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$

Propriétés de l'addition vectorielle

• Commutativité : Changer l'ordre des vecteurs ne change pas la somme. $A+B=B+A$

• Associativité : Changer le groupement des additions ne change pas la somme. $A+(B+C)=(A+B)+C$

• Élément zéro : L'addition d'un point avec zéro est égale au point. Si l'élément zéro est $O=(0,0)$, alors $A+O=A$

• Additif inverse : Si un point A est $A=(a_1,a_2)$, alors son inverse est $-A=(-a_1,-a_2)$. Lorsque ces vecteurs sont additionnés, la somme donne zéro.

• $A+(-A)=(a_1,a_2)+(-a_1,-a_2)=(a_1-a_1,a_2-a_2)=(0,0)$

Addition vectorielle graphique

Comment l'addition de vecteurs peut-elle être réalisée graphiquement ? Tu trouveras ci-dessous les différentes méthodes.

Loi du triangle de l'addition vectorielle

La loi du triangle est une loi d'addition de vecteurs. Elle est également connue sous le nom de méthode de la tête à la queue parce que les têtes et les queues des vecteurs concernés sont placées l'une sur l'autre lorsqu'on essaie de trouver leur somme. La figure ci-dessous montre à quoi ressemblent la tête et la queue d'un vecteur.

Fig.1 Représentation de la tête et de la queue d'un vecteur

Voyons comment cette loi est utilisée. Considérons les vecteurs A et B ci-dessous.

Fig.2 Représentation des deux vecteurs A et B

Pour additionner les deux vecteurs en utilisant la méthode de la tête à la queue, suis les procédures suivantes.

1. Place la queue du deuxième vecteur sur la tête du premier vecteur.
2. Pour trouver la somme, dessine un vecteur résultant pour relier la queue du premier vecteur à la tête du second vecteur.

Fig.3 Addition de deux vecteurs

Dans la figure ci-dessus, $\stackrel{\rightharpoonup }{A}+\stackrel{\rightharpoonup }{B}=\stackrel{\rightharpoonup }{C}$.

S'il y a un troisième vecteur, tu procèdes en plaçant la queue du troisième vecteur sur la tête du deuxième vecteur. Le vecteur résultant sera dessiné pour relier la queue du premier vecteur à la tête du deuxième vecteur.

La loi du parallélogramme pour l'addition des vecteurs

Selon la loi du parallélogramme, si deux vecteurs peuvent être représentés comme deux côtés adjacents à partir d'un sommet commun, puis complétés comme s'ils formaient un parallélogramme, alors le vecteur résultant peut être trouvé à partir de la diagonale de ce parallélogramme.

Pour trouver $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$:

1. Place les queues des vecteurs ensemble

2. Complète le parallélogramme en dessinant les deux côtés parallèles.

3. Une fois le parallélogramme complété, dessine la diagonale en partant du sommet des vecteurs d'origine, comme le montre la figure ci-dessous.

Fig.4 Illustration de l'addition de deux vecteurs

La loi du parallélogramme peut également être utilisée lorsqu'on te donne des vecteurs définis comme des coordonnées.

Pour les points $A=(2,3)$ et $B=(1,3)$la somme peut être trouvée en utilisant la loi du parallélogramme, comme le montre la figure 2.

Soustraction de vecteurs

Pour comprendre la soustraction, il faut d'abord comprendre ce qu'est le négatif d'un vecteur. Disons qu'il existe un vecteur A. Le négatif de ce vecteur est défini comme -A. Le négatif du vecteur A a la même magnitude que le vecteur A, mais ils sont dans des directions opposées.

Fig. 6 La différence entre le vecteur A et le négatif du vecteur A

Loi du parallélogramme pour la soustraction de vecteurs

Pour trouver $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}$il faut l'assimiler à $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$. En gardant cela à l'esprit, nous obtenons la figure ci-dessous :

Fig.7. Loi du parallélogramme pour la soustraction de vecteurs.

Exemples d'addition de vecteurs

Prenons quelques exemples.

Prenons un autre exemple.

Prenons un autre exemple.