Propriétés des cordes

Propriétés d'une corde dans un cercle

Avant d'aborder les propriétés d'une corde dans un cercle, considérons rapidement la définition d'une corde. Une corde est un segment de droite qui passe par deux points quelconques d'un cercle. Une corde peut être tracée avec ses deux extrémités n'importe où sur le cercle.

Lorsqu'une corde passe par le centre du cercle, on parle de diamètre du cercle. Un diamètre divise un cercle en deux demi-cercles, alors que tout autre accord divise un cercle en un arc majeur et un arc mineur.

Fig. 1. Les accords du cercle.

Les propriétés de base d'un accord sont les suivantes :

• La corde divise un cercle en deux segments : le segment majeur et le segment mineur.

• Une ligne perpendiculaire coupe la corde en deux si elle est tracée du centre du cercle à la corde.

• Deux cordes égales ont deux angles égaux sous-tendus au centre du cercle.

• Les cordes de même longueur sont équidistantes du centre du cercle.

Maintenant, plongeons plus profondément et comprenons plus clairement les propriétés des accords.

Propriétés des cordes : Bissectrices perpendiculaires

Supposons que tu aies une corde \N(AB\N) sur un cercle dont le centre est \N(O\N), ce que la figure ci-dessous illustre. Si nous traçons une ligne depuis le centre (O) jusqu'au point (P) de la corde (AB), (OP) est perpendiculaire à (AB) et (OP) coupe en deux (AB). En d'autres termes, \N(OP\N) est la bissectrice perpendiculaire de \N(AB\N) de sorte que \N(AP\N) et \N(PB\N) sont congruentes. D'où ,

\N- [\N-text{if} \ ; \overline{OP}\perp \overline{AB} \text{, then} \ ; \overline{AP}\cong \overline{PB}\]

Fig. 2. Accord avec la bissectrice perpendiculaire.

Détermination du diamètre par une bissectrice perpendiculaire

Jette un coup d'œil à la figure ci-dessous. \(CD\) est la corde qui agit comme une bissectrice perpendiculaire à la corde \(AB\). Pour ce scénario,

\N-[\N-text{if}] ; \N-[\N-text{if}] \N ; \Noverline{CD}\Nperp \Noverline{AB} \text{, then} \N ; \Noverline{CD} \; \text{is a diameter of the circle}\]

Fig. 3. Corde avec bissectrice perpendiculaire.

Propriétés des cordes congruentes

Si deux cordes sont équidistantes du centre du cercle, on sait qu'elles doivent être congruentes. Cette propriété des cordes est illustrée dans la figure ci-dessous : Les cordes \(AB\) et \(DE\) sont équidistantes sur le cercle. Note également que \N(CF\N) et \N(CG\N) sont de même longueur (congruentes). La longueur égale de ces segments de droite \N(CF\N) et \N(CG\N) nous aide à confirmer que les deux cordes \N(AB\N) et \N(DE\N) sont à égale distance du centre du cercle.

\N- [\N-text{if} \N ; \Noverline{CF}\Ncong \Noverline{CG} \text{, then} \; \overline{AB}\cong \overline{DE}\]

Fig. 4. Accords avec lignes égales à partir du centre.

Supposons maintenant que l'on nous dise que \N(CF\N) est perpendiculaire à \N(AB\N), et que \N(CG\N) est perpendiculaire à \N(DE\N). Dans ce cas, nous pouvons utiliser la propriété des bissectrices perpendiculaires pour tirer les conclusions suivantes sur les cordes : \N-[\N-text{if}] ; \N-[\N-text{if}] \N ; \Noverline{CF}\Nperp \Noverline{AB} \N- ; \N- ; \N- ; \N- ; et \; \overline{CG}\perp \overline{DE} \; \text{and} \; \overline{CF} = \overline{CG} \; \text{, then} \ ; \Noverline{AF} = \Noverline{FB} = \Noverline{DG} = \Noverline{GE}\N]

Fig. 5. Cordes perpendiculaires à côtés égaux.

Propriétés des cordes sécantes

Le théorème des cordes sécantes stipule que lorsque les cordes d'un cercle se croisent, les produits des longueurs de leurs segments sont égaux. Regarde la figure ci-dessous, où deux cordes \N(RS\N) et \N(PQ\N) se croisent au point \N(A\N), avec \N(O\N) comme centre du cercle. Nous pouvons donc écrire le théorème des cordes comme suit :

\[(\N-overline{SA}) \Ncdot (\N-overline{AR}) = (\N-overline{PA}) \Ncdot (\N-overline{AQ})\N].

Fig. 6. Accords qui se croisent.

Propriétés des cordes : Angles soustendus

La prochaine propriété des accords dont nous allons parler concerne les angles soustendus. Tout d'abord, clarifions la signification d'un angle soustendu. Lorsque les deux extrémités d'un accord sont jointes (à l'aide de segments de droite) pour former un angle situé en un point extérieur à cet accord, cet angle est considéré comme un angle soustendu.

Par exemple, supposons que \(AB\) est une corde et que \(C\) est un point situé à l'extérieur de la corde dans un cercle. Alors \N(\Nangle ACB\N) est l'angle soustendu.

Fig. 7. Corde avec angle soustendu.

Examinons maintenant la propriété suivante des cordes en regardant la figure ci-dessous : dans cette figure, deux cordes égales sous-tendent des angles au centre d'un cercle. Dans ce cas, selon les propriétés des accords, les deux angles sous-tendus sont égaux.

\NFlèche droite \Nangle AOB =\Nangle DOC \N]

Fig. 8. Deux cordes égales sous-tendent des angles égaux au centre.

Propriétés des cordes : Calcul de la longueur à l'aide de formules

Dans certaines circonstances, nous sommes en mesure de calculer la longueur d'un accord à l'aide de formules, notamment :

• Lorsque l'angle sous-tendu de la corde au centre du cercle est fourni.
• Lorsque le rayon et la distance de la corde au centre sont donnés.

Ces circonstances sont illustrées dans la figure ci-dessous. Supposons que pour la corde \(CB\) sur le cercle de centre \(A\), \(r\) est le rayon, \(d\) est la distance de la corde au centre, et \(\theta\) est l'angle soustendu.

Fig. 9. Longueur de la corde en fonction du rayon ou de l'angle soustendu.

La longueur de la corde \(CB\) illustrée dans la figure peut être calculée à l'aide des formules suivantes :

Lorsque l'angle soustendu est donné, alors :

\[\text{Chord}=2 \times r \times \sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )\].

Si le rayon et la distance du centre à la corde sont donnés, alors.. :

\N-[\N-texte{Corde}=2 \Nfois \Nsqrt{r^{2}-d^{2}}\N].

Exemples de propriétés des cordes

Exerçons nos connaissances sur les propriétés des accords avec quelques problèmes d'exemples.