Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
En géométrie, nous avons appris le concept des lignes. Ce concept fondamental se retrouve également partout dans la vie quotidienne, comme sur les côtés des portes et des fenêtres ou sur toute surface plane avec un bord droit. Souvent, nous voyons deux lignes parallèles similaires comme un passage zébré, des voies ferrées ou des échelles.
Les lignes parallèlesa> sont une partie importante de l'étude des quadrilatères, comme dans les parallélogrammesa>, par exemple, qui sont des figures à quatre côtés qui ont des côtés opposés parallèles. Dans cet article, nous allons étudier les théorèmes et les postulats sur les droites parallèles. Mais tout d'abord, définissons les droites parallèles.
Les droites coplanaires qui sont équidistantes les unes des autres et qui ne se coupent jamais en aucun point sont appelées droites parallèles.
Droites parallèles, StudySmarter Originals
Nous pouvons faire des affirmations concernant les lignes parallèles en nous basant sur les angles qu'elles forment. En d'autres termes, nous pouvons prouver que des lignes sont parallèles en nous basant sur les angles, et inversement, nous pouvons également prouver la congruence des angles en nous basant sur l'existence de lignes parallèles. Avant d'aller plus loin, passons en revue quelques définitions et concepts de base concernant les lignes parallèles. Tout d'abord, comment peut-on faire la différence entre les lignes parallèles et celles qui ne le sont pas ?
Les lignesnon parallèles sont deux ou plusieurs lignes qui ne sont pas à égale distance et qui se croisent en un certain point ou qui se croiseront en un certain point.
Lignes non parallèles, StudySmarter Originals
Tu te demandes peut-être quel est le rapport entre les lignes parallèles et les angles si elles ne se croisent jamais ? La réponse est : les transversales : Les lignes transversales jouent un rôle important dans la détermination des angles associés aux lignes parallèles.
Une ligne passant par deux lignes en différents points du même plan s'appelle une ligne transversale.
Transversale, StudySmarter Originals
Tout d'abord, nous allons jeter un coup d'œil aux énoncés importants pour montrer la congruence des angles basée sur les droites parallèles.
Théorème 1: Angle intérieur alterné
Si deux lignes parallèles d'un plan sont coupées par une transversale, alors les angles intérieurs alternés formés sont congruents (identiques). Note que les angles intérieurs sont ceux qui se trouvent à l'intérieur des lignes parallèles.
Angles intérieurs alternés, StudySmarter Originals
Les angles formés sur le côté opposé de la transversale et qui se trouvent dans le côté intérieur des lignes parallèles sont appelés angles alternés.
Théorème 2: Angle extérieur alterné
Si deux droites parallèles d'un plan sont coupées par une transversale, alors les angles extérieurs formés sont congruents. Note que les angles extérieurs sont ceux qui se trouvent à l'intérieur des lignes parallèles.
Angles extérieurs alternés, StudySmarter Originals
Théorème 3: Angles intérieurs consécutifs
Si deux droites parallèles d'un plan sont coupées par une transversale, alors les angles intérieurs consécutifs formés du même côté sont complémentaires.
Angles intérieurs consécutifs, StudySmarter Originals
Deux angles sont complémentaires si la somme des mesures des deux angles est.
Théorème 4: Angles extérieurs consécutifs
Si deux lignes parallèles d'un plan sont coupées par une transversale, alors les angles extérieurs consécutifs formés du même côté sont complémentaires.
Angles extérieurs consécutifs, StudySmarter Originals
Théorème 5: Angles correspondants
Si deux lignes parallèles d'un plan sont coupées par une transversale, alors les angles correspondants formés sont congruents.
Angles correspondants, StudySmarter Originals
Les angles formés sur les coins correspondants des lignes parallèles formées par la transversale sont connus sous le nom d'angles correspondants.
Nous allons maintenant examiner la partie inverse des théorèmes mentionnés ci-dessus.
Théorème 6: converse des angles intérieurs alternés
Si deux lignes d'un plan sont coupées par une transversale de telle sorte que les angles intérieurs alternés formés sont congruents, alors les deux lignes sont parallèles.
Droites parallèles avec angles intérieurs alternés, StudySmarter Originals
Théorème 7: Conversion des angles extérieurs alternés
Si deux lignes d'un plan sont coupées par une transversale telle que les angles extérieurs alternés formés sont congrus, alors les deux lignes sont parallèles.
Droites parallèles avec angles extérieurs alternés, StudySmarter Originals
Théorème 8: Les angles intérieurs consécutifs sont inversés
Si deux lignes d'un plan sont coupées par une transversale telle que les angles intérieurs consécutifs formés ont une somme dealors les deux droites sont parallèles.
Droites parallèles avec angles intérieurs consécutifs, StudySmarter Originals
Théorème 9: Conversion des angles extérieurs consécutifs
Si deux lignes d'un plan sont coupées par une transversale telle que les angles extérieurs consécutifs formés ont une somme de alors les deux droites sont parallèles.
Droites parallèles avec angles extérieurs consécutifs, StudySmarter Originals
Théorème 10: Conversion des angles correspondants
Si deux droites d'un plan sont coupées par une transversale de telle sorte que les angles correspondants formés sont congrus, alors les deux droites sont parallèles.
Lignes parallèles avec angles correspondants, StudySmarter Originals
Nous allons ici examiner quelques exemples concernant les théorèmes mentionnés ci-dessus.
Dans la figure donnée et . Et .
Trouve (a) (b) (c)
Droites parallèles avec deux transversales, StudySmarter Originals
Solution: (a) Ici et la ligne p est une transversale des lignes m et n. En appliquant le théorème des angles intérieurs alternés, on obtient
(b) De la même façon qu'en (a), p est une transversale aux droites parallèles m et n. Nous utilisons le théorème des angles intérieurs consécutifs. Donc et sont complémentaires.
(c) Nous utiliserons le pour calculer car ils sont tous deux situés sur la même ligne n . Ici et sont sur les droites parallèles, p et q, respectivement, et la droite n est la transversale des deux droites. Ainsi et forment des angles correspondants.
D'après le théorème de l'angle correspondant, les deux angles sont congruents.
Comprenons maintenant quelques autres théorèmes importants concernant les lignes parallèles et jetons un coup d'œil à leurs preuves.
L'énoncé suivant présente la relation entre la transversale perpendiculaire et les droites parallèles.
Théorème 11: Théorème de la transversale perpendiculaire
Si deux lignes d'un plan sont coupées par une transversale perpendiculaire, alors les deux lignes sont parallèles.
Droites parallèles avec transversale perpendiculaire, StudySmarter Originals
Preuve: Ici, la transversale t est perpendiculaire à la fois à la ligne p et à la ligne q,
Nous devons maintenant prouver que p et q sont parallèles. Comme la transversale t est perpendiculaire à p, cela implique que De même, comme la transversale t est perpendiculaire à q, on obtient
Maintenant, en utilisant la définition de la congruence, qui stipule que si la mesure de deux angles est égale, alors les deux angles sont congruents l'un à l'autre, nous obtenons
D'après la figure, nous pouvons clairement voir que les deux angles sont des angles correspondants. Ainsi, en utilisant le théorème 10, le théorème de la converse des angles correspondants, nous pouvons dire directement que C'est-à-dire que la ligne p et la ligne q sont parallèles l'une à l'autre. Le théorème est donc prouvé.
L'un des autres énoncés importants sur les lignes parallèles utilise la relation de transitivité.
Théorème11: Transitivité des droites parallèles
Si deux lignes d'un plan sont parallèles à la même ligne, alors toutes les lignes sont parallèles entre elles.
Propriété transitive des lignes parallèles, StudySmarter Originals
Preuve: Prouvons maintenant que la ligne commune à d'autres lignes parallèles est parallèle. C'est-à-dire ,
Alors, sans perte de généralité, nous pouvons dire que la ligne q se trouve entre la ligne p et la ligne r.
Nous devons maintenant prouver que la ligne p et la ligne r sont parallèles.
Nous utiliserons ici la méthode de la contradiction pour prouver ce résultat, qui montre qu'une affirmation est vraie simplement en prouvant qu'il n'est pas possible qu'elle soit fausse. Par conséquent, pour prouver que la ligne p et la ligne r sont parallèles, nous supposons d'abord que la ligne p et la ligne r ne sont pas des lignes parallèles (une contradiction). Cela signifie que la ligne p et la ligne r doivent se croiser, d'après la définition des lignes non parallèles. Maintenant, comme la ligne q se trouve entre les lignes p et r, lorsque ces lignes se croisent, la ligne p ou la ligne r doit également se croiser avec la ligne q. Cependant, comme la ligne q est parallèle à la fois à la ligne p et à la ligne r, cela n'est pas possible. Par conséquent, notre hypothèse selon laquelle la ligne p et la ligne r ne sont pas parallèles est fausse. Par la méthode de la contradiction, la ligne p et la ligne r sont parallèles l'une à l'autre. Nous avons donc prouvé que si et , alors
Nous allons jeter un coup d'œil au théorème qui démontre la proportionnalité entre trois droites parallèles.
Théorème12: Théorème des trois droites parallèles
Si trois droites parallèles sont coupées par deux transversales, alors les segments formés sur la transversale sont de même proportion.
Trois droites parallèles, StudySmarter Originals
Preuve: Ici, les droites p, q et r sont parallèles entre elles. Et ces droites sont coupées par deux transversales t et s aux points A, B, C, et D, E, et F respectivement.
Il nous faut maintenant montrer que
Pour le prouver, nous allons faire appel au théorème de l'ordonnée à l'origine. On nous donne les droites p, q et r comme étant parallèles. Nous construisons alors une ligne AH à partir du point A, qui est parallèle à DF.
Trois droites parallèles avec une troisième transversale, StudySmarter Originals
Nous pouvons remarquer que la partie gauche de la figure correspond exactement à ce que dit le théorème de l'ordonnée à l'origine. Donc, d'après le théorème de l'ordonnée à l'origine, nous obtenons :
Comme nous avons construit la ligne parallèle AH, nous savons que
On nous donne aussi que les droites p, q et r sont des droites parallèles. Donc, d'après la définition d'un parallélogramme, ADEG et EFHG sont tous deux des parallélogrammes. Maintenant, d'après les propriétés d'un parallélogramme, nous savons que les côtés opposés sont égaux.
En utilisant la propriété transitive, nous pouvons directement substituer et obtenir le résultat suivant.
On peut donc dire que les segments formés sur les deux transversales sont en proportions égales.
Appliquons les théorèmes ci-dessus concernant les lignes parallèles à quelques exemples.
Chaque ligne est parallèle à la ligne immédiate suivante dans la figure ci-dessous. Montre alors que
Exemple de propriété de transitivité avec quatre lignes parallèles
Solution: On sait que et En appliquant le théorème de la propriété de transitivité des lignes parallèles, on obtient que Maintenant, on sait aussi que et nous avons déjà trouvé Donc, en appliquant à nouveau le théorème de la propriété transitive des lignes parallèles, nous savons que
Dans la figure suivante, deux lignes, a et c, sont toutes deux perpendiculaires à la ligne s. De plus, il est donné que Prouve alors que
Exemple de droites parallèles, StudySmarter Originals
Solution: Ici, il est donné que la ligne s coupe perpendiculairement la ligne a et la ligne c. En appliquant le théorème de la transversale perpendiculaire, on obtient donc On nous donne et nous avons déjà trouvé que Ensuite, d'après la propriété de transitivité du théorème des lignes parallèles, il s'avère immédiatement que
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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