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Un cercle est une forme dans laquelle tous les points qui constituent la frontière sont équidistants d'un seul point situé au centre.
Éléments d'un cercle
Avant d'aborder la question de l'aire des cercles, passons en revue les caractéristiques uniques qui définissent la forme du cercle. La figure ci-dessous représente un cercle dont le centre est O. Rappelle la définition selon laquelle tous les points situés sur la limite du cercle sont équidistants (à égale distance) de ce point central O. La distance entre le centre du cercle et sa limite est appelée le rayon, R.
Le diamètre, D, est la distance d'un point d'extrémité d'un cercle à un autre, en passant par le centre du cercle. Le diamètre est toujours le double de la longueur du rayon, donc si nous connaissons l'une de ces mesures, nous connaissons aussi l'autre ! Une corde est une distance d'un point d'extrémité à un autre sur un cercle qui, contrairement au diamètre, n 'a pas besoin de passer par le point central.
Illustration d'un cercle montrant le diamètre, le rayon et le centre du cercle.
Formule de l'aire du cercle
Maintenant que nous avons passé en revue les éléments d'un cercle, commençons par discuter de l'aire d' un cercle. Tout d'abord, nous allons commencer par une définition.
L'aire d'un cercle est l'espace qu'un cercle occupe sur une surface ou un plan. Les mesures de l'aire sont écrites à l'aide d'unités carrées, telles que ft2 etm2.
Pour trouver l'aire d'un cercle, nous utilisons la formule suivante :
\[Surface = \pi \cdot r^2\]
où :
- \(A\) est l'aire du cercle.
- \(π\) (pi) est une constante mathématique approximativement égale à 3,14159.
- \(r\) est le rayon du cercle, qui est la distance entre le centre du cercle et n'importe quel point de sa circonférence.
Pour cette formule, il est important de savoir que \(\pi\) est pi. Qu'est-ce que pi ? C'est une constante représentée par la lettre grecque \(\pi\) et sa valeur est égale à environ 3,14159.
Pi est une constante mathématique qui se définit comme le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle.
Tu n'as pas besoin de mémoriser la valeur de pi car la plupart des calculatrices disposent d'une touche permettant une saisie rapide, représentée par \(\pi\).
Exemples d'aires de cercles
Utilisons la formule de la surface dans un exemple pour voir comment nous pouvons appliquer ce calcul dans la pratique.
Le rayon d'un cercle est de 8 m. Calcule sa surface.
Solution :
Tout d'abord, nous substituons la valeur du rayon dans la formule de l'aire du cercle.
\[Surface = \pi \cdot r^2 \rightarrow Surface = \pi \cdot 8^2\]
Ensuite, nous élevons la valeur du rayon au carré et la multiplions par pi pour trouver la surface en unités carrées. N'oublie pas que \(r^2\) n'est pas égal à \(2 \cdot r\), mais que \(r^2\) est égal à \(r \cdot r\).
\N[Surface = \pi \cdot 64 \crightarrow Surface = 201,062 m^2\N].
D'où vient la formule de l'aire d'un cercle ?
L'aire d'un cercle peut être obtenue en découpant le cercle en petits morceaux comme suit.
Un cercle décomposé en morceaux forme un rectangle approximatif.
Si nous brisons le cercle en petits morceaux triangulaires (comme ceux d'une part de pizza) et que nous les assemblons de manière à former un rectangle, il ne ressemblera peut-être pas à un rectangle exact, mais si nous découpons le cercle en tranches suffisamment fines, alors nous pouvons l'approcher d'un rectangle.
Observe que nous avons divisé les tranches en deux parties égales et que nous les avons colorées en bleu et en jaune pour les différencier. La longueur du rectangle formé sera donc la moitié de la circonférence du cercle, soit \(\pi r\). Et la largeur sera la taille de la tranche, qui est égale au rayon du cercle, r.
La raison pour laquelle nous avons fait cela, c'est que nous avons la formule pour calculer la surface d'un rectangle : la longueur multipliée par la largeur. Nous avons donc
\[A = (\pi r)r\]
\N- [A = \pi r^2\N]
Verbalement, la surface d'un cercle de rayon r est égale à \(\pi\) x le rayon2. Les unités de surface sont donc cm2,m2 ou (unité)2 pour les unités appropriées.
Calculer l'aire des cercles ayant un diamètre
Nous avons vu la formule pour calculer l'aire d'un cercle, qui utilise le rayon. Cependant, nous pouvons aussi trouver l'aire d'un cercle en utilisant son diamètre. Pour ce faire, nous divisons la longueur du diamètre par 2, ce qui nous donne la valeur du rayon à entrer dans notre formule. (Rappelle-toi que le diamètre d'un cercle est le double de la longueur de son rayon.) Voyons un exemple qui utilise cette méthode.
Un cercle a un diamètre de 12 mètres. Trouve l'aire du cercle.
Solution :
Commençons par la formule de l'aire d'un cercle :
\[Aire = \pi \cdot r^2\]
D'après la formule, nous voyons que nous avons besoin de la valeur du rayon. Pour trouver le rayon du cercle, nous divisons le diamètre par 2, comme suit :
\[r = \frac{12}{2} = 6 \space mètres\]
Maintenant, nous pouvons entrer la valeur du rayon de 6 mètres dans la formule pour trouver la surface :
\[\begin{align} Area = \pi \cdot 6^2 \\N Area = 113.1 \space m^2 \end{align}\N]
Calculer l'aire des cercles ayant une circonférence
Outre la surface d'un cercle, une autre mesure courante et utile est sa circonférence.
La circonférence d'un cercle est le périmètre ou la limite d'enceinte de la forme. Elle est mesurée en longueur, ce qui signifie que les unités sont les mètres, les pieds, les pouces, etc.
Voyons quelques formules qui relient la circonférence au rayon et au diamètre du cercle :
\[\frac{\text{Circonférence}}{\text{Diamètre}} = \pi \rightarrow \text{Circonférence} = \pi \cdot \text{Diamètre} \rightarrow \text{Circonférence} = \pi \cdot 2 \cdot r\]
Les formules ci-dessus montrent que nous pouvons multiplier \(\pi\) par le diamètre d'un cercle pour calculer sa circonférence. Comme le diamètre est deux fois plus long que le rayon, nous pouvons le remplacer par \(2r\) si nous devons modifier l'équation de la circonférence.
On peut te demander de trouver l'aire d'un cercle en utilisant sa circonférence. Prenons un exemple.
La circonférence d'un cercle est de 10 m. Calcule l'aire du cercle.
Solution :
Tout d'abord, utilisons la formule de la circonférence pour déterminer le rayon du cercle :
\(\text{Circonférence} = \pi \cdot 2 \cdot rr = \frac{\text{Circonférence}}{\pi \cdot 2} r = \frac{10}{\pi \cdot 2} r = \frac{5}{\pi} m = 1,591 m\).
Maintenant que nous connaissons le rayon, nous pouvons l'utiliser pour trouver la surface du cercle :
\(\begin{align}) \text{Area} = \pi \cdot r^2 \text{Area} = \pi \cdot 1.591^2 \text{Area} = 7.95 \space m^2 \end{align}\)
L'aire du cercle d'une circonférence de 10 m est donc de 7,95m2.
Aire des demi-cercles et des quarts de cercle avec des exemples
Nous pouvons également analyser la forme du cercle en termes de moitiés ou de quarts. Dans cette section, nous parlerons de l'aire des demi-cercles (cercles coupés en deux) et des quarts de cercle (cercles coupés en quatre).
Surface et circonférence d'un demi-cercle
Un demi-cercle est un demi-cercle. Il est formé en divisant un cercle en deux moitiés égales, coupées le long de son diamètre. L'aire d'un demi-cercle peut s'écrire comme suit :
\(\text{Aire d'un demi-cercle} = \frac{\pi \cdot r^2}{2}\)
Où r est le rayon du demi-cercle.
Pour trouver la circonférence d'un demi-cercle, nous divisons d'abord par deux la circonférence du cercle entier, puis nous ajoutons une longueur supplémentaire égale au diamètre d. En effet, le périmètre ou la limite d'un demi-cercle doit inclure le diamètre pour fermer l'arc. La formule de la circonférence d'un demi-cercle est la suivante :
\[\text{Circonférence d'un demi-cercle} = \frac{\pi \cdot d}{2} + d\].
Calcule l'aire et la circonférence d'un demi-cercle dont le diamètre est de 8 cm.
Solution :
Puisque le diamètre est de 8 cm, le rayon est de 4 cm. Nous le savons parce que le diamètre d'un cercle est le double de la longueur de son rayon. En utilisant la formule de l'aire d'un demi-cercle, nous obtenons :
\(\text{Area} = \frac{\pi \cdot r^2}{2}) \rightarrow \text{Area} = \frac{\pi \cdot 4^2}{2} \rightarrow \text{Area} = 25.133 cm^2\)
Pour la circonférence, nous entrons la valeur du diamètre dans la formule :
\(\text{Circonférence} = \frac{\pi \cdot d}{2} + d \rightarrow \text{Circonférence} = \frac{\pi \cdot 8}{2} + 8 \rightarrow \text{Circonférence} = 20,566 cm\)
Surface et circonférence d'un quart de cercle
Un cercle peut être divisé en quatre quarts égaux, ce qui donne quatre quarts de cercle. Pour calculer la surface d'un quart de cercle, l'équation est la suivante :
\[\text{Aire d'un quart de cercle} = \frac{\pi \cdot r^2}{4}\]
Pour obtenir la circonférence d'un quart de cercle, nous commençons par diviser la circonférence du cercle entier par quatre, mais cela ne nous donne que la longueur de l'arc du quart de cercle. Nous devons alors ajouter deux fois la longueur du rayon pour compléter la limite du quart de cercle. Ce calcul peut être effectué à l'aide de l'équation suivante :
\(\text{Circonférence d'un quart de cercle} = \frac{\pi \cdot d}{4} + 2r \rightarrow \text{Circonférence d'un quart de cercle} = \frac{\pi \cdot d}{4} + d\)
Calcule l'aire et la circonférence d'un quart de cercle de 5 cm de rayon.
Solution :
Pour l'aire, on obtient :
\(\text{Area} = \frac{\pi \cdot r^2}{4}) \crightarrow \text{Area} = \frac{\pi \cdot 5^2}{4} \rightarrow \text{Area} = 19,6 cm^2\)
La circonférence peut être calculée comme suit :
\(\text{Circonférence} = \frac{\pi \cdot d}{4} + d \rightarrow \text{Circonférence} = \frac{\pi \cdot 10}{4} + 10 \rightarrow \text{Circonférence} = 17,9 cm\)
Aire des cercles - Principaux enseignements
- Dans un cercle, tous les points qui constituent la limite de la forme sont équidistants d'un point situé en son centre.
- Le segment de droite qui s'étend du centre du cercle à un point de sa limite est le rayon.
- Le diamètre d'un cercle est la distance entre un point d'extrémité du cercle et un autre point qui passe par le centre du cercle.
- La circonférence d'un cercle est la longueur de l'arc de cercle.
- L'aire d'un cercle est \(\pi \cdot r^2\).
- La circonférence d'un cercle est \(2 \cdot \pi \cdot r\).
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