What is Investigating Figures 2D?

Qu'est-ce qu'une figure bidimensionnelle en mathématiques ? Le terme 2D te semble peut-être familier et te fait penser à un jeu vidéo, comme Tetris, ou à un film. Ce concept est similaire à la compréhension de la 2D que nous avons en mathématiques. Les figures bidimensionnelles (2D) sont des formes formées par des lignes fermées dans un plan, et elles ont deux dimensions : la longueur et la largeur. Comme elles n'existent pas dans un espace tridimensionnel (3D), ces formes n'ont pas de profondeur.

Définition des figures bidimensionnelles

Par exemple, si nous traçons trois lignes sur une surface plane en 2D, comme une feuille de papier, nous pouvons obtenir un triangle, qui est un exemple de figure en 2D. Nous avons juste besoin d'un plan pour montrer ces figures en 2D, car elles n'ont pas de profondeur. En mathématiques, il existe autant de formes en 2D que tu peux en imaginer, car il suffit de relier une ligne à une autre dans un plan.

Ces lignes qui forment les formes sont appelées les côtés de la figure plane. Il n'est pas nécessaire que tous les côtés soient reliés, car nous pouvons distinguer les formes fermées des formes ouvertes, selon qu'elles forment des sommets ou non. Nous nous concentrerons principalement sur les formes fermées, car ce sont les plus courantes en mathématiques.

Exemples de figures à 2 dimensions, StudySmarter Originals

Exemples de figures en 2 dimensions

• Triangle
• Carré
• Rectangle
• Cercle

Examinons chacune de ces quatre formes bidimensionnelles plus en détail.

Triangle

En tant que forme 2D, le triangle est composé de trois côtés et de trois sommets. La somme de tous les angles internes d'un triangle est égale à 180º. Nous pouvons distinguer différents types de triangles selon que les côtés sont égaux ou non. Nous pouvons également distinguer les types de triangles en fonction des angles qu'ils forment entre eux.

Par exemple, les triangles dont tous les côtés sont de même longueur sont appelés triangles équilatéraux, tandis que s'ils n'ont que deux côtés égaux, ils sont appelés triangles isocèles. Si aucun des côtés n'a la même longueur, le triangle est appelé triangle scalène. D'autre part, un exemple de triangle classé par ses angles internes est le triangle droit, qui a un angle de 90º.

Différents triangles, StudySmarter Originals

Le carré

En tant que figures à deux dimensions, les carrés sont formés de quatre côtés égaux et de quatre sommets. Tous les angles internes formés par les sommets sont égaux à 90º. On ne peut qualifier une forme en 2D de carré que si les quatre côtés ont la même longueur.

Carré, StudySmarter Originals

Rectangle

Ces formes sont formées de quatre côtés, chaque côté n'étant égal qu'à son côté opposé. Par conséquent, ces deux paires ont la même longueur entre elles. Dans un rectangle, tous les angles internes formés par les sommets sont égaux à 90º, comme dans le carré. Si toutes les longueurs des côtés étaient également égales, la figure en deux dimensions serait un carré.

Illustration d'un rectangle, StudySmarter Originals

Le cercle

Dans un plan en 2D, le cercle est constitué de points qui sont tous à égale distance par rapport à un point situé au centre de la forme. Cela signifie qu'il n'a pas de sommets. En d'autres termes, nous pouvons également comprendre un cercle comme une ligne courbée unique qui est à égale distance du centre en tous ses points.

La distance entre les points du cercle et son centre s'appelle le rayon. De même, si nous mesurons d'un point du cercle à un autre, en passant par le centre du cercle, la distance s'appelle le diamètre . Le diamètre est toujours le double de la longueur du rayon.

Cercle, StudySmarter Originals

Il existe d'autres formes bidimensionnelles en mathématiques que nous pouvons classer en fonction d'aspects tels que le nombre de côtés et de sommets ainsi que leur structure.

Périmètre d'une figure à deux dimensions

En mathématiques, le périmètre d'une figure en 2D est la somme totale de la longueur de tous ses côtés. Par conséquent, si les côtés de la figure plane sont exprimés dans l'unité de longueur des mètres, par exemple, le périmètre de la forme est également exprimé en mètres. Nous pouvons exprimer le périmètre à l'aide de la formule suivante :

$P=a_1+a_2+a_3+...+a_n=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum a_n}}$

Dans la formule du périmètre, les termes $a_1+a_2+a_3$ (et ainsi de suite) représentent les différents côtés de la figure bidimensionnelle. Dans la deuxième partie de l'équation se trouve un symbole ($\sum$) qui indique qu'il faut additionner toutes ces longueurs de côté.

Périmètre d'un triangle

Jetons un coup d'œil aux formes en 2D qui ont le plus petit nombre de côtés : les triangles. Le triangle a trois côtés ; par conséquent, le périmètre du triangle est égal à la somme de ces trois côtés. Voici un exemple de calcul du périmètre.

Triangle isocèle avec longueur des côtés, StudySmarter Originals

Périmètre des carrés et des rectangles

Même si un triangle, un carré et un rectangle ne sont pas identiques, nous pouvons toujours calculer leurs périmètres avec la même formule donnée ci-dessus. Et si nous avons n'importe quelle autre figure en 2D, ce processus d'addition de tous les côtés reste également le même.

Pour les carrés et les rectangles, nous devons additionner quatre côtés pour calculer le périmètre. Le périmètre du carré est $a+a+a+a$où a est la longueur des quatre côtés. Le périmètre d'un rectangle est $a+a+b+b$où a et b sont les deux longueurs de côté des paires opposées égales. Voyons quelques exemples.

Périmètre d'un cercle

Tu te demandes peut-être maintenant : "Mais qu'en est-il du cercle ?" Le calcul du périmètre d'un cercle ne peut bien sûr pas se faire avec les longueurs des côtés ! Nous avons défini le cercle comme une forme en 2D formée par des points qui sont tous à égale distance du centre. Pour calculer le périmètre d'un cercle en 2D (également appelé circonférence), nous utilisons une formule différente :

$P=\hspace{0.17em}2\pi r$

Dans cette formule, r est égal au rayon du cercle et $\pi$ est le nombre pi, qui a une valeur fixe. D'après cette formule, on constate que le périmètre d'un cercle est proportionnel à son rayon. Ainsi, si nous augmentons le rayon d'un cercle, nous augmentons également son périmètre.

Aire des figures à 2 dimensions

En mathématiques, l'aire d'une figure en deux dimensions est la quantité de surface délimitée par le périmètre d'une figure dans un plan. En d'autres termes, l'aire en 2D est l'espace à l'intérieur des lignes que nous utilisons pour dessiner une figure. Nous utilisons des unités carrées pour décrire la surface, comme les mètres carrés (^m2) ou les pieds carrés (^ft2).

Maintenant, regarde le sol de la pièce depuis ton ordinateur. Imagine que les murs sont les lignes d'une forme en 2D. La surface du sol que tu observes est son aire car c'est l'espace à l'intérieur du périmètre (dans ce cas, les murs de la pièce).

Selon la figure bidimensionnelle et sa forme, nous disposons de différentes formules pour calculer la surface.

Surface d'un triangle

En partant à nouveau de la forme 2D ayant le plus petit nombre de sommets, la surface du triangle est calculée à l'aide de la formule mathématique suivante :

$A=\frac{1}{2}bh$

Triangle isocèle avec base et hauteur, StudySmarter Originals.

L'aire du triangle dépend de la base b du triangle et de sa hauteur h, qui est la distance entre le milieu de la base et le sommet opposé. La base du triangle ne doit pas nécessairement être son côté le plus court : il peut s'agir de n'importe quel côté. Cependant, nous devons ensuite mesurer la hauteur entre le côté choisi comme base et le sommet opposé.

Surface des carrés et des rectangles

La mesure de la surface du carré et du rectangle est la même, mais nous allons d'abord décrire la surface du rectangle, car elle est plus générale avec cette formule mathématique :

$A=bh$

Dans ce cas, b est un côté et h est un autre côté avec une valeur différente. Ce calcul de la surface fonctionne pour toute figure en 2D dont les quatre côtés sont parallèles, ce qu'on appelle un parallélogramme. Par conséquent, il fonctionne également pour le carré, mais comme tous les côtés ont la même longueur dans un carré, nous pouvons également calculer sa surface comme suit :

$A=b^2=b\times b$

Où b est la longueur d'un côté.

Aire d'un cercle

Enfin, nous avons la surface du cercle. Comme pour le périmètre, son aire dépend également du rayon. L'aire d'un cercle peut être calculée avec l'équation suivante :

$A=\pi r^2$

Là encore, le r correspond au rayon du cercle, et π est le nombre pi. D'après la formule, on voit que si l'on rend le rayon de plus en plus grand, la surface du cercle augmente également (dans ce cas, par la puissance de deux).

Par exemple, tu peux voir comment cette relation fonctionne dans la vraie vie, dans un jardin. Imagine que tu attaches une corde à un point donné et que tu la fasses tourner en rond autour de ce point. Ce mouvement décrirait la forme d'un cercle en 2D. Si tu éloignes la corde de son centre, augmentant ainsi le rayon du cercle, tu verras que la surface de la corde est maintenant plus grande.

Autres représentations de figures à 2 dimensions

Nous avons vu précédemment quelques formes en 2D telles que le triangle, le carré, le rectangle et le cercle. Mais il existe une infinité de figures que tu pourrais décrire. En général, nous classons les figures à deux dimensions en fonction de leur nombre de côtés et de sommets ainsi que de leurs angles internes (formés par les sommets).

Si nous augmentons les côtés d'un rectangle d'une unité, il aura cinq côtés, ce qui en fera un pentagone. Avec six côtés, ce serait un hexagone, et ainsi de suite.

Polygones avec différents nombres de côtés, StudySmarter Originals

Il existe également différents types de figures bidimensionnelles à quatre côtés. Outre le rectangle et le carré, si une forme en 2D a au moins deux côtés égaux et que ses angles ne sont pas de 90º, il s'agit d'un losange, dont la forme est similaire à celle d'un diamant.

Losange, StudySmarter Originals

Il existe un grand nombre de formes 2D différentes, avec des côtés réguliers, des côtés irréguliers, des angles égaux, etc. Il ne te reste plus qu'à faire preuve d'imagination et à essayer d'en chercher des exemples !