Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Un agriculteur se promène dans son champ, dont la forme est un cercle - une forme que nous connaissons tous et qui apparaît presque partout dans la nature. Il commence à marcher sur sa frontière à partir d'un point, se maintient sur la frontière et revient au point de départ.
Il veut savoir quelle distance il a parcourue. La seule information sur le champ dont il a connaissance est le rayon du champ (la distance la plus courte entre le centre du champ et sa limite).
Il prévoit de faire pousser des cultures dans le champ et veut acheter la quantité appropriée de pesticides et de cultures pour cela. Mais il a besoin de connaître la superficie de son champ circulaire pour acheter les choses mentionnées ci-dessus. Là encore, la seule information dont il dispose est le rayon du champ. Comment peut-il déterminer la superficie du champ ? Voilà quelques utilisations fondamentales de certaines propriétés du cercle. Explorons cette figure intrigante et ses propriétés.
Nous rencontrons de nombreux types de formes dans la nature ; la forme la plus symétrique que nous puissions imaginer est le cercle. Il est défini comme suit :
Un cercle est la collection de l'ensemble de tous les points équidistants d'un point donné.
Fig. 1. Un cercle dont le centre est \(O\) et sur lequel se trouve un point arbitraire \(P\).
Un cercle fait partie des sections coniques, telles que la parabole, l'ellipse et l'hyperbole. Imagine un cône droit ; si on le coupe de façon à ce qu'il soit parallèle à sa base, la section transversale formée est un cercle. Bien que le cercle soit principalement connu pour ses propriétés symétriques, il est important de se rappeler sa définition en tant que partie de la section conique.
Considère un point sur le plan cartésien, qui a une coordonnée x, h, et une coordonnée y, k, l'ensemble de tous les points équidistants du point donné formera un cercle. Ce point fixe est appelé centre du cercle.
Soit un autre point arbitraire avec les coordonnées x et y. Soit r la distance entre le point donné et le point arbitraire. C'est ce qu'on appelle le rayon du cercle.
Le rayon d' un cercle est la distance entre le centre du cercle et n'importe quel point du cercle.
Pour comprendre ce qu'est le rayon, nous devons savoir ce qu'est le diamètre. Pour comprendre le diamètre, nous devons définir une autre quantité, connue sous le nom de corde d' un cercle. En termes rigoureux, elle est définie comme suit :
La corde d'un cercle est un segment de droite qui joint deux points distincts du cercle.
On peut en effet construire une infinité de cordes sur un cercle. À partir de la définition de la corde, nous pouvons maintenant définir le diamètre d'un cercle :
Le diamètre d'un cercle est la corde qui passe par le centre du cercle.
La forme générale de l'équation d'un cercle est la suivante
$$r=\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}$$
En élevant les deux côtés au carré, on obtient
$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$
Ici, \((h,k)\) est le centre du cercle et \(r\) est le rayon.
Tout à l'heure, nous avons vu le fermier faire le tour de son champ et nous avons voulu mesurer la distance qu'il avait parcourue. Il ne s'agit de rien d'autre que de la circonférence d'un cercle.
Lacirconférence d'un cercle est la distance autour d'un cercle. C'est juste un autre mot pour désigner le périmètre d'un cercle.
Si tu dessines un cercle et que tu le traces à partir d'un point et que tu t'arrêtes au même point après un tour, la distance que tu as esquissée est la circonférence de ce cercle.
Pour trouver la circonférence d'un cercle, le concept de pi \(\pi\) est essentiel.
Tous les cercles que l'on peut dessiner ont, à la base, une propriété commune. Cette propriété ou caractéristique est à l'origine de pi.
Le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est connu sous le nom de pi (\(\pi\)).
Le rayon et la circonférence d'un cercle ont la relation suivante :
$$\pi=\dfrac{C}{2r}$$
où \(C\) représente la circonférence du cercle et r son rayon. On rappelle que le diamètre est le double du rayon. C'est ainsi qu'à partir de la définition de pi, on obtient la formule de la circonférence d'un cercle :
$$C=2\pi r$$
Pi est un nombre irrationnel, approximativement donné par \(3.14159265...\) et il ne se termine jamais. Mais pour faciliter les calculs, on l'approxime par \(3.14\) ou par la fraction \(\dfrac{22}{7}\).
Pour aider l'agriculteur à estimer la quantité de pesticides et de cultures dont il aura besoin pour son champ, nous allons parler de l'aire d'un cercle.
L' aire d'un cercle est la région occupée par un cercle dans un plan à deux dimensions.
L'aire d'un cercle peut être calculée en coupant le cercle en petits morceaux comme suit.
Fig. 2. Un cercle décomposé en morceaux pour former un rectangle approximatif.
Si nous cassons le cercle en petits morceaux triangulaires (comme celui d'une part de pizza) et que nous les assemblons de façon à former un rectangle, il se peut qu'il ne ressemble pas à un rectangle exact. Mais si nous découpons le cercle en tranches suffisamment fines, nous pouvons nous rapprocher d'un rectangle.
Observe que nous avons divisé les tranches en deux parties égales et que nous les avons colorées en bleu et en jaune pour les différencier. Par conséquent, la longueur du rectangle formé sera la moitié de la circonférence du cercle qui sera \(\pi\contre r\c). Et la largeur sera la taille de la tranche, qui est égale au rayon du cercle, \(r\).
Nous avons fait cela parce que nous avons la formule pour calculer la surface d'un rectangle : la longueur multipliée par la largeur. Ainsi, nous avons
$$A=(\pi\times r)\times r$$
$$A=\pi r^2$$
Verbalement, l'aire d'un cercle de rayon \(r\) est égale à \(\pi\) fois le rayon au carré. Les unités de surface sont donc \(\text{cm}^2, \text{m}^2\) ou \((\text{n'importe quelle unité de longueur})^2\).
Tu trouveras plus de détails dans notre article sur l'aire des cercles.
Les cercles sont de différents types, qui sont uniquement liés les uns aux autres. Ces cercles sont classés en trois types, comme suit :
Imagine deux cercles - il n'est pas nécessaire qu'ils soient congruents et ils peuvent se croiser d'une infinité de façons. Mais ils se croisent d'une manière unique lorsqu'ils se coupent en un seul et unique point. De tels cercles sont connus sous le nom de cercles tangents.
Si deux cercles se croisent en un seul point, on dit que ce sont des cercles tangents.
Ils se présentent comme suit :
Fig. 3. Les cercles tangents se croisent en un seul point.
Comme le montre le schéma ci-dessus, deux cercles se coupent en un seul point, ce qui en fait des cercles tangents.
Le mot "concentrique" signifie "qui a un centre", ce qui nous amène à la définition suivante.
Deux cercles ou plus qui partagent le même centre sont appelés cercles concentriques.
Contrairement aux cercles tangents, où les cercles se croisent en un seul et unique point, les cercles concentriques ont la propriété unique de ne jamais se croiser. Les cercles concentriques ressemblent à ceci :
Fig. 4. Les cercles concentriques partagent le même point central et ne se croisent jamais.
En ce qui concerne l'équation de ces cercles, puisque le centre reste le même, les équations ne diffèrent qu'en termes de rayon.
Dessine un cercle et duplique-le, tu obtiens deux cercles congruents.
On dit que deux cercles sont congruents s'ils sont identiques en tout point, c'est-à-dire qu'ils sont identiques.
Il n'y a pas grand-chose à dire sur les cercles congruents, si ce n'est qu'ils sont identiques et qu'il n'est pas nécessaire qu'ils existent à un endroit précis sur un plan cartésien. Voici un diagramme qui montre à quoi ressemblent deux cercles identiques :
Fig. 5. Deux cercles congruents.
Voyons quelques exemples !
Trouve le rayon d'un cercle dont la circonférence est \(45\text{ cm}\). ( Prends \(\pi=3.14\)).
Solution :
En utilisant la formule de la circonférence d'un cercle :
$$C=2\pi r$$
En substituant pour \(C\) et \(\pi\) nous obtenons,
$$r=\dfrac{C}{2\pi}$$
$$r=\dfrac{45}{2\times 3.14}$$
$$r=7.165\text{ cm}$$$.
Le rayon est donc \(7,165\text{ cm}\).
Le rayon d'un étang circulaire est de \(20\) mètres. Trouve la circonférence de l'étang dans les unités appropriées. Prends \(\pi=3.14\).
Solution :
Le rayon est donné par \(r=20\text{ m}\), en l'introduisant dans la formule de la circonférence, nous obtenons
\[\begin{align}C&=2\pi r=\\&=2(3.14)(20)=\\&=125.6\text{ m}\end{align}\]
Par conséquent, la circonférence de l'étang circulaire est de \(125,6\) mètres.
Le périmètre d'un bol circulaire est mesuré à l'aide d'un ruban à mesurer et s'avère être \(30\text{ cm}\). Mais au bout d'un certain temps, le ruban est perdu, mais le rayon du bol n'a toujours pas été mesuré. Comment pouvons-nous déterminer le rayon du bol sans le ruban ? Prends \(\pi=3.14\).
Solution :
Nous pouvons utiliser la formule de la circonférence, car elle relie directement le rayon à la circonférence,
$$C=2\pi r$$
Ainsi, nous avons
\[\begin{align}r&=\dfrac{C}{2\pi}=\\&=\dfrac{30}{2(3.14}=\\&\approx 4.78\text{ cm}\end{align}\]
Le rayon du bol est donc de \(4,78\text{ cm}\), arrondi à la deuxième décimale.
Le rayon d'une table circulaire est donné par le fabricant comme étant \(50\text{ cm}\). Une nappe doit être fabriquée pour elle, on demande donc sa surface. Quelle est l'aire de la table ?
Solution :
Le rayon est \(50\text{ cm}\) : \N(r=50\text{ cm}\N).
En utilisant la formule de l'aire d'un cercle, on obtient
\[\begin{align} A&=\pi r^2=\\&=(3.14)(50)^2=\\&=(3.14)(2500)=\\&=7850\text{ cm}\end{align}\]
Par conséquent, la surface de la table circulaire de rayon \(50\text{ cm}\) est \(7850\text{ cm}^2\).
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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