Projections

Projection scalaire

Nous commencerons par la plus simple à comprendre sur le plan conceptuel. La projection scalaire d'un vecteur permet de déterminer la part du vecteur, en tant que scalaire, dans une direction donnée. Elle est obtenue en utilisant le produit du point du vecteur avec le vecteur unitaire dans la direction en question.

Projection vectorielle

Une projection vectorielle est la projection d'un vecteur sur un autre. Elle prend la longueur d'un vecteur et la projette dans la direction d'un autre, créant ainsi un nouveau vecteur avec la direction du second.

Figure 2

Figure 3 : projection d'un vecteur sur un autre

Le vecteur b estla projection de a dans la direction de l 'axe des x (figure 2). Si tu regardes la figure 3, le vecteur c est un vecteur dans la direction de l'axe des x, donc b est aussi la projection de a dans la direction du vecteur c.

En notation mathématique, cela s'écrit ${\mathrm{Proj}}_{\mathit{c}}\left(\mathit{a}\right)$. Nous savons que le vecteur $\underset{BA}{\to }$doit être égal à $\mathit{a}-\mathit{b}=\mathit{a}-{\mathrm{Proj}}_{\mathit{c}}\left(\mathit{a}\right)$Par conséquent ${\mathrm{Proj}}_{\mathit{c}}\left(\mathit{a}\right)$ est tel que $\mathit{a}-{\mathrm{Proj}}_{\mathit{c}}\left(\mathit{a}\right)$ est orthogonal au vecteur c.

Cette orthogonalité est une propriété essentielle pour trouver la projection de a sur L. Tu te souviens du "produit de points" ? Puisque $\underset{BA}{\to }$est orthogonal à la ligne L, le "produit de points" des deux doit être égal à zéro. En utilisant cette information, nous pouvons dériver une formule pour la projection vectorielle de a dans la direction de b.

Dérivation de la formule du vecteur de projection

Pour bien comprendre ce que fait le vecteur de projection, il peut être utile de voir comment le dériver. Tout d'abord, considérons un vecteur v situé sur la ligne L. Puisque${\mathrm{Proj}}_{\mathit{v}}\left(\mathit{a}\right)$ est dans la direction de L, nous pouvons l'écrire comme un multiple scalaire du vecteur v.

• v est un vecteur quelconque dans l'espace 2D

• c est une constante

Utilise le produit de points :

$$\begin{gathered} (\mathbf{a}-{\mathrm{Proj}}_{\mathrm{L}}(\mathbf{a}\left)\right)·\mathbf{v}=(\mathbf{a}-\mathrm{c}\mathbf{v})·\mathbf{v}=0 \\ \mathbf{a}·\mathbf{v}-\mathrm{c}\mathbf{v}·\mathbf{v}=0 \\ \mathbf{a}·\mathbf{v}=\mathrm{c}\mathbf{v}·\mathbf{v} \\ \mathrm{c}=\frac{\mathbf{a}·\mathbf{v}}{\mathbf{v}·\mathbf{v}} \end{gathered}$$

Puisque le produit du point d'un vecteur avec lui-même est égal à la longueur de ce vecteur au carré, nous obtenons :

$\mathrm{c}=\frac{\mathbf{a}·\mathbf{v}}{|v{|}^{\mathrm{2}}}$.

Et donc , ${\mathrm{Proj}}_{\mathrm{L}}\left(\mathbf{a}\right)=\frac{\mathbf{a}·\mathbf{v}}{{\left|\mathbf{v}\right|}^2}\mathbf{v}$.