Moyenne géométrique

Formule de la moyenne géométrique

Définition de la moyenne géométrique

Pour l'ensemble de n nombres, $x_1,x_2,...,x_n$la formule de la moyenne géométrique est donnée par la formule suivante :

${\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\prod x_i}}\right)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}$

Moyenne géométrique Exemples

La moyenne géométrique dans un triangle

Le calcul de la moyenne géométrique peut être particulièrement utile en géométrie. Considère le triangle ABCD ci-dessous :

Triangle à moyenne géométrique, Jordan Madge- StudySmarter Originals

L'altitude d'un triangle est une ligne tracée à partir du sommet particulier d'un triangle qui forme une ligne perpendiculaire à la base du triangle. Dans ce triangle, l'altitude est donc la ligne AC. Nous avons également le côté gauche de BD, qui est BC, ainsi que le côté droit de BD, qui est CD.

Maintenant, remarque que si nous "séparons" le triangle ci-dessus, nous obtenons deux triangles plus petits. Nous remarquons également que si nous faisons pivoter le triangle de gauche, nous obtenons simplement une version plus petite du triangle de droite. C'est ce que montre le diagramme ci-dessous.

Explication de la moyenne géométrique, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Maintenant, remarque que les deux triangles BAC et ADC sont mathématiquement similaires, nous pouvons donc utiliser les rapports pour trouver les longueurs manquantes. En nommant le côté gauche a, le côté droit b et l'altitude x, nous avons ce qui suit :

$$\begin{gathered} \frac{left}{altitude}=\frac{altitude}{right} \\ \Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{x}{b} \\ \Rightarrow ab=x^2 \\ \Rightarrow x=\sqrt{ab} \end{gathered}$$

Par conséquent, l'altitude, x peut être calculée en trouvant la moyenne géométrique de a et b. C'est ce qu'on appelle le théorème des moyennes géométriques pour les triangles.

Moyenne géométrique et moyenne arithmétique

Lorsque nous parlons de la moyenne d'un ensemble de nombres, nous faisons généralement référence à la moyenne arithmétique. La moyenne arithmétique consiste à prendre la somme de l'ensemble des nombres et à la diviser par le nombre de nombres que nous avons.

Formule de la moyenne arithmétique

La formule de la moyenne ar ithmétique est donnée par ce qui suit :

$A=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum a_i}}$

Ici, A est défini comme la valeur de la moyenne arithmétique, n est le nombre de valeurs de l'ensemble et $a_i$ sont les nombres de l'ensemble.

Différences entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique

Il existe plusieurs différences essentielles entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique. La première différence, la plus évidente, est le fait qu'elles sont calculées à l'aide de deux formules différentes. Dans l'exemple précédent, nous avons obtenu une moyenne arithmétique de 5 et une moyenne géométrique de 4,72. Il est important de noter que la moyenne géométrique est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique. Par exemple, si nous prenons l'ensemble unique $\left\{2\right\}$puisqu'il n'y a qu'un seul nombre dans cet ensemble, la moyenne géométrique est 2 et la moyenne arithmétique est également 2.

De plus, la moyenne arithmétique peut être utilisée à la fois pour les nombres positifs et négatifs. Cependant, ce n'est pas le cas de la moyenne géométrique ; la moyenne géométrique ne peut être utilisée que pour un ensemble de nombres positifs. Cela est dû au fait qu'une erreur peut survenir dans des éventualités telles que la prise de la racine carrée de nombres négatifs.

De plus, nous utilisons la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique pour des raisons différentes. La moyenne arithmétique a une multitude d'utilisations quotidiennes, mais la moyenne géométrique est plus couramment utilisée lorsqu'il y a une sorte de corrélation entre les nombres. Par exemple, en finance, la moyenne géométrique est utilisée pour calculer les taux d'intérêt. La moyenne arithmétique peut être utile pour trouver la température moyenne sur une semaine.