Triangles Isocèles: Propriétés, Formules

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Tour Eiffel et triangle isocèle, StudySmarter Original

Tour Eiffel et triangle isocèle, StudySmarter Originals

D'en haut, nous voyons que la structure de la Tour Eiffel représente un triangle. Inspecte maintenant plus en détail les dimensions de ce triangle. Remarque que les deux côtés opposés sont égaux alors que la base est différente. Cela signifie que nous pouvons exclure que la Tour Eiffel ait la forme d'un triangle équilatéral, qui, tu t'en souviens, est un triangle à trois côtés égaux. Alors, de quel type de triangle s'agit-il ? Pour répondre à ta question, il s'agit d'un triangle isocèle.

Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés sont égaux.

Composantes d'un triangle isocèle

Considère le triangle isocèle ABC ci-dessous.

Triangle isocèle, StudySmarter Originals

Voici les composants les plus importants d'un triangle isocèle :

Les côtés et les sommets

Les branches du triangle isocèle sont représentées par la variable a.
La base est définie par la variable b.
Le sommet $C$ est la partie la plus haute du triangle isocèle. On l'appelle aussi le sommet.
L'altitude $C D$ est un segment de droite perpendiculaire tracé du sommet à la base d'un triangle isocèle.
La longueur de l'altitude est appelée hauteur et est décrite par la variable h.

Angles

L'angle ${}_{∠}C$ entre les jambes du triangle isocèle est appelé angle du sommet (ou angle de l'apex).
Chacun des deux angles ${}_{∠}B$ et ${}_{∠}A$ entre une branche et la base du triangle isocèle est appelé angle de base.

Propriétés d'un triangle isocèle

Il existe plusieurs propriétés importantes des triangles isocèles avec lesquelles tu dois te familiariser pour bien comprendre la composition d'un triangle isocèle. Le tableau ci-dessous les décrit en détail.

Propriété	Description
Il y a deux côtés égaux	AC = BC
Les angles de base sont égaux	∠A = ∠B
L'altitude de l'angle du sommet coupe en deux l'angle du sommet et la base	AD = BD∠ACD = ∠BCD
L'altitude tracée à partir de l'angle du sommet divise le triangle isocèle en deux triangles congruents	Le triangle ACD est congru au triangle BCD

Identifier la jambe et la base d'un triangle isocèle

Disons qu'on nous donne un triangle avec trois côtés. On nous dit que le triangle est bien un triangle isocèle. Cependant, nous devons déterminer quels côtés sont les branches du triangle isocèle et quel côté est la base.

Pour déterminer les branches du triangle isocèle, prends note des caractéristiques ci-dessous :

Il y aexactement deux côtés égaux, qui sont les jambes.
Les deux branches partent du sommet du triangle
L'altitude est adjacente aux deux branches

En revanche, la base doit remplir les propriétés suivantes.

Les deux angles aux extrémités de la base sont égaux
Une altitude tracée à partir du sommet est perpendiculaire à la base
Un segment de droite perpendiculaire passant par le sommet coupe la base en deux, c'est-à-dire en deux moitiés égales.

Théorèmes sur les triangles isocèles

En gardant cela à l'esprit, discutons maintenant de deux théorèmes notables impliquant des triangles isocèles qui examinent de plus près les deux propriétés principales décrites ci-dessus.

Théorème 1

Les angles opposés aux côtés égaux d'un triangle isocèle sont égaux.

Preuve du théorème 1

Considère le triangle isocèle ABC ci-dessous où AC = BC. Trace une bissectrice passant par ∠C. Nous appellerons ce segment de droite CD.

Théorème du triangle isocèle 1, StudySmarter Originals

Notre objectif est de prouver que les angles opposés aux côtés AC et BC sont égaux.

Essentiellement, nous voulons montrer que ∠A = ∠B.

Remarque que dans les triangles ACD et BCD :

AC = BC
∠ACD = ∠BCD
CD = CD

Congruence SAS

Si deux côtés et un angle inclus d'un triangle sont égaux aux deux côtés et à l'angle inclus du second triangle, on dit que les deux triangles sont congruents.

D'après la règle de congruence du SAS ci-dessus, les triangles ACD et BCD doivent être congruents. Comme les deux triangles sont congruents, les angles correspondants doivent également être congruents. Ainsi, ∠A doit être égal à ∠B.

Théorème 2

Les côtés opposés aux angles égaux d'un triangle isocèle sont égaux.

Preuve du théorème 2

Considère le triangle isocèle ABC ci-dessous dans lequel ∠A = ∠B. Nous allons construire une bissectrice CD qui rencontre le côté AB à angle droit.

Théorème du triangle isocèle 2, StudySmarter Originals

Notre objectif est de prouver que AC = BC pour montrer que le triangle ABC est bien un triangle isocèle.

Remarque que dans les triangles ACD et BCD :

∠ACD = ∠BCD
CD = CD
∠ADC = ∠BDC = ^90o

Congruence ASA

Si deux angles et un côté inclus entre les angles d'un triangle sont égaux aux deux angles correspondants et au côté inclus entre les angles du second triangle, on dit que les deux triangles sont congruents.

En vertu de la règle de congruence ASA ci-dessus, les triangles ACD et BCD doivent être congruents. Comme les deux triangles sont congruents, les côtés correspondants doivent également être congruents. Ainsi, AC doit être égal à BC et le triangle ABC est donc un triangle isocèle.

Types de triangles isocèles

Il existe trois types de triangles isocèles à considérer, à savoir .

Isocèle aigu ;
Isocèle droit ;
Isocèle obtus.

Le tableau ci-dessous compare chacun de ces types de triangles isocèles.

Type de triangle isocèle	Diagramme	Description
Triangle isocèle aigu	Triangle isocèle aigu, StudySmarter Originals	Constitué de deux côtés égaux et d'un côté inégal. Les deux angles opposés aux côtés sont égaux. Si chacun des angles égaux est supérieur à ^45o et inférieur à ^90o, l'angle du sommet sera un angle aigu.
Triangle isocèle droit	Triangle isocèle droit, StudySmarter Originals	Constitué de deux côtés égaux : l'un d'eux sert de perpendiculaire et l'autre de base au triangle. Le troisième côté inégal sert d'hypoténuse au triangle. Si chacun des angles égaux est exactement de ^45o, alors l'angle du sommet est un angle droit. D'après le^théorème de Pythagoreh2= ^a2 + ^a2 =^2a2
Isocèle Obtus	Triangle isocèle obtus, StudySmarter Originals	Se compose de deux côtés égaux et d'un angle obtus. Si chacun des angles égaux est inférieur à ^45o, alors l'angle du sommet est un angle obtus.

Formules des triangles isocèles

Dans cette section, nous allons examiner trois formules importantes concernant les triangles isocèles, à savoir .

La hauteur d'un triangle isocèle ;
Le périmètre d'un triangle isocèle ;
L'aire d'un triangle isocèle.

La hauteur d'un triangle isocèle

La hauteur d'un triangle isocèle peut être trouvée en appliquant le théorème de Pythagore. Disons que nous avons le triangle isocèle ABC ci-dessous où les mesures d'une jambe a et de la base b sont données.

Hauteur d'un triangle isocèle, StudySmarter Originals

Nous savons que l'altitude (segment de droite CD) de l'angle du sommet coupe la base du triangle isocèle. Cela signifie que

$A D = B D = \frac{1}{2} b$ .

De plus, ADC et BDC sont des triangles rectangles dont a est l'hypoténuse. Ainsi, pour trouver la hauteur, il suffit d'adopter le théorème de Pythagore comme suit

id="5221559" role="math" $a^{2} = h^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2} \Rightarrow h^{2} = a^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2} \Rightarrow h = \sqrt{a^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2}}$

Le périmètre d'un triangle isocèle

Le périmètre d'un triangle isocèle est donné par la formule suivante.

$P = 2 a + b$

où a est la longueur des deux côtés égaux et b la base du triangle isocèle. Démontrons cela à l'aide d'un exemple concret.

Étant donné le triangle ci-dessous, calcule son périmètre.

Exemple 1, StudySmarter Originals

Solution

En utilisant la formule du périmètre, nous trouvons que le périmètre de ce triangle isocèle est le suivant

$P = 2 (9) + 7 \Rightarrow P = 25 u n i t s$

L'aire d'un triangle isocèle

Une fois que tu connais la hauteur d'un triangle isocèle, le calcul de la surface est un jeu d'enfant. La formule est la suivante

$A r e a = \frac{1}{2} \times b \times h$ ,

où b est la base et h la hauteur du triangle isocèle. Tu trouveras ci-dessous un exemple d'application de cette méthode.

Trouve l'aire d'un triangle isocèle dont la base est de 6 unités et le côté de 13 unités.

Solution

Commençons par faire un croquis de ce triangle isocèle. Construis une altitude à partir de l'angle du sommet de ce triangle isocèle jusqu'à la base.

Exemple 2, StudySmarter Originals

Nous savons que l'altitude coupe la base du triangle isocèle et crée deux triangles rectangles congruents. Puisque la base est de 6 unités, alors AD = BD = 3 unités. La hauteur est trouvée en appliquant le théorème de Pythagore comme suit

$13^{2} = h^{2} + 3^{2} \Rightarrow h^{2} = 13^{2} - 3^{2} \Rightarrow h = \sqrt{13^{2} - 3^{2}} \Rightarrow h = 4 \sqrt{10} u n i t s$

Maintenant que nous avons la hauteur du triangle isocèle, nous pouvons utiliser la formule de l'aire. Nous constatons que l'aire de ce triangle isocèle est la suivante

$A = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{10} \times 6 \Rightarrow A = 12 \sqrt{10} u n i t s^{2}$

Altitudes dans les triangles isocèles

Définissons maintenant l'altitude d'un triangle.

Une altitude est une ligne qui passe par le sommet d'un triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé.

Ne confonds pas ce terme avec celui de bissectrice perpendiculaire ! Une bissectrice perpendiculaire divise un segment en deux parties égales et est perpendiculaire à ce segment.

Maintenant que nous avons établi la définition d'une altitude, nous allons relier cette idée à notre sujet d'étude. Voici deux théorèmes qui établissent un lien entre l'altitude et les triangles isocèles.