What is Investigating Médiane?

Supposons que tu doives partager la dernière part de gâteau avec ton frère. Et aucun de vous deux ne veut avoir un morceau plus petit. Pour éviter la bagarre entre toi et ton frère pour un gâteau, ta mère coupe le morceau de gâteau triangulaire à partir de sa médiane pour que vous ayez tous les deux la même taille de gâteau. Mais quelle est cette médiane ? Comment ta mère a-t-elle décidé où couper le gâteau ?

Nous définissons la médiane d'un triangle comme le segment de droite reliant le sommet au milieu de son côté opposé. Dans cet article, nous allons passer en revue la définition d'une médiane, ses différentes propriétés, la formule mathématique & enfin travailler sur quelques exemples.

À la fin de cet article, tu seras capable de :

• Définir une médiane et la relier à l'aire d'un triangle.

• Identifier et dessiner les médianes dans un triangle.

• Calculer la longueur de la médiane à partir des côtés et des coordonnées d'un triangle.

Signification de la médiane

Alors, que signifie exactement la médiane ? Imagine que tu as une part de pizza que tu dois partager entre toi et ton ami. Pour simplifier, nous appellerons cette pizza \(\Ngrand triangle en haut de l'ABC\N). Maintenant, garde à l'esprit que tu dois diviser la pizza de façon égale entre tes amis. C'est ici que la médiane peut t'aider.

Médiane d'une part de pizza, pexels.com

Choisis un côté de la pizza, dis le côté \(a\) (c'est-à-dire le côté \(BC\)), et coupe la pizza en travers du segment de droite joignant le point médian de la droite et l'angle intérieur opposé, comme le montre la figure ci-dessous. Hourra ! Ton ami et toi pouvez maintenant déguster des quantités égales de pizza. La ligne imaginaire qui a coupé la pizza en deux parties égales est la médiane . Puisque tous les triangles ont \(3\) côtés et \(3\) angles intérieurs, ils auront toujours \(3\) côtés et \(3\) angles intérieurs. Ils auront toujours des médianes \(3\).

Il est intéressant de noter que le périmètre d'un triangle est toujours plus grand que la somme de ses trois médianes.

Qu'est-ce qu'un centroïde ?

Maintenant que nous savons ce qu'est une médiane, explorons ce qu'est un centroïde. Le point où les 3 médianes se croisent s'appelle le centroïde. Le centroïde est un point de convergence. Un point de concordance est un point où deux ou plusieurs lignes se croisent. Comme le point d'intersection des médianes, des bissectrices perpendiculaires et des altitudes. Le centroïde se trouvera toujours à l'intérieur du triangle, contrairement aux autres points de concomitance.

Fig. 1. Trois médianes avec le centroïde comme point d'intersection.

Le centroïde possède quelques propriétés intéressantes. Il divise toujours la médiane dans un rapport \(2:1\). Le centroïde est toujours situé aux deux tiers de la médiane à partir de l'angle intérieur.

• Entre le centroïde et l'angle intérieur se trouvent deux parties de la médiane.

• Entre le centroïde et le côté opposé se trouve le reste de la médiane.

Visualisons comment la médiane est divisée dans un rapport de \(2:1\). Prends un \(\Ngrand triangle en haut de ABC\N) et dessine les \N(3\N) médianes à partir de chacun des sommets. Considère maintenant que le centre du triangle est \N O\N O\N O\N O\N O\N O\N O\N O\N O\N O\N. Si \(AM\) est la médiane du triangle à partir du sommet \(A\), alors \(2OM = OA\).

Fig. 2. Le centroïde divise la médiane en parties de \(2:1\).

Propriétés de la médiane

Les propriétés d'une médiane peuvent être décrites comme suit :

• Tout triangle contient 3 médianes dont le point d'intersection est appelé le centroïde.

• Le côté de raccordement de la médiane est divisé en deux parties égales.

• Deux triangles de taille et d'aire égales sont formés en construisant une médiane à partir de n'importe lequel des sommets d'un triangle.

• En fait, tout triangle est divisé en 6 triangles plus petits de surface égale par 3 médianes du triangle.

Médiane et altitude d'un triangle

Il peut être difficile de faire la distinction entre la médiane et l'altitude d'un triangle et il est facile de les considérer comme identiques. Mais la médiane et l'altitude d'un triangle sont deux éléments différents d'un triangle. La médiane d'un triangle est un segment de droite allant d'un sommet au milieu du côté opposé. Alors que l'altitude d'un triangle est un segment de droite perpendiculaire allant d'un sommet à son côté opposé.

Fig. 4. Médiane et altitude des triangles.

Dans la figure ci-dessus, \N(AD, BE,\N) et \N(CF\N) sont les médianes du triangle \N(\Ngrand triangleup ABC\N), et \N(XM, YN,\N) et \N(ZO\N) sont les altitudes du triangle \N(\Ngrand triangleup XYZ\N).

Différence entre médiane et altitude

Voyons la différence entre la médiane et l'altitude d'un triangle.

Formule de calcul de la médiane du triangle

Une formule de base peut être utilisée pour calculer la médiane d'un triangle. Examinons la formule de la médiane du triangle pour calculer la longueur de chaque médiane.

Fig. 5. Trois médianes d'un triangle.

La formule pour la première médiane est la suivante :

\[m_a=\sqrt{\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}\]

où \(a, b,\N) et \N(c\N) sont les longueurs des côtés, et \N(m_a\N) est la médiane de l'angle intérieur \N(A\N) au côté \N('a'\N).

La formule pour calculer la deuxième médiane d'un triangle est la suivante :

\[m_b=\sqrt{\frac{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}{4}}\]

où la médiane du triangle est \N(m_b\N), les côtés sont \N(a, b,\N) et \N(c\N), et la médiane est formée sur le côté \N('b'\N).

De même, la formule pour la troisième médiane d'un triangle est la suivante :

\[m_c=\sqrt{\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}\]

où la médiane du triangle est \N(m_c\N), les côtés du triangle sont \N(a, b,\N) et \N(c\N), et la médiane est formée sur le côté \N('c'\N).

Mais alors, comment calculer la longueur en utilisant seulement les coordonnées du triangle ? Nous estimons d'abord les points médians du côté avec la médiane à l'aide de la formule ci-dessous.

Fig. 6. Triangle avec point médian et médiane.

\[M(x_m, y_m)=\frac{(x_2+x_3)}{2}, \frac{(y_2+y_3)}{2}\]

où \(M(x_m,y_m)\) est l'un des points d'extrémité de la médiane. En utilisant ces coordonnées et le point restant, nous pouvons calculer la longueur de la médiane. Les coordonnées doivent être remplacées par la formule suivante. Il s'agit de la formule de la distance, qui donne la distance entre deux coordonnées quelconques sur un plan à deux dimensions.

\[D=\sqrt{(x_m-x_1)^2+(y_m-y_1)^2}\]

où \(D\) est la distance entre les deux points et \((x_1,y_1) , (x_m,y_m)\) sont les coordonnées des extrémités de la médiane.

De même, pour calculer la distance entre \((x_2,y_2)\) et le point médian du côté opposé \(AC\), nous utilisons,

\[D=\sqrt{(x_m-x_2)^2+(y_m-y_2)^2}\]

où \(M(x_m, y_m)=\frac{(x_1+x_3)}{2}, \frac{(y_1+y_3)}{2}\).

Et la distance entre \((x_3,y_3)\) et le point médian du côté opposé \(AB\) est calculée en utilisant,

\[D=\sqrt{(x_m-x_3)^2+(y_m-y_3)^2}\]

où \(M(x_m, y_m)=\frac{(x_1+x_2)}{2}, \frac{(y_1+y_2)}{2}\).

Exemples de médianes

Jetons un coup d'œil à quelques exemples de médianes et comprenons-les.

Ceci nous amène à la fin de l'article. Voici les principaux points à retenir pour rafraîchir ce que nous avons appris jusqu'à présent.