What is Investigating Réflexions glissées?

Tu t'amuses sur une plage et tu te promènes le long du rivage. Soudain, tu remarques tes empreintes de pas sur le sable et les motifs qu'elles ont laissés derrière elles. Ton cerveau mathématique commence à l'analyser et remarque une certaine symétrie et des images en miroir dans les empreintes de pas. Y a-t-il une logique possible cachée dans tout cela ou s'agit-il simplement d'une coïncidence ?

Les empreintes et un excellent exemple d'une transformation appelée réflexion de glissement. Dans cet article, nous parlerons des réflexions de glissement et nous apprendrons comment faire glisser et refléter des objets.

Réflexion sur le glissement signification

La signification de glide reflection est en fait dans son nom. La réflexion par glissement a un effet de glissement et de réflexion lorsqu'elle est appliquée à n'importe quelle image.

Il n'y a que deux informations à connaître lorsqu'on effectue des opérations de réflexion par glissement : la règle de traduction et la ligne sur laquelle réfléchir ta figure. Un exemple simple de la façon dont cela fonctionne est démontré dans la figure ci-dessous.

Fig. 1. Réflexion de glissement sur des pas.

Modèle de réflexion Glide

Une réflexion de glissement est une symétrie qui suit un modèle de transformations. Le schéma de réflexion par glissement consiste en deux transformations - la réflexion sur une ligne et la translation le long de la ligne prise. Par conséquent, il existe une réflexion de toute figure et une translation (ou glissement) de cette figure.

Cette composition est commutative, il n'est donc pas important qu'une image se reflète puis glisse ou vice versa. De plus, la forme et la taille restent les mêmes après la composition du reflet du glissement.

Dans l'exemple ci-dessous de l'image de pas, nous pouvons voir les deux schémas de réflexion possibles.

Fig. 2. Modèles de réflexion de glissement.

L'image résultante dans les deux cas de composition - \(T\circ r\) ou \(r\circ T\) sera toujours la même. En bref, dans la réflexion par glissement, tu peux soit voir d'abord la réflexion et ensuite la translation, soit l'inverse.

Formule de réflexion par glissement

Comme nous l'avons déjà mentionné, la réflexion glissante implique le processus de mise en correspondance de la figure \(P\) avec \( {P}''\). Cependant, ce processus se déroule en deux étapes :

• Traduire la figure \(P\rightarrow {P}'\).
• Refléter la figure \N( {P}'\Nflèche droite {P}''\N) .

La formule de réflexion de glissement est la séquence de composition de la transformation de translation et de réflexion.

\[\NFlèche droite \Ntexte{Réflexion de glissement} = T\circ r \N ; \Ntexte{ou}\N ; r\circ T\N]

Formule de traduction

Lorsque la traduction est effectuée, elle utilise les formules de traduction suivantes :

• Une translation positive sur l'axe des x déplacerait l'image vers la droite, tandis qu'une translation négative sur l'axe des x déplacerait l'image vers la gauche. \[\text{Positive translation} : (x,y) \rightarrow (x+h,y)\] \[\text{Négative translation} : (x,y) \rightarrow (x-h,y)\]
• Une translation positive sur l'axe des y décalerait l'image vers le haut tandis qu'une translation négative sur l'axe des y décalerait l'image vers le bas. \[\text{Positive translation} : (x,y) \rightarrow (x,y+k)\] \[\text{Négative translation} : (x,y) \rightarrow (x,y-k)\]
• La translation combinée se produit en déplaçant simultanément l'axe des x et l'axe des y. \[\text{Transition positive des axes x et y} : (x,y) \rightarrow (x+h,y+k)\] \text{Transition négative des axes x et y} : (x,y) \rightarrow (x-h,y-k)\] \text{Transition positive de l'axe x et négative de l'axe y} : (x,y) \rightarrow (x+h,y-k)\N] \N-[\N-texte{Transition négative de l'axe des x et positive de l'axe des y} : (x,y) \rightarrow (x-h,y+k)\]

Quelles sont les règles de réflexion ?

• Réflexion sur l'axe des x : \N((x,y)\Nimages \N((x,-y)\N).
• Réflexion sur l'axe des ordonnées : \N-(x,y)\N-(-x,y)\N-(-x,y)\N-(-x,y)\N).
• Réflexion sur \N(y=x) : \((x,y)\) images \((y,x)\).
• Réflexion sur \N(y=-x\N) : \N-(x,y)\Nimages \N(-y,-x)\N).

Glisser la symétrie de réflexion avec un exemple

Comprenons comment réaliser la symétrie de réflexion par glissement à l'aide d'un exemple. Supposons que nous ayons une pré-image de \(\bigtriangleup XYZ\) avec les coordonnées des points \(X(-4,-1), Y(-6,-4), Z(-1,-3)\). Ce triangle \(\bigtriangleup XYZ\) est translaté positivement vers la droite avec \(10\) unités en formant \(\bigtriangleup X'Y'Z'\). Ainsi, cette pré-image est décalée vers la droite, nous ajouterons \N(10\N) unités à l'axe des x de tous les points de coordonnées.

\N- [X(-4,-1) \N- X'(-4+10,-1)=X'(6,-1)\N]

\N-[Y(-6,-4) \N-rightarrow Y'(-6+10,-4)=Y'(4,-4)\N]

\N-[Z(-1,-3) \N-rightarrow Z'(-1+10,-3)=Z'(9,-3)\N]

Nous pouvons voir cette traduction dans la figure ci-dessous.

Fig. 3. Traduction du triangle XYZ.

Maintenant, l'image traduite (grand triangle X'Y'Z'\N) est réfléchie sur l'axe des x. Autrement dit, nous prendrons la négation des coordonnées de l'axe des y pour tous les points.

\N- [X'(6,-1) \N- X''(6,-(-1))=X''(6,1)\N]

\N-[Y'(4,-4) \N-rightarrow Y''(4,-(-4))=Y''(4,4)\N]

\N-[Z'(9,-3) \N-rightarrow Z''(9,-(-3))=Z''(9,3)\N]

Nous pouvons voir l'image réfléchie \N(\N- Bigtriangleup X''Y''Z''\N) dans la figure ci-dessous. \N(\N- Bigtriangleup X''Y''Z''\N) est l'image résultante de \N(\N- Bigtriangleup XYZ\N) par réflexion sur le plan de l'eau.

Fig. 4. Réflexion par glissement du triangle XYZ.

Exemple de réflexion par glissement

Comme nous l'avons vu précédemment, les réflexions par glissement impliquent des translations et des réflexions sur la même figure. Peu importe ce qui est fait en premier : réflexion ou translation, ce qui compte c'est que la ligne de réflexion soit parallèle à la translation. Voyons quelques exemples ci-dessous.

Nous allons examiner un autre exemple.