Croissance et Décroissance

Qu'est-ce que la croissance et la décroissance exponentielles ?

Comment identifier la croissance exponentielle et la décroissance exponentielle ?

La croissance et la décroissance exponentielles peuvent être distinguées l'une de l'autre ou identifiées mathématiquement.

Si tu considères la formule générale :

$\mathrm{y}={\mathrm{ab}}^{\mathrm{x}}$

Lorsque a est une valeur positive et que 'b' est la base supérieure à 1, il s'agit alors d'une croissance exponentielle. Par exemple :

$2^{\mathrm{x}}$ note que b = 2, et 2> 1.

ou

$4\left(3^{\mathrm{x}}\right)$ note que b = 3, et 3> 1

Parallèlement, lorsque a est positif et que 'b' est inférieur à 1, alors il s'agit d'une décroissance exponentielle. Par exemple :

$0.2^{\mathrm{x}}$ note que b = 0,2, et 0,2 <1

ou

$5(0.3^{\mathrm{x}})$ note que b = 0,3, et 0,3 <1

Note que dans les cas où a est négatif, il ne s'agit ni d'une croissance ni d'une décroissance exponentielle.

Exemples d'équations exponentielles

Graphiques de croissance exponentielle et de décroissance

L'introduction des graphiques dans la croissance et la décroissance exponentielles montre à quoi ressemble la croissance ou la décroissance. Dans les deux cas, tu choisis une plage de valeurs, par exemple de -4 à 4. Ces valeurs seront reportées sur l'axe des x ; les valeurs y respectives seront calculées à l'aide de l'équation exponentielle.

N'oublie pas non plus que la valeur b de l'équation exponentielle détermine s'il s'agit d'une croissance ou d'une décroissance. Pour b > 1, il s'agit d'une croissance ; et pour b <1, il s'agit d'une décroissance. Pour t'aider à t'en souvenir, la valeur b est en gras dans toutes les équations.

Exemples de graphiques de croissance et de décroissance exponentielles

Exemple 1 :

Trace le graphique de l'équation exponentielle. $y=3^x$

Solutions :

N'oublie pas de choisir une plage de valeurs pour tes coordonnées x comme -4 à 4 dans ce cas.

Nous devons donc trouver la valeur de y. Rappelle-toi que $y=3^x$

Lorsque x = -4

$y=3^{-4}$

$y=\frac{1}{3^4}$ (note que les indices, un exposant avec un signe négatif donne l'inverse de l'expression $3^4$ )

y = 1/81

Répète cette étape pour les valeurs x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 et 4 et ta réponse sera 1/27, 1/9, 1/3, 1, 3, 9 , 27 et 81.

Tu peux maintenant compléter ton tableau :

Tu peux voir que les valeurs y augmentent de la gauche vers la droite du tableau. Cela signifie qu'il y a eu une croissance. Continue à tracer le graphique ci-dessous :

Un graphique de croissance exponentielle pour b> 1

D'après le graphique de croissance exponentielle, on peut observer ce qui suit :

Le graphique augmente fortement lorsque la valeur de x devient positive.

Il n'y a pas d'ordonnée à l'origine car la courbe ne croise pas l'axe des x même si les valeurs de y se rapprochent de l'axe des x.

La courbe coupe l'axe des ordonnées à 1. L'ordonnée à l'origine est donc 1 (où la valeur x est 0).

Exemple 2 :

Trace le graphique de l'équation exponentielle $\mathrm{y}=\frac{1}{3^{\mathrm{x}}}$

Solutions :

N'oublie pas de choisir une plage de valeurs pour tes coordonnées x, comme -4 à 4 dans ce cas.

Nous devons donc trouver la valeur de y. Rappelle-toi que $\mathrm{y}=\frac{1}{3^{\mathrm{x}}}$

Lorsque x = -4

$y=\frac{1}{3^{-4}}$

$\mathrm{y}=3^4$ (note que dans les indices, un exposant avec un signe négatif donne l'inverse de l'expression $\frac{1}{3^4}$ )

y = 81

Répète cette étape pour les valeurs x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 et 4 et ta réponse sera 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27 et 1/81.

Tu peux maintenant compléter ton tableau :

Un rapide coup d'œil t'indique que les valeurs y diminuent . Cela signifie qu'il y a eu décroissance. Continue à tracer le graphique ci-dessous :

Un graphique montrant la décroissance exponentielle pour b <1.

On peut comprendre ce qui suit à partir du graphique de décroissance exponentielle :

• La courbe diminue lorsque la valeur de x augmente.
• Comme pour le graphique de croissance, il n'y a pas d'ordonnée à l'origine x.
• La courbe coupe l'axe des ordonnées à 1 lorsque x est égal à 0. L'ordonnée à l'origine est 1.

Traçons des graphiques exponentiels avec la fonction pour les exponentielles. $y=a{b}^x$$y=2\left(3^x\right)$ .

Si tu suis toutes les étapes expliquées précédemment, ton graphique devrait ressembler à ceci :

Examinons une combinaison des équations exponentielles dans le graphique ci-dessous : $y=3^{x}andy=2\left(3^x\right)$

Tu observeras que les deux équations suivent le même modèle d'augmentation sans point d'intersection x mais avec des points d'intersection y = 1 et 2 dans l'équation respective. Ceci est facilement observable lorsque tu compares les tableaux de ces équations ; lorsque x = 0, y = 1 dans la première équation et y = 2 dans la deuxième équation. On remarque également que la courbe $y=3^x$ a été augmentée d'un facteur multiplicatif de 2 dans la courbe $y=2\left(3^x\right)$ .

Nous ferons une autre comparaison entre les cas où a est positif et négatif dans l'équation.$y=a{b}^x$

Considérons ces deux équations :

$y=2\left(3^x\right)$

autres

$y=-2\left(3^x\right)$

Étudie le graphique ci-dessous :

D'après le graphique ci-dessus, on remarque que pour des valeurs positives de a, les valeurs de y sont positives (y> 0). En revanche, lorsque a est négatif, y donne un résultat négatif (y <0).

Applications simples de la croissance et de la décroissance exponentielles

Pour appliquer l'idée de la croissance et de la décroissance exponentielles, peu de changements seront apportés à la formule générale :

$y=a{b}^x$

Rappelle-toi que b est la base qui représente le facteur de croissance ou de décroissance . ce sera :

b = 1 + r pour une croissance exponentielle.

ou

b = 1 - r pour une décroissance exponentielle.

1 représente 100 % et r représente le taux d'augmentation en pourcentage.

De plus, x sera remplacé par t qui représente l'intervalle de temps. Ainsi, l'équation générale devient :

$y=a{(1+r)}^t$ pour la croissance exponentielle

ou

$y=a{(1-r)}^t$ pour une décroissance exponentielle

où y est le montant final, a est la valeur de départ, r est le taux d'augmentation et t est l'intervalle de temps.

Note que l'expression 1 + r ou 1 - r est également appelée multiplicateur.

Exemples d'applications simples de la croissance et de la décroissance exponentielles

Exemple 1 :

James a acheté pour 200 dollars d'actions d'une entreprise automobile au Japon à la fin de l'année, et l'on s'attend à ce que la valeur des actions augmente de 25 % par an.

a. Dérive une fonction exponentielle qui exprime la valeur de l'action de Jacques dans t années.

b. Après 6 ans, Marie a acheté toutes les actions détenues par Jacques pour 1000 $. Combien Jacques a-t-il gagné ou perdu ?

Solutions :

a. Pour décider de la formule à appliquer, tu dois savoir s'il y a une augmentation ou une diminution du taux. Dans ce cas, il y a une augmentation de 25 %.

Nous appliquons donc $y=a{(1+r)}^t$

Définissons les composantes de la formule

y n'est pas donné

a est de 200

r est 25 % = 0,25

t est donné par t

Ainsi ,

Ainsi, la valeur de l'action James y dans t années serait de$200{(1.25)}^t$ dollars.

b. Puisque nous avons l'équation exprimant la fonction exponentielle de l'action de James dans t années, il serait facile de trouver la valeur de son action dans 6 ans.

Ainsi, t = 6

Remplace la valeur de t par 6 dans l'équation :

Pendant ce temps, Marie achète son action de 6 ans à la valeur de 1000 $ . Cela montre clairement que James a gagné 1000 $ - 763 $ = 237 $.

Exemple 2 :

On dit qu'un certain parasite double dans le corps humain tous les six mois. Si la population actuelle est de 100 chez un individu infecté, quelle devrait être la population de ce parasite chez cet individu au bout de deux ans s'il n'est pas traité ?

Solutions :

Attention au détail selon lequel cette augmentation a lieu tous les 6 mois. Cela signifie que par an, elle augmente deux fois.

Note également que le taux d'augmentation est double, ce qui signifie qu'il s'agit d'une augmentation de 100 %.

Rappelle-toi que 1 dans (1 + r) signifie 100 %.

Puisque le parasite double, cela signifie une augmentation supplémentaire de 100 %, c'est-à-dire 100 % + 100 %.

b = 1 + r = 1 + 1 = 2

Le facteur de croissance est donc de 2.

Ainsi , $\mathrm{y}=\mathrm{a}{(1+\mathrm{r})}^{\mathrm{t}}$

note que nous avons un produit de 2 et 2 car l'augmentation se produit deux fois en deux ans.

Ainsi, en 2 ans, le parasite de l'individu serait passé de 100 à 1600.

Par conséquent, lorsqu'il y a une augmentation du double, b = 1 + r = 2 ; de même, lorsque l'augmentation est triple, b = 3 et ainsi de suite.

Fréquence de la croissance et de la décroissance exponentielles

Tu devrais te souvenir, dans le dernier exemple, du nombre de fois où les parasites ont augmenté. Dans certains cas, la fréquence ou le nombre de fois qu'une augmentation ou une diminution se produit peut ne pas être une fois dans un intervalle de temps. La formule doit donc être modifiée pour tenir compte de cette situation.

$$\begin{gathered} y=a{(1+\frac{r}{n})}^{nt} \\ or \\ y=a{(1-r)}^{nt} \end{gathered}$$

où n est la fréquence à laquelle l'augmentation ou la diminution se produit.

Reporte-toi à l' exemple 2 à propos des parasites :

a = 100

r = 2 car le parasite double

n = 2 l'augmentation a lieu tous les 6 mois, ce qui signifie qu'elle a lieu deux fois par an.

t = 2 ans

y = 1600

Examinons la situation inverse. Imaginons que cette personne ait pris un antibiotique qui a pour effet de réduire la population de parasites de moitié tous les 6 mois. Quelle serait la population du parasite si cette personne reste sous antibiotique pendant 3 ans ?

Solutions :

a = 100

r = 0,5 car le parasite diminue de moitié

n = 2 car cette réduction a lieu deux fois par an (tous les 6 mois).

t = 3 ans

$$\begin{gathered} y=a{(1-r)}^{nt} \\ y=100{(1-0.5)}^{2\times 3} \\ y=100{(1-0.5)}^6 \\ y=100{(0.5)}^{6}y=100\times 0.015625 \\ y=1.5625 \end{gathered}$$

En 3 ans, le parasite aurait réduit sa population de 100 à environ 2.

Application dans la vie réelle et exemples de croissance et de décroissance exponentielles

La compréhension de la croissance et de la décroissance exponentielles a plusieurs utilisations quotidiennes. Elle a été appliquée au calcul de la plus-value, de la dépréciation, des intérêts composés, de la demi-vie des éléments, etc.

Croissance exponentielle dans les intérêts composés

Les intérêts composés sont modélisés selon le principe d'une fonction exponentielle. La formule des intérêts composés est la suivante :

$A=P{(1+\frac{r}{n})}^{nt}$

Où A = montant de l'investissement

P = capital

r = taux d'intérêt

n = nombre de fois que les intérêts sont composés

t = durée en années

D'après la formule ci-dessus, tu peux facilement voir que les intérêts composés sont un exemple de croissance exponentielle.

Décroissance exponentielle de la dépréciation et de l'appréciation.

Lorsque la valeur d'un produit diminue, on dit qu'il s'est déprécié. En revanche, si la valeur d'un produit augmente, on dit qu'il s'est apprécié. Le principe de la décroissance exponentielle s'applique à la dépréciation et à l'appréciation. Tu dois utiliser la formule suivante :

$A=V{(1-r)}^n$ pour l'amortissement

A = le montant amorti

V = valeur actuelle du produit

r = taux

n = la durée du temps en années

ou

$A=V{(1+r)}^n$ pour l' appréciation ; mais, A = montant apprécié