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Équations différentielles
Une équation différentielle est un type d'équation qui implique des dérivées. En d'autres termes, une équation différentielle représente une situation où le taux de changement d'une quantité dépend de l'état actuel de cette quantité.
Les équations différentielles sont globalement classées en deux types :
Leséquations différentielles ordinaires (EDE): Elles impliquent des dérivées par rapport à une seule variable. Elles sont ensuite classées en fonction de l'ordre (la dérivée la plus élevée dans l'équation) et du degré (la puissance de la dérivée la plus élevée dans l'équation).
Équations différentielles partielles (EDP) : Elles impliquent des dérivées par rapport à plus d'une variable.
Les équations différentielles sont généralement représentées de manière symbolique. Par exemple, une équation différentielle ordinaire peut s'écrire comme suit : \[f'(x) = \frac{dy}{dx}\]
Cela équivaut à "la variation de y divisée par la variation de x". Les variables x et y peuvent être remplacées par n'importe quelle autre lettre.
Dans le cas des dérivées partielles, les "d" seraient plutôt représentés par le symbole ∂ : \(f'(x) = \frac{∂y}{∂x}\).
L'apostrophe (') écrite derrière la lettre symbolisant une fonction indique que l'équation qui suit n'est pas l'équation d'origine mais sa dérivée. La différenciation d'une fonction y 'par rapport à x' (ce qui signifie que x est la valeur située en bas de la fraction) donne la dérivée y '. Si la fonction est représentée par f (x), alors sa dérivée peut être représentée par f'(x).
Passons rapidement en revue la façon de trouver le gradient d'un graphique en ligne droite :
Exemple de gradient d'un graphique en ligne droite,
Cependant, si nous examinons un graphique quadratique, il n'est pas évident de trouver son gradient. En effet, celui-ci change à différents endroits du graphique lorsque la ligne s'incurve, devenant plus ou moins raide.
Une méthode possible consiste à tracer une tangente à un point donné et à trouver son équation. Cependant, cela ne nous donnerait que la pente à ce point - et si nous voulions trouver une expression générale pour la pente de n'importe quel point du graphique ?
Nous utilisons la différenciation pour trouver une fonction pour le gradient d'un graphique. La méthode est très simple - tu dois :
Diminue la puissance de x d'une unité
Multiplie par l'ancienne puissance
Par conséquent, en règle générale, lorsque tu différencies xn, ton résultat est \(nx^{n-1}\).
Comment différencier un polynôme ?
Disons que nous avons le graphique suivant de \(y = x^2 + x+2\) et que nous voulons trouver le gradient au point x = 1.
Pour différencier la fonction, nous prenons chaque puissance de x et effectuons les étapes précédentes sur elle - réduire la puissance par 1, et multiplier par l'ancienne puissance.
\(y = x^2 + x +2\)
\N(x^2 \Nflèche droite 2x^{2-1} = 2x\N)
\N(x \NFlèche droite x^{1-1} = x^0 = 1\N)
2 n'est pas une puissance de x, nous ne pouvons donc pas appliquer notre méthode habituelle ici.
Pour comprendre comment la différencier, il faut se pencher sur la représentation de la différenciation \(\frac{dy}{dx}\). Pour rappel, cela signifie "la variation de y divisée par la variation de x".
Puisque 2 est une constante, les changements de x et de y n'affectent pas sa valeur, et vice versa. Cela signifie en fait que pour le gradient, la valeur n'a pas d'importance - elle n'est importante que dans le contexte de la fonction d'origine. C'est pourquoi la dérivée d'une constante est définie comme étant 0.
Maintenant que nous avons trouvé la dérivée de chacun des termes de notre fonction, nous pouvons créer une fonction pour le gradient en un point donné :
\N(y = x^2 + x+2\N)
\N(\Nfrac{dy}{dx} = 2x +1\N)
Par conséquent, pour trouver le gradient au point où x = 1, substitue cette valeur dans notre nouvelle équation :
\(m = 2(1) + 1 = 3\)
Qu'est-ce que la différenciation à partir des premiers principes ?
La différenciation à partir des premiers principes nous renseigne sur le concept de différenciation.
Considérons cette courbe qui fait partie d'un graphique que nous aimerions différencier. Nous avons choisi deux points le long de la courbe, (x, f (x)) et (x + h, f (x + h)), et nous aimerions trouver la pente au point (x, f (x)) :
Nous savons que pour trouver le gradient entre ces points, nous trouvons le changement de y divisé par le changement de x :
\(m = \frac{f(x+h) - f(x)}{x+h-x} = \frac{(x+h)-f(x)}{h}\}\)Plus nous rapprochons ces deux points, meilleure sera notre estimation de la pente à (x, f (x)). Au fur et à mesure que h se rapproche de 0, l'estimation sera de meilleure qualité. Nous pouvons écrire cela sous la forme d'une formule :
\(f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\).
Nous savons que la dérivée de x2 est 2x, mais nous pouvons le prouver en la substituant à la formule :
\N(f(x) x^2\N)
\(f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h(2x+h)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} 2x + h\N-)
\
Enfin, nous devons considérer ce qui se passe à la limite lorsque h s'approche de 0 : h disparaît, et il ne nous reste plus que notre réponse 2x.
Qu'est-ce que la différenciation peut nous apprendre sur les graphiques ?
La différenciation peut nous en apprendre beaucoup sur la nature des graphiques et leurs points d'inflexion. Ces derniers sont également connus sous le nom de points critiques car ce sont des points où la pente est égale à zéro. Il existe trois possibilités lorsque c'est le cas :
Lorsque le graphique est quadratique, il est évident que le point critique est un maximum ou un minimum, puisqu'il n'y en a qu'un, et qu'il suffit de considérer la forme du graphique (en utilisant le coefficient du terme x2 ). Cependant, lorsqu'il y a plusieurs points critiques, ce n'est pas aussi clair.
Pour déterminer la nature d'un point critique pour les graphiques cubiques, tu dois vérifier les gradients de part et d'autre de ce point.
Considérons un maximum local :
Nous pouvons voir que la première partie du graphique est croissante selon le sens du graphique, puis après le point critique, elle commence à diminuer.
Si nous trouvions le gradient de la partie croissante du graphique, il serait positif, et la partie décroissante serait négative. En résumé :
\[\frac{dy}{dx} > 0 \quad \text{increasing}\]
\[\frac{dy}{dx} = 0 \quad \text{point critique}\]
\[\frac{dy}{dx} < 0 \quad \text{decreasing}\]
Voyons comment déterminer la nature d'un point critique.
\(y = x^2 + 4x +2\)
Nous savons déjà que le point critique de ce graphique sera un minimum, car le x2 a un coefficient positif. Cependant, nous allons le prouver en utilisant la différenciation.
Tout d'abord, nous devons différencier la fonction ;
\N(y' = 2x + 4\)
Nous devons maintenant trouver les coordonnées du point critique, la valeur x où la dérivée de la fonction est nulle. Nous pouvons le faire en résolvant l'équation \(2x + 4 = 0\), puisque nous savons que le gradient est nul à ce point.
\N(2x + 4 = 0 \Nrightarrow 2x = -4 \Nrightarrow x = -2\N)
Nous pouvons maintenant créer un tableau simple et y inscrire les valeurs de x de chaque côté :
| x = -3 | x = -2 | x = -1 |
| x' = 2(-3) + 4 = -2 | x' = 0 | x' = 2(-1) + 4 = 2 |
| Négatif donc décroissant | Point d'inflexion | Positif donc croissant |
Puisque le gradient à gauche est décroissant et que le gradient à droite est croissant, nous avons montré que le point d'inflexion est un minimum.
Si la pente à gauche était croissante et la pente à droite décroissante, le point d'inflexion serait un maximum.
Enfin, s'ils sont tous les deux croissants ou tous les deux décroissants, il doit s'agir d'un point stationnaire.
Qu'est-ce que la dérivée seconde peut nous apprendre sur les graphiques ?
Une autre possibilité de déterminer si un point critique est un maximum, un minimum ou un point stationnaire consiste à utiliser la dérivée seconde, car la dérivée seconde d'un graphique t'indique sa courbure.
Une courbure positive signifie que le graphique se courbe vers la gauche si on le considère le long de l'axe des x (minimum) .
Une courburenégative signifie quele graphique se courbe vers la droite (maximum).
Si la dérivée seconde d'une fonction est nulle en un certain point, la courbure est nulle et le graphique est droit en ce point (point stationnaire).
Dans notre exemple :
\N(y = x^2 + 4x+2\N)
\N(y' = 2x +4 \N)
\(y'' = 2\)
Cela signifie que la courbure est positive n'importe où sur le graphique et que le point critique est un maximum.
Règles de différenciation
Voici quelques règles de différenciation qui t'aident à trouver les dérivées de fonctions plus complexes :La règle du produit
La règle du produit peut être utilisée pour trouver la dérivée de deux fonctions multipliées ensemble. La formule est la suivante ;
Si y = uv, alors \N(y' = uv' + vu'\N)
Où u est la fonction f(x) et v la fonction g(x), et f'(x), g'(x) sont leurs dérivées u' et v'.
Différencier la fonction \(y = (x^2 + 1)(x^2+x)\)
Nous pourrions développer les parenthèses dans cet exemple et trouver la dérivée de la manière habituelle, mais souvent, l'utilisation de la règle du produit est plus rapide et moins sujette à l'erreur.
Pour utiliser la règle du produit sur cette fonction, nous devons laisser \(u = x^2 + 1\) et \(v = x^2 + x\)x.
Ensuite, nous devons les différencier individuellement :
\N(u' = 2x\N)
\N(v' = 2x+1\N)
Enfin, nous substituons ces valeurs dans la formule du produit :
\(y' = (x^2 + 1)(2x+1) + 2x(x^2+x) = 2x^3 + x^2 + 2x + 1 + 2x^3 + 2x^2 = 4x^3 + 3x^2 + 2x +1\)La règle du quotient
La règle du quotient peut être utilisée pour trouver la dérivée de deux fonctions divisées l'une par l'autre. La formule est la suivante : \(y = \frac{u}{v}\)\(y' = \frac{vu' -uv'}{v^2}\)
Où u est la fonction f (x) et v la fonction g (x), et f '(x), g' (x) sont leurs dérivées u' et v'.
Différencier la fonction \(y = \frac{x}{x+2}\)
Nous laissons u être le numérateur et v le dénominateur, c'est-à-dire u = x et v = x + 2, puis nous les différencions individuellement comme précédemment pour obtenir u' = 1 et y' = 1.
Enfin, nous devons substituer ces valeurs dans la formule :
\(y' = \frac{(x+2)(1) - (x)(1)}{(x+2)^2}\)
\(y' = \frac{2}{(x+2)^2}\)
La règle de la chaîne
La règle de la chaîne peut être utilisée pour trouver la dérivée d'une fonction d'une fonction. La formule est la suivante ;
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)Différencier la fonction \N(y = (x+2)^3\)
Nous laissons \(u = x+2\), puis nous le substituons à l'équation principale de sorte que \(y = u^3\). Nous les différencions ensuite individuellement, ce qui nous permet de trouver \(\frac{dy}{du}\) et \(\frac{du}{dx}\) ;
\(\frac{du}{dx} = u'(x) = 1\)
\(\frac{dy}{du} = y'(u) = 3u^2\)
Enfin, nous les multiplions pour obtenir \(\frac{dy}{du} = 3u^2\) , et nous remplaçons à nouveau u pour obtenir \(y' = 3(x+2)^2\).
Différenciation paramétrique
Parfois, nous voulons différencier des fonctions où x et y sont tous deux en termes d'une troisième variable. Dans ces situations, nous devons utiliser la différenciation paramétrique.
\N(y = 3t^2 + 2t -3\N)
\N(x = 4t + 5\N)
Nous pouvons utiliser la règle de la chaîne pour différencier x et y :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
Nous pouvons réarranger l'équation impliquant x en termes de t. L'équation ci-dessus peut également être écrite sous la forme suivante, ce qui la rend plus facile à différencier :
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}\)
Essayons d'abord de réarranger et de multiplier nos résultats : \(x = 4t + 5 \Rightarrow t = \frac{1}{4} (x-5) \frightarrow t' = \frac{1}{4}\)
\N(y = 3t^2 + 2t - 3 \Nrightarrow y' = 6t + 2\N)
\N-(\frac{dy}{dt}) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{4} (6t +2) = \frac{3t +1}{2}\)
Essayons maintenant la deuxième méthode pour nous assurer que nous obtenons la même réponse. Il suffit de différencier chaque équation individuellement par rapport à t, puis de diviser \(\frac{dx}{dt}\) par \(\frac{dy}{dt}\) :
\N(y = 3t^2 + 2t - 3 \Nrightarrow y' = 6t + 2\N)
\N(x = 4t + 5 \Nrightarrow x'=4\N)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{6t+2}{4} = \frac{3t+1}{2}\)
Différenciation implicite
Lors de la différenciation, nous sommes généralement confrontés à des fonctions explicites - c'est-à-dire des fonctions qui ressemblent généralement à \(y = x^2 + 3x +...\) . Mais que se passerait-il si nous voulions différencier l'équation \(x^2 + y^2 = 25\) ?Nous devons utiliser une technique appelée différenciation implicite pour résoudre cette équation. Nous pouvons aborder chaque partie de l'équation séparément et l'écrire :
\(\frac{d}{dx}x^2 + \frac{d}{dx}y^2 = \frac{d}{dx} 25\)
Nous savons comment différencier deux des parties. La première étape pour différencier la partie y consiste à la différencier normalement, mais en laissant \(\frac{dy}{dx}\) ;
\N(2x + \frac{dy}{dx} 2y = 0\N)
Nous devons maintenant réarranger l'équation en fonction de \(\frac{dy}{dx}\) :
\(\frac{dy}{dx}2y = -2x\)
\(\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}\)
Différenciation - points clés à retenir
La différenciation est une méthode qui permet de trouver les taux de changement, c'est-à-dire les gradients des fonctions.
Le résultat d'un calcul de différenciation est appelé la dérivée d 'une fonction.
Le processus de différenciation est représenté par \(\frac{dy}{dx}\).
- Pour différencier un polynôme :
Diminue la puissance de x d'une unité
Multiplie par l'ancienne puissance
- La dérivée d'une constante est définie comme étant 0.
- La différenciation à partir des premiers principes utilise la formule suivante : \(f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
- \(\frac{dy}{dx} > 0\) croissant
- \(\frac{dy}{dx} = 0\)point critique
Lorsque la dérivée est égale à zéro, il y a trois possibilités :
\N(\Nfrac{dy}{dx} < 0\N) décroissante
La règle du produit est \N(y'= uv'+vu'\N)
La règle du quotient est \(y' = \frac{vu'-uv'}{v^2}\)
La règle de la chaîne est \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
La différenciation paramétrique utilise la formule \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}\)
La différenciation implicite consiste à différencier chaque partie de l'équation séparément et à réarranger pour \(\frac{dy}{dx}\N).
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