Cercles

Définitions des cercles en mathématiques

Nous rencontrons de nombreux types de formes dans la nature ; la forme la plus symétrique que nous puissions imaginer est le cercle. Il est défini comme suit :

Fig. 1. Un cercle dont le centre est \(O\) et sur lequel se trouve un point arbitraire \(P\).

Un cercle fait partie des sections coniques, telles que la parabole, l'ellipse et l'hyperbole. Imagine un cône droit ; si on le coupe de façon à ce qu'il soit parallèle à sa base, la section transversale formée est un cercle. Bien que le cercle soit principalement connu pour ses propriétés symétriques, il est important de se rappeler sa définition en tant que partie de la section conique.

Considère un point sur le plan cartésien, qui a une coordonnée x, h, et une coordonnée y, k, l'ensemble de tous les points équidistants du point donné formera un cercle. Ce point fixe est appelé centre du cercle.

Soit un autre point arbitraire avec les coordonnées x et y. Soit r la distance entre le point donné et le point arbitraire. C'est ce qu'on appelle le rayon du cercle.

Pour comprendre ce qu'est le rayon, nous devons savoir ce qu'est le diamètre. Pour comprendre le diamètre, nous devons définir une autre quantité, connue sous le nom de corde d' un cercle. En termes rigoureux, elle est définie comme suit :

On peut en effet construire une infinité de cordes sur un cercle. À partir de la définition de la corde, nous pouvons maintenant définir le diamètre d'un cercle :

L'équation d'un cercle

La forme générale de l'équation d'un cercle est la suivante

$$r=\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}$$

En élevant les deux côtés au carré, on obtient

$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$

Ici, \((h,k)\) est le centre du cercle et \(r\) est le rayon.

Circonférence d'un cercle

Tout à l'heure, nous avons vu le fermier faire le tour de son champ et nous avons voulu mesurer la distance qu'il avait parcourue. Il ne s'agit de rien d'autre que de la circonférence d'un cercle.

Si tu dessines un cercle et que tu le traces à partir d'un point et que tu t'arrêtes au même point après un tour, la distance que tu as esquissée est la circonférence de ce cercle.

Équation de la circonférence d'un cercle

Pour trouver la circonférence d'un cercle, le concept de pi \(\pi\) est essentiel.

Tous les cercles que l'on peut dessiner ont, à la base, une propriété commune. Cette propriété ou caractéristique est à l'origine de pi.

Le rayon et la circonférence d'un cercle ont la relation suivante :

$$\pi=\dfrac{C}{2r}$$

où \(C\) représente la circonférence du cercle et r son rayon. On rappelle que le diamètre est le double du rayon. C'est ainsi qu'à partir de la définition de pi, on obtient la formule de la circonférence d'un cercle :

$$C=2\pi r$$

L'aire d'un cercle

Pour aider l'agriculteur à estimer la quantité de pesticides et de cultures dont il aura besoin pour son champ, nous allons parler de l'aire d'un cercle.

Équation de l'aire d'un cercle

L'aire d'un cercle peut être calculée en coupant le cercle en petits morceaux comme suit.

Fig. 2. Un cercle décomposé en morceaux pour former un rectangle approximatif.

Si nous cassons le cercle en petits morceaux triangulaires (comme celui d'une part de pizza) et que nous les assemblons de façon à former un rectangle, il se peut qu'il ne ressemble pas à un rectangle exact. Mais si nous découpons le cercle en tranches suffisamment fines, nous pouvons nous rapprocher d'un rectangle.

Observe que nous avons divisé les tranches en deux parties égales et que nous les avons colorées en bleu et en jaune pour les différencier. Par conséquent, la longueur du rectangle formé sera la moitié de la circonférence du cercle qui sera \(\pi\contre r\c). Et la largeur sera la taille de la tranche, qui est égale au rayon du cercle, \(r\).

Nous avons fait cela parce que nous avons la formule pour calculer la surface d'un rectangle : la longueur multipliée par la largeur. Ainsi, nous avons

$$A=(\pi\times r)\times r$$

$$A=\pi r^2$$

Verbalement, l'aire d'un cercle de rayon \(r\) est égale à \(\pi\) fois le rayon au carré. Les unités de surface sont donc \(\text{cm}^2, \text{m}^2\) ou \((\text{n'importe quelle unité de longueur})^2\).

Types de cercles

Les cercles sont de différents types, qui sont uniquement liés les uns aux autres. Ces cercles sont classés en trois types, comme suit :

Cercles tangents

Imagine deux cercles - il n'est pas nécessaire qu'ils soient congruents et ils peuvent se croiser d'une infinité de façons. Mais ils se croisent d'une manière unique lorsqu'ils se coupent en un seul et unique point. De tels cercles sont connus sous le nom de cercles tangents.

Ils se présentent comme suit :

Fig. 3. Les cercles tangents se croisent en un seul point.

Comme le montre le schéma ci-dessus, deux cercles se coupent en un seul point, ce qui en fait des cercles tangents.

Cercles concentriques

Le mot "concentrique" signifie "qui a un centre", ce qui nous amène à la définition suivante.

Contrairement aux cercles tangents, où les cercles se croisent en un seul et unique point, les cercles concentriques ont la propriété unique de ne jamais se croiser. Les cercles concentriques ressemblent à ceci :

Fig. 4. Les cercles concentriques partagent le même point central et ne se croisent jamais.

En ce qui concerne l'équation de ces cercles, puisque le centre reste le même, les équations ne diffèrent qu'en termes de rayon.

Cercles congruents

Dessine un cercle et duplique-le, tu obtiens deux cercles congruents.

Il n'y a pas grand-chose à dire sur les cercles congruents, si ce n'est qu'ils sont identiques et qu'il n'est pas nécessaire qu'ils existent à un endroit précis sur un plan cartésien. Voici un diagramme qui montre à quoi ressemblent deux cercles identiques :

Fig. 5. Deux cercles congruents.

Exemples de cercles en mathématiques

Voyons quelques exemples !