What is Investigating Triangles Isocèles?

Imagine-toi à Paris, en France, devant la tour Eiffel et observe sa structure.

Tour Eiffel et triangle isocèle, StudySmarter Originals

D'en haut, nous voyons que la structure de la Tour Eiffel représente un triangle. Inspecte maintenant plus en détail les dimensions de ce triangle. Remarque que les deux côtés opposés sont égaux alors que la base est différente. Cela signifie que nous pouvons exclure que la Tour Eiffel ait la forme d'un triangle équilatéral, qui, tu t'en souviens, est un triangle à trois côtés égaux. Alors, de quel type de triangle s'agit-il ? Pour répondre à ta question, il s'agit d'un triangle isocèle.

Composantes d'un triangle isocèle

Considère le triangle isocèle ABC ci-dessous.

Triangle isocèle, StudySmarter Originals

Voici les composants les plus importants d'un triangle isocèle :

Les côtés et les sommets

• Les branches du triangle isocèle sont représentées par la variable a.

• La base est définie par la variable b.

• Le sommet $C$ est la partie la plus haute du triangle isocèle. On l'appelle aussi le sommet.

• L'altitude$CD$est un segment de droite perpendiculaire tracé du sommet à la base d'un triangle isocèle.

• La longueur de l'altitude est appelée hauteur et est décrite par la variable h.

Angles

• L'angle ${}_{\angle }C$ entre les jambes du triangle isocèle est appelé angle du sommet (ou angle de l'apex).

• Chacun des deux angles ${}_{\angle }B$ et ${}_{\angle }A$ entre une branche et la base du triangle isocèle est appelé angle de base.

Propriétés d'un triangle isocèle

Il existe plusieurs propriétés importantes des triangles isocèles avec lesquelles tu dois te familiariser pour bien comprendre la composition d'un triangle isocèle. Le tableau ci-dessous les décrit en détail.

Identifier la jambe et la base d'un triangle isocèle

Disons qu'on nous donne un triangle avec trois côtés. On nous dit que le triangle est bien un triangle isocèle. Cependant, nous devons déterminer quels côtés sont les branches du triangle isocèle et quel côté est la base.

Pour déterminer les branches du triangle isocèle, prends note des caractéristiques ci-dessous :

• Il y aexactement deux côtés égaux, qui sont les jambes.

• Les deux branches partent du sommet du triangle

• L'altitude est adjacente aux deux branches

En revanche, la base doit remplir les propriétés suivantes.

• Les deux angles aux extrémités de la base sont égaux

• Une altitude tracée à partir du sommet est perpendiculaire à la base

• Un segment de droite perpendiculaire passant par le sommet coupe la base en deux, c'est-à-dire en deux moitiés égales.

Théorèmes sur les triangles isocèles

En gardant cela à l'esprit, discutons maintenant de deux théorèmes notables impliquant des triangles isocèles qui examinent de plus près les deux propriétés principales décrites ci-dessus.

Théorème 1

Les angles opposés aux côtés égaux d'un triangle isocèle sont égaux.

Théorème 2

Les côtés opposés aux angles égaux d'un triangle isocèle sont égaux.

Types de triangles isocèles

Il existe trois types de triangles isocèles à considérer, à savoir .

1. Isocèle aigu ;

2. Isocèle droit ;

3. Isocèle obtus.

Le tableau ci-dessous compare chacun de ces types de triangles isocèles.

Formules des triangles isocèles

Dans cette section, nous allons examiner trois formules importantes concernant les triangles isocèles, à savoir .

1. La hauteur d'un triangle isocèle ;

2. Le périmètre d'un triangle isocèle ;

3. L'aire d'un triangle isocèle.

La hauteur d'un triangle isocèle

La hauteur d'un triangle isocèle peut être trouvée en appliquant le théorème de Pythagore. Disons que nous avons le triangle isocèle ABC ci-dessous où les mesures d'une jambe a et de la base b sont données.

Hauteur d'un triangle isocèle, StudySmarter Originals

Nous savons que l'altitude (segment de droite CD) de l'angle du sommet coupe la base du triangle isocèle. Cela signifie que

$AD=BD=\frac{1}{2}b$.

De plus, ADC et BDC sont des triangles rectangles dont a est l'hypoténuse. Ainsi, pour trouver la hauteur, il suffit d'adopter le théorème de Pythagore comme suit

id="5221559" role="math" $$\begin{gathered} a^2=h^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2 \\ \Rightarrow h^2=a^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2 \\ \Rightarrow h=\sqrt{a^2-{\left(\frac{b}{2}\right)}^2} \end{gathered}$$

Le périmètre d'un triangle isocèle

Le périmètre d'un triangle isocèle est donné par la formule suivante.

$P=2a+b$

où a est la longueur des deux côtés égaux et b la base du triangle isocèle. Démontrons cela à l'aide d'un exemple concret.

L'aire d'un triangle isocèle

Une fois que tu connais la hauteur d'un triangle isocèle, le calcul de la surface est un jeu d'enfant. La formule est la suivante

$Area=\frac{1}{2}\times b\times h$,

où b est la base et h la hauteur du triangle isocèle. Tu trouveras ci-dessous un exemple d'application de cette méthode.

Altitudes dans les triangles isocèles

Définissons maintenant l'altitude d'un triangle.

Maintenant que nous avons établi la définition d'une altitude, nous allons relier cette idée à notre sujet d'étude. Voici deux théorèmes qui établissent un lien entre l'altitude et les triangles isocèles.

Théorème 1

L'altitude de la base d'un triangle isocèle est bissectrice de l'angle du sommet.

Théorème 2

L'altitude de la base d'un triangle isocèle est bissectrice de la base.

Exemples d'exercices concernant les triangles isocèles

Comparer les triangles

Il existe trois types de triangles que nous verrons souvent tout au long de ce syllabus, à savoir .

1. Triangle isocèle

2. Triangle équilatéral

3. Le triangle scalène

Dans cette dernière section, nous allons examiner les différences entre ces trois triangles. En nous familiarisant avec ces contrastes, nous pourrons distinguer correctement chaque type auquel nous avons affaire et effectuer les bons calculs. Le tableau ci-dessous compare ces trois triangles en ce qui concerne les côtés, les angles et les altitudes.