What is Investigating Propriétés des cordes?

Considère le scénario suivant. Sam fait du jogging sur une piste circulaire. Soudain, il aperçoit son ami, Max, de l'autre côté de la piste de jogging et l'appelle pour le saluer. Maintenant, au lieu de parcourir la distance restante le long de la piste de jogging, Sam marche en ligne droite au milieu du cercle pour rejoindre Max. En mathématiques, une telle ligne droite s'appelle un accord.

Une corde peut également être formée dans n'importe quel type de courbe, comme les ellipses. Ici, nous discuterons plus particulièrement des propriétés des cordes dans les cercles.

Propriétés d'une corde dans un cercle

Avant d'aborder les propriétés d'une corde dans un cercle, considérons rapidement la définition d'une corde. Une corde est un segment de droite qui passe par deux points quelconques d'un cercle. Une corde peut être tracée avec ses deux extrémités n'importe où sur le cercle.

Lorsqu'une corde passe par le centre du cercle, on parle de diamètre du cercle. Un diamètre divise un cercle en deux demi-cercles, alors que tout autre accord divise un cercle en un arc majeur et un arc mineur.

Fig. 1. Les accords du cercle.

Les propriétés de base d'un accord sont les suivantes :

• La corde divise un cercle en deux segments : le segment majeur et le segment mineur.

• Une ligne perpendiculaire coupe la corde en deux si elle est tracée du centre du cercle à la corde.

• Deux cordes égales ont deux angles égaux sous-tendus au centre du cercle.

• Les cordes de même longueur sont équidistantes du centre du cercle.

Maintenant, plongeons plus profondément et comprenons plus clairement les propriétés des accords.

Propriétés des cordes : Bissectrices perpendiculaires

Supposons que tu aies une corde \N(AB\N) sur un cercle dont le centre est \N(O\N), ce que la figure ci-dessous illustre. Si nous traçons une ligne depuis le centre (O) jusqu'au point (P) de la corde (AB), (OP) est perpendiculaire à (AB) et (OP) coupe en deux (AB). En d'autres termes, \N(OP\N) est la bissectrice perpendiculaire de \N(AB\N) de sorte que \N(AP\N) et \N(PB\N) sont congruentes. D'où ,

\N- [\N-text{if} \ ; \overline{OP}\perp \overline{AB} \text{, then} \ ; \overline{AP}\cong \overline{PB}\]

Fig. 2. Accord avec la bissectrice perpendiculaire.

Détermination du diamètre par une bissectrice perpendiculaire

Jette un coup d'œil à la figure ci-dessous. \(CD\) est la corde qui agit comme une bissectrice perpendiculaire à la corde \(AB\). Pour ce scénario,

\N-[\N-text{if}] ; \N-[\N-text{if}] \N ; \Noverline{CD}\Nperp \Noverline{AB} \text{, then} \N ; \Noverline{CD} \; \text{is a diameter of the circle}\]

Fig. 3. Corde avec bissectrice perpendiculaire.

Propriétés des cordes congruentes

Si deux cordes sont équidistantes du centre du cercle, on sait qu'elles doivent être congruentes. Cette propriété des cordes est illustrée dans la figure ci-dessous : Les cordes \(AB\) et \(DE\) sont équidistantes sur le cercle. Note également que \N(CF\N) et \N(CG\N) sont de même longueur (congruentes). La longueur égale de ces segments de droite \N(CF\N) et \N(CG\N) nous aide à confirmer que les deux cordes \N(AB\N) et \N(DE\N) sont à égale distance du centre du cercle.

\N- [\N-text{if} \N ; \Noverline{CF}\Ncong \Noverline{CG} \text{, then} \; \overline{AB}\cong \overline{DE}\]

Fig. 4. Accords avec lignes égales à partir du centre.

Supposons maintenant que l'on nous dise que \N(CF\N) est perpendiculaire à \N(AB\N), et que \N(CG\N) est perpendiculaire à \N(DE\N). Dans ce cas, nous pouvons utiliser la propriété des bissectrices perpendiculaires pour tirer les conclusions suivantes sur les cordes : \N-[\N-text{if}] ; \N-[\N-text{if}] \N ; \Noverline{CF}\Nperp \Noverline{AB} \N- ; \N- ; \N- ; \N- ; et \; \overline{CG}\perp \overline{DE} \; \text{and} \; \overline{CF} = \overline{CG} \; \text{, then} \ ; \Noverline{AF} = \Noverline{FB} = \Noverline{DG} = \Noverline{GE}\N]

Fig. 5. Cordes perpendiculaires à côtés égaux.

Propriétés des cordes sécantes

Le théorème des cordes sécantes stipule que lorsque les cordes d'un cercle se croisent, les produits des longueurs de leurs segments sont égaux. Regarde la figure ci-dessous, où deux cordes \N(RS\N) et \N(PQ\N) se croisent au point \N(A\N), avec \N(O\N) comme centre du cercle. Nous pouvons donc écrire le théorème des cordes comme suit :

\[(\N-overline{SA}) \Ncdot (\N-overline{AR}) = (\N-overline{PA}) \Ncdot (\N-overline{AQ})\N].

Fig. 6. Accords qui se croisent.

Propriétés des cordes : Calcul de la longueur à l'aide de formules

Dans certaines circonstances, nous sommes en mesure de calculer la longueur d'un accord à l'aide de formules, notamment :

• Lorsque l'angle sous-tendu de la corde au centre du cercle est fourni.
• Lorsque le rayon et la distance de la corde au centre sont donnés.

Ces circonstances sont illustrées dans la figure ci-dessous. Supposons que pour la corde \(CB\) sur le cercle de centre \(A\), \(r\) est le rayon, \(d\) est la distance de la corde au centre, et \(\theta\) est l'angle soustendu.

Fig. 9. Longueur de la corde en fonction du rayon ou de l'angle soustendu.

La longueur de la corde \(CB\) illustrée dans la figure peut être calculée à l'aide des formules suivantes :

Lorsque l'angle soustendu est donné, alors :

\[\text{Chord}=2 \times r \times \sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )\].

Si le rayon et la distance du centre à la corde sont donnés, alors.. :

\N-[\N-texte{Corde}=2 \Nfois \Nsqrt{r^{2}-d^{2}}\N].

Exemples de propriétés des cordes

Exerçons nos connaissances sur les propriétés des accords avec quelques problèmes d'exemples.