Volume du cône: Formule, Calcul

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Dans cet article, tu comprendras ce qu'est un cône et des objets coniques, comment déterminer leur volume et des exemples d'application de cette démarche.

Qu'est-ce qu'un cône ?

Un cône est un solide tridimensionnel composé d'une base circulaire et d'une surface courbe continue qui se rétrécit jusqu'à une pointe appelée apex, ou sommet.

Quelques exemples d'objets de forme conique sont le cône de signalisation, les chapeaux de cônes d'anniversaire, les cônes de crème glacée, les carottes, etc.

Volume des cônes Une image de cônes de signalisation StudySmarter Une image decônes routiers -StudySmarter Original

Volume des cornets Image d'un cornet de glace StudySmarter Image d'un cône de crème glacée - StudySmarter Original

Types de cônes

Il existe deux types fondamentaux de cônes :

Les cônes circulaires droits qui ont leur sommet perpendiculaire ou juste au-dessus du centre de leur base.

Volume d'un cône Diagramme d'un cône StudySmarter

Illustration d'un cône circulaire droit - StudySmarter Original

Les cônes circulaires obliques - n'ont pas leur sommet au-dessus du centre de la base circulaire et ne sont donc pas perpendiculaires au centre.

Volume d'un cône Diagramme d'un cône circulaire oblique StudySmarter Illustration d'un cône circulaire oblique - StudySmarter Original

Dérivation du volume des cônes à partir du volume des cylindres

Le volume ou la capacité d'un cône est le tiers de son cylindre correspondant. Cela signifie que lorsqu'un cône et un cylindre ont la même dimension de base et la même hauteur, le volume du cône est un tiers du volume du cylindre. On peut donc obtenir un cône en divisant un cylindre en trois parties. Afin de visualiser cela, nous allons faire une petite expérience.

Expérience sur la dérivation des cônes à partir des cylindres

Tout d'abord, comprenons ce qui suit : Le volume d'un solide peut également être compris comme sa capacité. La capacité d' un solide est la quantité de liquide - nous pensons généralement à l'eau - qu'il peut contenir.

Passons maintenant à l'expérience. Elle peut être réalisée en suivant les étapes suivantes.

Étape 1. Procure-toi un cylindre ordinaire vide dont la hauteur et le rayon de la base circulaire sont connus.

Étape 2. Procure-toi un cône ordinaire vide dont la hauteur et le rayon sont identiques à ceux du cylindre.

Étape 3. Remplis le cône d'eau jusqu'au bord.

Étape 4. Verse toute l'eau du cône dans le cylindre vide et observe le niveau de l'eau dans le cylindre.

Note que le cylindre n'est pas encore rempli.

Étape 5. Répète les étapes 3 et 4 pour la deuxième fois sur le même cylindre qui contient déjà de l'eau. Remarque que le niveau de l'eau augmente mais que le cylindre n'est pas encore rempli à ras bord.

Étape 6. Répète les étapes 3 et 4 pour la troisième fois sur la même bouteille. Remarque que le cylindre est maintenant rempli à ras bord.

Cette expérience explique que tu as besoin de trois cônes pour faire un cylindre.

Volume des cônes Illustration de la relation entre un cône et un cylindre StudySmarter Illustration de la relation entre un cône et un cylindre - StudySmarter Original

Comment calculer le volume d'un cône ?

Le volume d'un cône est l'espace 3D qu'il occupe. C'est le nombre de cubes unitaires qu'il peut contenir.

Comme nous savons qu'un cône représente un tiers du cylindre correspondant, il est plus facile de calculer le volume d'un cône.

Nous rappelons que le volume d'un cylindre est le produit de la surface de sa base circulaire et de sa hauteur et qu'il est donné par ,

$V o l u m e_{C y l i n d e r} = π r^{2} \times h$ .

Ainsi, le volume d'un cône est le tiers du produit de l'aire de sa base circulaire et de sa hauteur.

$V o l u m e_{C o n e} = \frac{V o l u m e_{C y l i n d e r}}{3} = \frac{π r^{2} \times h}{3}$

Note que le volume d'un cône oblique se calcule avec la même formule que celui d'un cône droit régulier. Ceci est dû au principe de Cavalieri qui explique que le volume d'une forme solide est égal au volume de son objet oblique correspondant.

Le chapeau conique a un rayon de base de 7 cm et une hauteur de 8 cm. Trouve le volume du cône. Prends $π = 3.14$ .

Solution

Nous commençons par écrire les valeurs données $r = 7, h = 8 c m, π = 3.14 .$

Le volume du cône peut être calculé à l'aide de la formule,

$V o l u m e_{C o n e} = \frac{π r^{2} \times h}{3} = \frac{3.14 \times 7^{2} \times 8}{3} = \frac{1230.88}{3} = 410.29 c m^{3}$

Comment calculer le volume d'un cône sans hauteur connue ?

Il arrive que l'on nous demande de trouver le volume de cônes dont la hauteur n'est pas connue. Dans ce cas, nous devons rechercher soit une hauteur oblique connue, soit un angle connu. Si la hauteur oblique est connue, tu peux utiliser le théorème de Pythagore pour la calculer. Soit donc l la hauteur oblique,

l^{2} = r^{2} + h^{2} \Rightarrow h = \sqrt{l^{2} - r^{2}}

Le théorème de Pythagore ne s'applique que lorsque le rayon r et la hauteur oblique l sont donnés, mais que la hauteur n'est pas donnée.

Volume des cônes Toute l'illustration sur le calcul d'un cône avec un angle sous-tendu au sommet StudySmarter Illustration d'un cône avec un angle soustendu au sommet - StudySmarter Original

Lorsqu'un angle est donné, on applique la méthode SOHCAHTOA pour obtenir la valeur de la hauteur. Si l'angle au sommet est donné, alors la moitié de cet angle est utilisée pour trouver la hauteur. Ainsi ;

\tan \frac{θ}{2} = \frac{r}{h} h = \frac{r}{\tan \frac{θ}{2}}

où ;

θ est l'angle au sommet,

l est la hauteur oblique du cône,

h est la hauteur du cône,

r est le rayon de base du cône.

Volume du tronc de cône

Le fruste d'un cône ou d'un tronc de cô ne a la pointe (sommet) coupée. C'est la forme de la plupart des seaux.

Volume des cônes Illustration de la formation d'un tronc d'arbre à partir d'un cône StudySmarter Illustration de la formation d'un tronc de cône - StudySmarter Original

Pour calculer le volume d'un tronc d'arbre, on utilise la proportion. Un tronc a deux rayons - un rayon pour la plus grande surface circulaire et un autre rayon pour la plus petite surface circulaire.

Volume des cônes Une image montrant la dérivation du volume d'un cône StudySmarter Image montrant le calcul du volume d'un tronc d'arbre - StudySmarter Original

Soit R le rayon de la plus grande surface circulaire et r le rayon de la plus petite surface circulaire. Soit hf_lahauteur du tronc, et H la hauteur du cône une fois terminé. Enfin, hc_estla hauteur du petit cône qui a été coupé pour former le tronc.

Par conséquent, tout en utilisant la proportion, nous avons ,

$\frac{R}{r} = \frac{H}{h_{c}}$

Le volume du tronc est égal à la différence entre le volume du grand cône et le volume du petit cône coupé.

$V o l u m e_{f r u s t u m} = V o l u m e_{b i g c o n e} - V o l u m e_{s m a l l c u t c o n e}$

Mais,

$V o l u m e_{b i g c o n e} = \frac{1}{3} π R^{2} H, V o l u m e_{s m a l l c o n e} = \frac{1}{3} π r^{2} h_{c}$

Ainsi, le volume du tronc est de

$V o l u m e_{f r u s t u m} = \frac{1}{3} π R^{2} H - \frac{1}{3} π r^{2} h_{c}$

Calcule le volume du tronc d'arbre ci-dessous

Volume d'un cône Diagramme d'un cône StudySmarter

Solution

Nous écrivons les valeurs données,

$R = 20 c m \div 2 = 10 c m r = 8 c m \div 2 = 4 c m h_{f} = 15 c m$

Nous devons trouver la hauteur du cône plein $H$ et la hauteur du petit cône $h_{c}$ ;

$H = h_{f} + h_{c} H = 15 + h_{c}$

en utilisant les proportions ;

$\frac{R}{r} = \frac{H}{h_{c}}$

Rappelle-toi que ;

$H = 15 + h_{c} \frac{10}{4} = \frac{15 + h_{c}}{h_{c}} 10 \times h_{c} = 4 (15 + h_{c}) 10 h_{c} = = 60 + 4 h_{c} 10 h_{c} - 4 h_{c} = 606 h_{c} = 60 \frac{6 h_{c}}{6} = \frac{60}{6} h_{c} = 10 c m$

Et ainsi de suite,

$H = 15 + h_{c} H = 15 + 10 = 25 c m V o l u m e o f b i g c o n e = \frac{1}{3} π R^{2} H = = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 10^{2} \times 25 = \frac{55000}{21} = 2619.05 c m^{3}$

Utilise les proportions ;

$\frac{R}{r} = \frac{V o l u m e o f b i g c o n e}{V o l u m e o f s m a l l c o n e} \frac{10}{4} = \frac{2619.05}{V o l u m e o f s m a l l c o n e} 10 \times V o l u m e o f s m a l l c o n e = 4 \times 2619.05 V o l u m e o f s m a l l c o n e = \frac{4 \times 2619.05}{10} V o l u m e o f s m a l l c o n e = 1047.62 c m^{3}$

Rappelle-toi que ;

$V o l u m e o f f r u s t u m = V o l u m e o f b i g c o n e - V o l u m e o f s m a l l c o n e V o l u m e o f f r u s t u m = 2619.05 - 1047.62 V o l u m e o f f r u s t u m = 1571.43 c m^{3}$

Un cylindre a un rayon $4.2 c m$ et une hauteur $10 c m$ . Si un entonnoir conique ayant le même sommet circulaire et la même hauteur était placé dans le cylindre, trouve le volume de l'entonnoir.

Solution

$V o l u m e o f a c y l i n d e r = π r^{2} h V o l u m e o f c y l i n d e r = \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2 \times 10 V o l u m e o f c y l i n d e r = 554.4 c m^{3}$

On nous dit que le cône a la même hauteur et le même sommet circulaire que ceux du cylindre. Cela signifie que le volume du cône est un tiers du volume du cylindre.

$V o l u m e o f a c o n e = \frac{1}{3} \times v o l u m e o f a c y l i n d e r V o l u m e o f a c o n e = \frac{1}{3} \times 554.4 V o l u m e o f a c o n e = 184.8 c m^{3}$

Volume d'un cône - Points clés

Un cône est un solide tridimensionnel composé d'une base circulaire et d'une surface courbe continue qui se rétrécit jusqu'à une pointe appelée sommet.
Les deux types de cônes sont le cône circulaire droit et le cône circulaire oblique.
Un cône est le tiers d'un cylindre.
Le volume d'un cône est égal au tiers de la surface de la base circulaire multipliée par sa hauteur.
Le tronc de cône ou le cône tronqué a la pointe coupée.

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Questions fréquemment posées en Volume du cône

Comment calculer le volume d'un cône ?

Pour calculer le volume d'un cône, utilisez la formule V = (1/3)πr²h, où r est le rayon de la base et h est la hauteur.

Quelle est la formule du volume d'un cône ?

La formule pour trouver le volume d'un cône est V = (1/3)πr²h.

Qu'est-ce que le rayon dans la formule du volume du cône ?

Le rayon (r) dans la formule est la distance du centre de la base circulaire au bord.

La base du cône doit-elle être circulaire pour utiliser la formule du volume ?

Oui, la base du cône doit être circulaire pour que la formule V = (1/3)πr²h soit appliquée.

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