Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
La différenciation consiste à trouver le gradient d'une fonction variable. Une fonction variable est une fonction polynomiale qui prend la forme d'une courbe, c'est donc une fonction dont le gradient change constamment.
Il existe une méthode traditionnelle pour différencier les fonctions, cependant, nous nous concentrerons sur la recherche du gradient toujours par différenciation, mais à partir des premiers principes. Cela signifie que nous utiliserons la méthode standard des graphiques en ligne droite de \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) pour trouver le gradient d'une fonction.
La différenciation par les premiers principes consiste à utiliser \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) pour calculer le gradient d'une fonction. Nous allons examiner de plus près le processus étape par étape ci-dessous :
ÉTAPE 1 : Soit \(y = f(x)\) une fonction. Choisis deux points x et \N(x+h\N).
Les coordonnées de x seront \N((x, f(x))\N) et les coordonnées de \N(x+h\N) seront (\N(x+h, f(x + h)\N)).
ÉTAPE 2 : Trouve \N(\Delta y\N) et \N(\Delta x\N).
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
La formule ci-dessous se trouve souvent dans les livrets de formules que l'on donne aux élèves pour apprendre la différenciation à partir des premiers principes :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
Pour trouver la dérivée de sin(x) en utilisant les premiers principes, nous devons utiliser la formule des premiers principes que nous avons vue plus haut :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
Ici, nous remplacerons f(x) par notre fonction, sin(x) :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin (x)}{h}\]
En utilisant l'identité trigonométrique, nous pouvons obtenir la formule suivante, équivalente à la formule ci-dessus :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(\sin x \cos h + \sin h \cos x) - \sin x}{h}\].
Nous pouvons maintenant éliminer le terme \(\sin x\) :
\[\N- Début{alignement} f'(x) &= \Nlim_{h\Nà 0} \Nfrac{\Nsin x(\Ncos h -1) + \Nsin h\Ncos x}{h} \N- &= \Nlim_{h \Nà 0}(\frac{\sin x (\cos h -1)}{h} + \frac{\sin h \cos x}{h}) \N- &= \Nlim_{h \Nà 0} \Nfrac{\Nsin x (\Ncos h - 1)}{h} + lim_{h \to 0} \frac{\sin h \cos x}{h} \N-(\Nsin x) \Nlim_{h \Nà 0} \Nfrac{\Ncos h - 1}{h} + (\Ncos x) \N- (\Ncos x) \N- (\Ncos h - 1)}{h} + (\cos x) \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \N-END{align} \]
Ici, nous avons besoin d'utiliser quelques limites standard : \(\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\), et \(\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0\).
En les utilisant, nous arrivons à :
\[f'(x) = 0 + (\cos x) (1) = \cos x\].
Et donc :
\[\frac{d}{dx} \sin x = \cos x\]
Pour trouver la dérivée de cos(x) en utilisant les premiers principes, nous devons utiliser la formule des premiers principes que nous avons vue plus haut :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\].
Ici, nous remplacerons f(x) par notre fonction, cos(x) :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos (x)}{h}\]
Pour l'étape suivante, nous devons nous souvenir de l'identité trigonométrique : \(cos(a +b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b\).
En utilisant l'identité trigonométrique, nous pouvons obtenir la formule suivante, équivalente à la formule ci-dessus :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(\cos x\cdot \cos h - \sin x \cdot \sin h) - \cos x}{h}\].
Nous pouvons maintenant éliminer le terme \(\cos x\) :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \cdot \sin h}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1)}{h} - \frac{\sin x \cdot \sin h}{h}\].
Nous devons maintenant changer les facteurs de l'équation ci-dessus pour simplifier la limite plus tard. Pour cela, tu devras reconnaître les formules que tu peux facilement résoudre.
Les équations qui te seront utiles ici sont les suivantes : \(\lim_{x \à 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ; et \lim_{x_à 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0\).
Si nous substituons les équations dans l'indice ci-dessus, nous obtenons :
\[\lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1)}{h} - \frac{\sin x \cdot \sin h}{h}]. \crightarrow \lim_{h \to 0} \cos x (\frac{\cos h -1 }{h}) - \sin x (\frac{\sin h}{h}) \crightarrow \lim_{h \to 0} \cos x(0) - \sin x (1)\c}]
Finalement, on peut arriver à :
\[\lim_{h \to 0} \cos x(0) - \sin x (1) = \lim_{h \to 0} (-\sin x)\].
Puisqu'il n'y a plus de variables h dans l'équation ci-dessus, nous pouvons laisser tomber le \(\lim_{h \to 0}\), et avec cela nous obtenons l'équation finale de :
\[\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x\].
Voyons deux exemples, l'un facile et l'autre un peu plus difficile.
Différencie à partir des premiers principes \(y = f(x) = x^3\).
SOLUTION :
Étapes | Exemple travaillé |
ÉTAPE 1 : Soit \(y = f(x)\) une fonction. Choisis deux points x et x + h. | Les coordonnées sont \N((x, x^3)\N) et \N((x+h, (x+h)^3)\N). Nous pouvons simplifier \N-(x+h)^3 = x^3 + 3x^2 h+3h^2x+ h^3\N) |
ÉTAPE 2 : Trouver \(\Delta y\) et \(\Delta x\). | \(\Delta y = (x+h)^3 - x = x^3 + 3x^2h + 3h^2x+h^3 - x^3 = 3x^2h + 3h^2x + h^3 ; \Delta x = x+ h- x = h\) |
ETAPE 3 : Complète \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) | \(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3x^2h+3h^2x+h^3}{h} = 3x^2 + 3hx+h^2\) |
ÉTAPE 4 : Prends une limite. | \(f'(x) = \lim_{h \to 0} 3x^2 + 3h^2x + h^2 = 3x^2\) |
RÉPONSE | \N(3x^2\N) cependant toute la preuve est une différenciation à partir des premiers principes. |
La différenciation peut donc être considérée comme la limite d'un gradient entre deux points d'une fonction. Tu verras que ces réponses finales reviennent à prendre les dérivées.
Prenons un autre exemple pour essayer de vraiment comprendre le concept. Cette fois, nous utilisons une fonction exponentielle.
Différencie à partir des premiers principes \(f(x) = e^x\).
SOLUTION :
| Etapes | Exemple travaillé |
ÉTAPE 1 : Soit y = f(x) une fonction. Choisis deux points x et x + h. | Les coordonnées sont \N((x, e^x)\N) et \N((x+h, e^{x+h})\N). |
ÉTAPE 2 : Trouver \N(\Delta y\N) et \N(\Delta x\N) | \N-(\NDelta y = e^{x+h} -e^x = e^xe^h-e^x = e^x(e^h-1)\N) \N(\NDelta x = (x+h) - x= h\N) |
ÉTAPE 3 : Compléter \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) | \(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{e^x(e^h-1)}{h}\) |
| ÉTAPE 4 : Prends une limite. | Parce que \lim_{h \à 0} \frac{(e^h-1)}{h} = 1\) |
| REPONSE | \N(e^x\N), mais bien sûr, toute la preuve est une réponse puisqu'il s'agit d'une différenciation à partir des premiers principes. |
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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