Qu'est-ce qu'une base de logarithme?

Une base de logarithme est le nombre constant à partir duquel on calcule les logarithmes, souvent notée 'b' dans log_b(x).

Comment changer la base d'un logarithme?

Changer la base d'un logarithme s'effectue avec la formule: log_b(x) = log_k(x) / log_k(b), où k est la nouvelle base.

Quelle est la base la plus couramment utilisée pour les logarithmes?

La base la plus couramment utilisée est 10 (logarithme décimal) ou e (logarithme naturel).

Pourquoi utilise-t-on les logarithmes?

On utilise les logarithmes pour simplifier les calculs de grande échelle et résoudre des équations exponentielles.

What is Investigating Base de logarithme?

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Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.

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Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.

Le logarithme est un exposant qui définit combien de fois un nombre peut être multiplié pour obtenir un autre nombre. C'est la puissance à laquelle un nombre (la base) est élevé pour obtenir un autre nombre. Lorsque l'on parle de logarithme, il y a des termes dont tu dois te souvenir et que tu dois être capable d'identifier, comme l'exposant et la base.

Nous allons nous concentrer sur les bases des logarithmes. Nous devrions donc être capables d'identifier une basea> lorsque nous la voyons. Familiarisons-nous avec la formule de basea> associée aux logarithmes, puis identifions la basea>.

$b^{y} = X$

b est la base, y est l'exposant auquel la base est élevée et X est le résultat obtenu.

Cette formule s'écrit aussi comme suit : $\log_{b} (X) = y$

où log est l'abréviation de logarithme.

Si tu as $2^{3} = 8$ 2 est la base, 3 est l'exposant et 8 est le résultat obtenu. Il peut aussi s'écrire $\log_{2} 8 = 3$ . Si nous sommes capables d'identifier la base dans une expression logarithmique, nous pouvons en déduire la signification d'une base.

Signification de la base du logarithme

La base du logarithme est l'indice du symbole du logarithme (log). Tu peux dire que c'est le nombre qui porte ou augmente l'exposant selon la forme de l'expression ( $b^{y} = X$ ou $\log_{b} (X) = y$ ). Prenons quelques exemples pour renforcer notre compréhension de l'identification d'une base.

Identifie la base dans les exemples suivants.

$\log_{3} 9 = 2$
$5^{4} = 625$

Solution

La base est ici 3. C'est l'indice du symbole logarithmique log.
La base est ici 5. C'est le nombre qui augmente l'exposant 4.

Les formes populaires de logarithmes sont le logarithme commun et le logarithme naturel. Le logarithme commun est en base 10 et s'écrit $\log_{10}$ ou simplement $\log$ et le logarithme naturel est en base e et s'écrit $\log_{e}$ ou $\ln$ . Pour résoudre les logarithmes communs en base 10, il est préférable d'utiliser une calculatrice. La calculatrice dispose d'un bouton logarithme qui te donnera la réponse. Tu peux essayer de le faire sans calculatrice si les nombres sont petits et faciles à calculer, mais dans le cas contraire, tends la main pour obtenir ta calculatrice.

Donne les réponses aux questions suivantes.

$\log (1000)$
$\log (20)$
$\log (8)$

Solution
Nous pouvons voir que les questions sont toutes en base 10.
a. Tu peux obtenir la réponse à

\log (1000)

en utilisant ta calculatrice. Il te suffit d'appuyer sur le bouton log et de taper 1000 pour obtenir la réponse.

\log 1000 = 3

Cela signifie que si tu multiplies 10 à trois endroits, tu obtiens 1000, c'est-à-dire $10^{3}$ .

Il est également possible de faire cela sans calculatrice car nous pouvons calculer que

10^{3}

= 1000.

b. log 20 = 1,3010

c. log 8 = 0,9031

Pour le logarithme naturel en base e, on appelle e le nombre d'Euler qui vaut 2,71828. Lorsque tu veux résoudre ce problème, tu utilises le bouton $\ln$ de ta calculatrice pour obtenir la réponse.

Voyons d'autres exemples.

Donne les réponses aux questions suivantes

a. $\log_{e} 7.3$

b. $\ln (25)$

c. $\log_{e} 33.98$

Solution

Pour obtenir la réponse à $\log_{e} 7.3$ tu auras besoin d'une calculatrice. Tu devras appuyer sur la touche $\ln$ de la calculatrice, puis sur 7,3. La réponse apparaîtra ensuite.

$\log_{e} 7.3 = 1.9878$

b. En utilisant une calculatrice, $\ln (25) = 3.2188$

c. En utilisant une calculatrice, $\log_{e} (33.98) = 3.5257$

Outre le logarithme commun et le logarithme naturel de base 10 et e, les logarithmes peuvent également avoir n'importe quelle base. La base peut être un nombre quelconque. Par exemple $\log_{7} (56)$ , $\log_{2} (4) + \log_{6} (8)$ et $\log (100) - \log_{2} (10)$ sont des logarithmes ayant des bases différentes.

Résoudre des logarithmes avec différentes bases

Lorsque tu as des logarithmes avec des bases différentes, cela signifie que tu as une équation ou une expression logarithmique dont les bases sont des nombres différents. La façon de procéder est d'utiliser une formule appelée formule de changement de base . Le but ici est de rendre les différentes bases égales. De cette façon, tu pourras obtenir une solution facilement. Voyons à quoi ressemble la formule de changement de base.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (b)}$

Les règles logarithmiques que nous utiliserions normalement sont les mêmes règles pour résoudre une base logarithmique. Voyons quelques-unes de ces règles.

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$
$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$
$\log_{b} (x^{n}) = n \log_{b} (x)$
$\log_{b} (x) = \log_{b} (y) \Leftrightarrow x = y$

Nous avons besoin de ces formules pour nous aider car nos calculatrices ne peuvent résoudre les logarithmes qu'en base "10" et en base "e". Voyons comment la formule de changement de base est utilisée dans les exemples suivants.

Simplifier $y = \log_{2} (20)$

Solution

La première chose à faire est de changer de base en utilisant la formule de changement de base. Tu peux changer la base pour n'importe quel nombre, y compris la base 10 et le logarithme naturel e. Tu dois juste t'assurer qu'il s'agit de la même base. En procédant ainsi, nous aurons :

$\log_{2} (20) = \frac{\log_{10} (20)}{\log_{10} (2)}$

Nous utiliserons une calculatrice pour résoudre le numérateur et le dénominateur afin d'obtenir :

$\frac{\log_{10} (20)}{\log_{10} (2)} = \frac{1.3010}{0.3010} = 4.32$

Voyons d'autres exemples.

Résoudre $\log_{3} (x) = \log_{9} (4)$

Solution

Tu remarqueras qu'il s'agit de bases différentes, nous allons donc utiliser la formule de changement de base. Nous pouvons changer les deux bases en 3 ou en 9 et tu obtiendras toujours la même réponse. N'oublie pas que le but est simplement de s'assurer que les deux bases sont égales.

Nous allons utiliser la formule de changement de base sur le côté droit. Cela signifie que nous changeons les bases en 3.

$\log_{3} (x) = \frac{\log_{3} (4)}{\log_{3} (9)} \log_{3} (x) = \frac{\log_{3} (4)}{\log_{3} (3^{2})}$

Il existe une loi du logarithme de la forme $\log_{b} (b^{n}) = n$ . Nous appliquerons cette loi au dénominateur présent et nous aurons :

$\log_{b} (b^{n}) = n \log_{3} {(3)}^{2} = 2$

Nous mettrons le résultat "2" dans l'équation et nous continuerons à résoudre.

$\log_{3} (x) = \frac{\log_{3} (4)}{2} \log_{3} (x) = \frac{1}{2} \log_{3} (4)$

Il existe une autre loi logarithmique sous la forme $\log_{a} (x^{n}) = n \log_{a} (x)$ . Si nous l'appliquons, nous obtiendrons :

$\log_{3} (x) = \log_{3} (4^{\frac{1}{2}}) \log_{3} (x) = \log_{3} (2)$

En utilisant la règle selon laquelle si $\log_{b} (x) = \log_{b} (y)$ alors $x = y$ notre réponse finale sera: :

$x = 2$

Résoudre $\log_{9} (4) + \log_{3} (x) = 3$

Solution

La première chose à faire est de rendre les bases identiques. Nous pouvons choisir de les rendre toutes les deux 9 ou 3. Dans les deux cas, nous arriverons à la même réponse. Faisons en sorte qu'elles soient toutes les deux de 3.

La formule de changement de base est la suivante : $\log_{b} (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (b)}$

Nous allons utiliser la formule de changement de base sur le premier terme de l'expression et nous obtiendrons :

$\frac{\log_{3} (4)}{\log_{3} (9)} + \log_{3} (x) = 3$

Si tu observes, tu verras que tu peux simplifier le dénominateur avec une calculatrice ou manuellement. Tu peux dire que le résultat est 2 parce que 3 au carré est 9. Nous aurons donc maintenant :

$\frac{\log_{3} (4)}{2} + \log_{3} (x) = 3$

Multiplions chaque terme par 2

$\log_{3} (4) + 2 \log_{3} (x) = 6$

Nous pouvons utiliser la règle du logarithme des puissances sur la deuxième expression qui est $\log_{b} (x^{n}) = n \log_{b} (x)$

Nous aurons alors $\log_{3} (4) + \log_{3} (x^{2}) = 6$

Nous pouvons utiliser la règle de l'addition ici, qui est $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$

Par conséquent $\log_{3} (4 x^{2}) = 6$

Nous allons maintenant prendre l'anti log pour obtenir

$4 x^{2} = 3^{6}$

Ce que nous avons simplifié ici, c'est d'élever la base 3 à la puissance 6.

La prochaine et dernière étape consiste à trouver x

$x^{2} = \frac{3^{6}}{4}$

Prends la racine carrée des deux côtés

$\sqrt{x^{2}} = \sqrt{\frac{3^{6}}{4}} \sqrt{x^{2}} = \frac{27}{2} x = \frac{27}{2} = 13.5$

Les logarithmes sont parfois exprimés sous forme de graphique et la base de la fonction logarithmique peut affecter le résultat du graphique. Ce qui se passe, c'est que plus la base est grande, plus la courbe est petite. En d'autres termes, plus la base est grande, plus la courbe se rapproche de l'axe des ordonnées.

Prenons un exemple

Trace les expressions logarithmiques et observe le tracé.

$y = \log_{2} (x)$ et $y = \log_{10} (x)$

Solution

Ce qu'il faut faire, c'est dresser un tableau pour les deux expressions et tracer le graphique.

Pour $y = \log_{2} (x)$

x	y
1	0
2	1
4	2

Pour $y = \log_{10} (x)$

x	y
1	0
2	0.3
4	0.6

Nous allons maintenant tracer le graphique

Tu peux voir que $y = \log_{10} (x)$ est plus proche de l'axe des y.

Bases des logarithmes - Points clés à retenir

La base du logarithme est soit l'indice du symbole du logarithme (log), soit le nombre qui porte ou augmente l'exposant selon la forme de l'expression ( $b^{y} = X$ ou $\log_{b} (X) = y$ ).
Pour résoudre des logarithmes ayant des bases différentes, tu utilises la formule de changement de base, qui est la suivante $\log_{b} (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (b)}$
Plus la base du logarithme est grande, plus la courbe sur le graphique est petite. En d'autres termes, plus la base est grande, plus la courbe se rapproche de l'axe des ordonnées.

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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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